 |
- приведённая масса;
nab - транспортная частота столкновений;
Если плазма слабоионизованная и роль частиц b играют атомы, то
т.к.
Будем рассматривать стационарные решения, считая, что характерное время изменения
параметров плазмы t много больше времени между столкновениями l/naa : naat>>1 (
4)
Из ( 1) с подстановкой ( 3) имеем:
 |
Откуда выразим направленную скорость частиц сорта a:
 |
Это сумма трёх слагаемых:
Первое uaE – скорость, связанная с действием электрического поля E = - gradj, коэффициент
пропорциональности ba между uaE и E называется подвижностью:
 |
Второе слагаемое описывает диффузию:
 |
Последнее слагаемое – термодиффузия:
Из ( 8) и ( 9) следует соотношение, полученное впервые Эйнштейном:
Соотношение Эйнштейна справедливо для любой зависимости частоты столкновений от скорости, если распределение частиц по скорости близко к равновесному.
Таким образом, суммарная скорость направленного движения частиц сорта a может быть выражена через введённые коэффициенты переноса:
С помощью этих формул можно выразить плотность тока в плазме:
Первый член определяет проводимость:
Мы оперировали с выражениями, в которые входила частота столкновений, не зависящая от скорости. Если такая зависимость есть, а она сильна при столкновениях заряженных частиц, то аналогичные выражения для потоков записываются с интегрированием по скоростным распределениям частиц. В конечные формулы входят усреднённые величины.
Амбиполярная диффузия.
В предшествующем разделе мы рассматривали диффузионные переносы компонент плазмы. Однако, поскольку при любых движениях плазма должна сохранять квазинейтральность, электроны и ионы не могут двигаться независимо. Поэтому любое различие в движении разноименно заряженных компонент плазмы, приводящее к разделению зарядов, порождает электрическое поле, действующее так, чтобы устранить это разделение. Запишем скорости электронной и ионной компонент плазмы, учитывая диффузионные составляющие и действие подвижности частиц в возникшем амбиполярном электрическом поле:
Термодиффузией в данном случае мы пренебрегаем, считая, что градиент температуры отсутствует.
Имея в виду, что плазма диффундирует как целое т.е. скорости электронов и ионов одинаковы:
Из равенства обоих выражений ( 1) получаем амбиполярное электрическое поле:
С учётом того, что De>>Di и be>>bi используя соотношение Эйнштейна: De/be=Te/е имеем:
EA направлено в сторону, противоположную grad (n), поэтому оно тормозит электроны и
“подталкивает” ионы. Зная Е определим направленную скорость частиц:
Т.к. De>>Di; be>>bi получаем из ( 6):
Из соотношения ( 7) видно, что коэффициент амбиполярной диффузии обычно больше коэффициента диффузии для ионов, введенного в предыдущем разделе, и намного меньше такового для, сосчитанного для электронной компоненты
Di<DA<<De.
2.4.3. Перенос поперек магнитного поля в слабоионизованной плазме.
Рассмотрим вначале слабо ионизованную плазму, в которой заряженных частиц меньше, чем нейтральных атомов. В такой плазме диффузия заряженных частиц
определяется их столкновениями с атомами нейтрального газа. Такой подход упрощает рассмотрение (т.к. мы можем считать константой коэффициент диффузии) давая, тем не менее, возможность понять суть процесса.
Для каждого сорта частиц, составляющих плазму, мы можем записать гидродинамическое уравнение движения поперек магнитного поля
(2.4.3.1)
Здесь мы пренебрегаем членом 
, считая n очень большой величиной. В дальнейшем считаем 
Запишем проекции уравнения (2.4.3.1) на оси X и Y
(2.4.3.2)
Перепишем уравнения (2.4.3.2) в следующем виде
(2.4.3.3)
Здесь использованы соотношения 
определяющие подвижность, коэффициент диффузии и циклотронную частоту. Подставив 
из (2.4.3.3.а) в (2.4.3.3.б) имеем
, (2.4.3.4)
где 
.
Аналогичную операцию проведем для определения 
(подставляем 2.4.3.3.б в 2.4.3.3.а)
(2.4.3.5)
Рассматривая уравнения (2.4.3.4) и (2.4.3.5), мы можем ввести определения «поперечных» подвижности и диффузии
. (2.4.3.6)
Кроме того, помня, что
(2.4.3.7)
компоненты дрейфовой скорости в скрещенных 
полях, а
(2.4.3.8)
соответствующие компоненты «градиентного» дрейфа, можем вновь объединить уравнения (2.4.3.4) и (2.4.3.5) в виде
(2.4.3.9)
Таким образом, поперечная (по отношению к магнитному полю) скорость любой из компонент плазмы складывается из дрейфов, а также диффузии и подвижности соответствующих частиц. Дрейфы перпендикулярны направлению градиента плотности и замедлены в 
раз из-за столкновений с нейтралами.
