Магнитное удержание плазмы.
Задача удержания плазмы магнитным полем обычно подразделяется на две отдельные задачи: о равновесии и об устойчивости. Равновесие - это такое состояние, при котором все силы, действующие на систему, компенсируют друг друга. Задача поиска такого состояния обычно рассматривается как статическая, не зависящая от времени.
Равновесное состояние может быть устойчивым или неустойчивым. Анализ устойчивости равновесия обычно проводится с помощью введения малого возмущения: если возмущение нарастает во времени - система неустойчива, если оно затухает - устойчива.
Равновесие плазмы в магнитном поле
2.1.1. Принцип равновесия
Чтобы плазма находилась в равновесии в магнитном поле, необходимо уравнивание сил газодинамического и магнитного давлений. Рассмотрение будем вести в приближении одножидкостной гидродинамики. Условие равновесия должно получиться из уравнения движения проводящей жидкости:
(2.1)
где 
,;
;
;
.
При 
это дает
(2.2)
Используя одно из уравнений Максвелла:
и пренебрегая ввиду относительной медленности процессов токами смещения:
(1/c) ¶E/¶t® 0, преобразуем левую часть соотношения (2.2)
(2.3)
Дальнейшее преобразование удобно произвести используя следующее соотношение:
(2.4)
где 
- радиус кривизны силовой линии магнитного поля. Второе слагаемое в
(2.3) преобразуется:
(2.5)
где 
; 
- проекция градиента на направление магнитного поля. Подставляя теперь (2.5) в (2.3) получаем для электродинамической силы:
(2.6)
Первое слагаемое здесь представляет уже известный нам градиент магнитного давления, а второе учитывает силу, вызываемую «натяжением» силовых линий. Подставив полученное выражение в выписанное выше условие равновесия (2.2), имеем:
(2.7)
При однородном магнитном поле силовые линии прямые 
и уравнение
(2.7) сводится к
, т.е. 
(2.8)
В частности, для случая резкой границы плазмы:
(2.9)
B0 - вакуумное магнитное поле.
Полученные результаты справедливы для описания равновесия границы плазмы в любом случае.
Плазменный шнур с током
Рассмотрим конкретный случай равновесия, при котором магнитное поле, удерживающее плазму, создается током, протекающим по плазменному шнуру. Это так называемый Z - пинч.
Пусть имеется цилиндрически симметричный плазменный шнур, вдоль которого течет ток. Будем считать, что плотность тока и другие параметры плазмы зависят только от радиуса:
, 
 |
Магнитное поле при этом имеет только азимутальную составляющую 
Связь магнитного поля с плотностью тока берем из уравнений Максвелла
(2.10)
или, с учетом цилиндрической симметрии:
(2.10а)
Интегрируя плотность тока в шнуре по всему сечению, получаем полный ток разряда:
где а - радиус плазменного столба. Из этого равенства выражаем магнитное поле на границе шнура:
(2.1.2.2 11)
При r > a, то-есть там, где j = 0, поле спадает обратно пропорционально радиусу: B» 1/r {Это следует