Подвижность и диффузия дают движение в направлениях параллельных соответствующим градиентам. Их коэффициенты уменьшены в 
раз из-за наличия магнитного поля.
Таким образом, величина 
является характеристикой замагниченности плазмы. Условие 
, это условие замагниченности плазмы. При выполнении этого условия можно говорить о сильном влиянии магнитного поля на переносы. Наоборот, при 
влияние магнитного поля слабо.
В пределе
(2.4.3.10)
Если же , то 
. Сравнивая 
в этих двух предельных случаях, следует обратить внимание на перемену роли столкновений: в случае незамагниченной плазмы 
– столкновения препятствуют переносу; в случае сильного влияния магнитного поля 
– столкновения обеспечивают перенос.
Обычная оценка коэффициента диффузии из размерностных соображений выглядит следующим образом
(2.4.3.11)
где 
– характерная длина перемещения частицы, 
– характерное время.
В незамагниченной плазме 
L ~ 
– длина свободного пробега, 
– время между столкновениями.
В замагниченной плазме – 
Если в первой оценке роль характерной длины играет длина свободного пробега, то во втором – ларморовский радиус.
2.4.4. Об амбиполярной диффузии поперек магнитного поля.
Из-за анизотропии коэффициентов подвижности и диффузии упрощенное общее решение в этом случае невозможно. С математической точки зрения рассмотрение состоит в совместном решении уравнений непрерывности для ионов и электронов, причем, поскольку к чисто одномерному случаю здесь задачу свести нельзя, нужно приравнивать не потоки ионов и электронов, а их дивергенции
(2.4.4.1)
(2.4.4.2)
В общем виде простого решения выписанной системы уравнений нет. Упростить ситуацию можно, рассматривая очень длинный, однородный по длине столб плазмы, такой, что продольными производными 
можно пренебречь. В этом случае параметры плазмы зависят только от радиуса и нужное уравнение получается приравниванием соответствующих поперечных скоростей ионов и электронов
(условие амбиполярности)
(2.4.4.3)
Откуда получается
(2.4.4.4)
амбиполярное электрическое поле. При этом скорость амбиполярной диффузии
(2.4.4.5)
Вспомнив, что 
а также соотношения (2.4.3.6) из предыдущего параграфа, учитывая, что 
, получаем:
(2.4.4.6)
где 
. Отсюда легко получается коэффициент амбиполярной диффузии
(2.4.4.7)
С помощью соотношений (2.4.4.6) и (2.4.4.7) удобно анализировать влияние увеличения магнитного поля на процесс диффузии.
Слабые поля: 
при этом формулы становятся такими же, как в отсутствии магнитного поля. Электроны уходят быстрее ионов; плазма имеет положительный потенциал 
При некотором значении магнитного поля числитель выражения (2.4.4.6) обращается в 0: 
Это означает равенство коэффициентов диффузии электронов и ионов. Диффузия идет при 
.
С дальнейшим увеличением 
диффузия ионов превалирует. В сильном поле 
потенциал плазмы становится отрицательным – ионы «тянут» за собой электроны
2.4.5. Диффузия в полностью ионизованной плазме.
В полностью ионизованной плазме, состоящей лишь из ионов и электронов все упругие столкновения – кулоновские. Столкновения частиц одного сорта (
или 
) почти не дают диффузии поскольку при таких столкновениях центр масс системы сталкивающихся частиц не смещается. Столкновения частиц разных сортов приводят к диффузии. Электроны отскакивают от почти неподвижных ионов и совершают случайные блуждания. Ионы при каждом 
соударении получают лишь слабый толчок. Однако скорости диффузии электронов и ионов одинаковы. Диффузия в полностью ионизованной плазме всегда амбиполярна.
МГД уравнения поперечного движения электронов и ионов полностью ионизованной плазмы для стационарных условий можно записать так:
(2.4.5.1)
– столкновительный член; из-за электрон-ионных столкновений
Поскольку импульс сохраняется, то
(2.4.5.2)
и выражение для этого столкновительного члена может быть записано в виде
(2.4.5.3)
где 
– частота электронных столкновений, усредненная по максвелловскому распределению,
– вектор теплового потока электронов.
Для достаточно больших полей: 
наибольшей является дрейфовая компонента
(2.4.5.4)
Если 
, то это слагаемое отсутствует, и вид столкновительного члена определяется лишь первым слагаемым формулы (2.4.5.3), зависящим от относительной средней скорости
(2.4.5.5)
(2.4.5.6)
Мы подставили столкновительный член в (2.4.5.1) и учли условие (2.4.5.2). Если плазма однородна 
, то эта система будет выглядеть так
(2.4.5.7)
Складывая эти уравнения, легко убедиться, что они дают равенство скоростей ионов и электронов 
При этом сила трения обращается в нуль и решение даст скорость электрического дрейфа в отсутствие столкновений
(2.4.5.8)
Это означает, что в однородной полностью ионизованной плазме постоянное поперечное электрическое поле не вызывает тока
Складываем теперь (2.4.5.5) и (2.4.5.6). Имеем
(2.4.5.9)
отсюда находим разность поперечных скоростей ионов и электронов
(2.4.5.10)
И подставляя ее в (2.4.5.5)
(2.4.5.11)
Умножая (2.4.5.11) векторно на 
определим направленную скорость электронов
(2.4.5.12)
Аналогично, с помощью (2.4.5.6) имеем
(2.4.5.13)
Первые два слагаемых в (2.4.5.12) и (2.4.5.13) описывают дрейф электронов и ионов под действием электрического поля и из-за градиента давления. Остальные одинаковы для электронов и ионов и определяют диффузию заряженных частиц поперек магнитного поля, вызывающую градиент концентрации
(2.4.5.14)
Коэффициент поперечной диффузии при этом
(2.4.5.15)
Отсюда следует подтверждение амбиполярности диффузии в полностью ионизованной плазме. Коэффициенты диффузии электронов и ионов равны независимо от напряженности электрического поля.
2.4.6. О переносе в тороидальных магнитных конфигурациях.
Сложность рассмотрения переноса в тороидальных полях обусловлена дрейфом, вызванным неоднородностью магнитного поля. Дрейф приводит к разделению зарядов, а возникающее электрическое поле меняет эффективность переноса. Конкретный характер изменений зависит от конкретного вида магнитной конфигурации.
Рассмотрим вначале, как обычно, слабоионизованную плазму в тороидальном магнитном поле. Пусть магнитное поле направлено вдоль азимута и убывает обратно пропорционально радиусу B=B0R0/R. Считая r<<R, можем принять градиент магнитного поля в области плазмы постоянным:
 |
Тороидальная неоднородность приводит к дрейфу электронов и ионов в направлении, перпендикулярном магнитному полю и неоднородности.
Компоненты усреднённой скорости дрейфа, вызванного градиентом В при wce>>nea,
wci>>nia , равны
 |
;
 |  | ||
Скорость разделения зарядов из-за этого дрейфа определяется разностью скоростей ионов и электронов
Возникающее электрическое поле должно тормозить это движение. Включается подвижность:
где считаем mia=M/2 т.к. М»Ма. В стационарном состоянии uyB и uyE должны компенсировать друг друга. Приравняв их, находим:
 |
В этом поле заряженные частицы дрейфуют в направлении внешней поверхности тора со скоростью:
где DA||=2(Te+Ti)/Mnin - продольный коэффициент амбиполярной диффузии.
Таким образом, тороидальная неоднородность магнитного поля в слабоионизованной плазме приводит к стационарному движению заряженных частиц в направлении большого радиуса тора со скоростью, даваемой выражением (
4).
В плазме, находящейся в тороидальной камере, параллельной магнитному полю, такое движение накладывается на амбиполярную поперечную диффузию (из-за градиента плотности). Поэтому
х1 – единичный вектор в направлении большого радиуса.
Рассмотрим теперь случай полностью ионизованной плазмы.
Прежде всего, ясно, что стационарный дрейф полностью ионизованной плазмы в.
простом тороидальном магнитном поле невозможен, т.к. подвижность не работает, следовательно, не может быть скомпенсировано разделение зарядов, связанное с тороидальным дрейфом.
Рассмотрим кратко ситуацию в азимутально-симметричной тороидальной магнитной.
ловушке. Имеется тороидальное поле Вq и полоидальное поле Вj:
Обычно Bj<<(r/R)Bq.
Считаем r<<R и Bj<<Bq.
Полоидальное поле создаёт вращательное преобразование, в результате которого образуется система вложенных друг в друга магнитных поверхностей (тороидальных). Эти поверхности в отсутствии столкновений должны приводить к устранению последствий тороидального дрейфа – эл. поле, возникающее из-за дрейфа, “закорачивается” из-за движения электронов вдоль силовых линий магнитного поля. 
Однако, из-за конечной проводимости при наличии столкновений, это закорачивание будет неполным. Остаточное электрическое поле приводит к дрейфу частиц в сторону большого радиуса тора; дрейф увеличивает скорость переноса, связанную с градиентами концентрации и температуры.
Для оценки влияния тороидального дрейфа, рассмотрим баланс заряда на некоторой тороидальной поверхности радиуса r. Скорость разделения зарядов из-за тороидального дрейфа будет определяться прежним соотношением ( 2). Подставим её в уравнение непрерывности и получим изменение плотности заряда из-за дрейфа
 |
По-прежнему Ti, Te и R считаются постоянными в объёме плазмы.
Возникающее электрическое поле должно привести к компенсации дрейфа. Однако механизм здесь другой по сравнению со слабоионизованной плазмой. Здесь электрическое поле вызывает ток вдоль винтовых линий. Скажем, между точками 1 и 2. Величина этого тока определяется продольной проводимостью плазмы:
Где E¢ - проекция поля на направление силовой линии: E¢=Ejsina=Esinjsina ( 8) Ej - проекция на направление j; sina=Bj/B.
Изменение плотности объёмного заряда из-за продольного тока определяется дивергенцией тока. Полагая параметры плазмы постоянными на магнитной поверхности, получаем:
и далее, используя ( 7) и ( 8):
 |
Приравнивая для стационарного состояния (
6) и ( 10)
 |
получаем напряжённость поля:
здесь принято, что
 |  | ||
Это поле направлено вдоль оси Y и вызывает дрейф в направлении Х. При этом на внешней стороне тора дрейф происходит в сторону увеличения r, на внутренней – в сторону уменьшения r. Однако к существенной ассиметрии в распределении концентраций это не приводит, т.к. продольное движение перемешивает частицы в пределах магнитной поверхности. Поэтому радиальные дрейфовые потоки нужно усреднить по всей поверхности. Т.к. величина внешней поверхности больше, то компенсация будет неполной. Суммарный радиальный поток через поверхность
где ds=2p(R+rsinj)rdj - элемент поверхности тора. Интегрирование даёт среднюю плотность радиального потока:
Подставляя в неё E из ( 11), имеем
где
q - коэффициент запаса устойчивости
Этот поток направлен в сторону уменьшения концентрации и имеет ту же зависимость от параметров плазмы, это и обычный диффузионный поток; отличается он лишь множителем q2. Суммарный поток можно жарактеризовать эффективным коэффициентом диффузии:
 |
Поскольку обычно q>>1, этот коэффициент намного превышает коэффициент поперечной диффузии в однородном магнитном поле.
Выражение (15) часто называют формулой Пфирта-Шлютера.
При малой частоте электронных и ионных столкновений появляется ещё один эффект, приводящий к усилению переноса. Он связан с наличием запертых частиц. Эти частицы имеют траектории “бананового” типа. Изменения таких траекторий при столкновениях могут приводить к поперечным смещениям, превышающим смещения в однородном поле.Оценим влияние “бананов” на диффузию электронов. Пусть электрон в точке 1 испытал столкновение и попал на “банановую” траекторию. Двигаясь по этой траектории он может испытать новое столкновение в точке 2. Как правило, после этого он снова становится пролёт-ным, т.к. вероятность сохранения малой пролётной скорости невелика. Таким образом, за время между двумя столкновениями он может сместиться вдоль радиуса на ширину “банана”.
Эта ширина по порядку величины равна:
( 16)
 |  | ||
При этом эффективный коэффициент диффузии определяется средним квадратом смещения
 |
Где h - доля запертых частиц; neb – частота столкновений запертых частиц, приводящих их в пролётные.
Доля запертых частиц определяется “пробочным” отношением при движении вдоль винтовой силовой линии
Это отношение даёт предельный угол, соответствующий переходу из запертых частиц в пролётные:
 |
 |
Для изотропного распределения по углам долю запертых частиц можно выразить через этот угол
При определении neb нужно иметь в виду, что для перехода частиц из запертых в пролётные достаточно изменить направление их скорости на малый угол:
Время поворота скорости на этот угол в результате кулоновских столкновений значительно меньше среднего столкновительного времени электронов с ионами и друг с другом которое определяется, как время существенного изменения скорости.
Учитывая, что воздействие кулоновских столкновений при дальних пролётах эквивалентно диффузии в пространстве скоростей:
 |
Подставляя оценки для h и neb ( 19 и 20) в ( 17) получаем
 |
Точные вычисления приводят к формуле, отличающейся от ( 21) множителем 1.07.
Как видно, наличие запертых частиц приводит к значительному росту коэффициента диффузии. Он превосходит коэффициент диффузии в однородном поле в q2(R/r)3/2 раз. Увеличение такого же порядка происходит и для других коэффициентов переноса.
Коэффициент диффузии ионов, получаемый при учёте ион-ионных столкновений может несколько отличаться от электронного. Однако в амбиполярном режиме коэффициент диффузии практически совпадает с ( 21).
Формулы ( 16)-( 21) подразумевают, что столкновения заряженных частиц редки. Для справедливости этих формул нужно, чтобы время существования частицы в группе запертых было больше времени обхода ею “банана”. Длина траектории Lb»rB/Bj, поэтому критерий сводится к nb<uçç/Lb или, поскольку для запертых частиц uçç£uÖ(r/R); nb»nR/r, имеем
la - длина свободного пробега частиц сорта a
С ростом частоты столкновений, когда условие (2.4.6.22) нарушается, частицы между столкновениями проходят лишь часть банана, соответственно их смещение при столкновениях уменьшается. Это приводит к тому, что в некотором диапазоне по n диффузия неизменна (увеличение n компенсируется уменьшением Dl). Этот интервал определяется условием:
qR<l<qR(R/r)3/2 (2.4.6.23)
При больших n смещение траектории становится близким к ларморовскому радиусу. Тогда коэффициенты переноса определяются столкновениями и тороидальным дрейфом.
2.4.7. Микронеустойчивости и аномальная диффузия
Крупномасштабные МГД неустойчивости могут вызвать мгновенную потерю равновесия, сопровождаемую катастрофическими для плазмы последствиями. В отличие от них мелкомасштабные неустойчивости вызывают появление пульсаций с характерными размерами порядка длин наиболее неустойчивых волн. Характерные частоты этих пульсации соответствуют частотам наиболее неустойчивых мод возмущений. Взаимодействия частиц с полями этих пульсаций по своим последствиям очень похожи на столкновения: результатом является увеличение потоков частиц поперек магнитного поля. Это движение также, в среднем, носит диффузионный характер, что дает основания говорить об аномальном переносе поперек магнитного поля под действием турбулентности.
Линейная теория дает нам надежные сведения по длинам волн, частотам и инкрементам неустойчивых возмущений.
| Тип неустойчивости |
| 
| 
|
| Дрейфово-диссипативная | 
| 
| < 
|
| Дрейфовая («универсальная») | 
|
| ~ 
|
| Дрейфово-температурная | 
|
| ~
|
| Дрейфовая на запертых частицах | 
| 
| < 
|
| Токово-конвективная | 
| апериодическая | 
|
Труднее всего получить значения амплитуд раскачивающихся колебаний, особенно в связи с нелинейностью протекающих процессов. Можно лишь говорить, что неустойчивости, имеющие большие инкременты, вообще говоря, должны приводить к большим амплитудам.
Если возникающая турбулентность может быть представлена в виде суперпозиции большого числа слабо взаимодействующих между собой элементарных волн, явление аномальной диффузии можно описывать на языке слабой турбулентности, применяя так называемое квазилинейное приближение.
В процессе развития неустойчивости имеет место противоборство двух факторов:
· накачка энергии в неустойчивые моды колебаний, вызванная неустойчивостью и
· перекачка энергии по спектру в область затухания, вызываемая взаимодействием между модами.
Второй из этих процессов обычно не может быть описан в терминах слабой турбулентности.
Не вдаваясь в физику протекающих процессов можно провести полукачественные размерностные оценки переноса под действием турбулентности.
Запишем коэффициент диффузии в виде
- пульсационная скорость,
- характерное время исчезновения корреляции.
При этом амплитуду пульсаций оценивают из следующих соображений. В соответствии с отмеченными двумя факторами возмущение, с одной стороны растет
,
с другой – нелинейные члены типа 
перекачивают энергию по спектру. Считая, что в результате устанавливается некоторое квазистационарное состояние, подразумевающее баланс между двумя этими процессами, запишем
где 
- характерный размер турбулентных пульсаций поперек магнитного поля. Получив отсюда 
Имеем 
В качестве естественно выбрать длину волны неустойчивых возмущений. В частности, для максимальной длины волны колебаний дрейфового типа
и ее инкремента 
,
помня, что 
и 
имеем 
.
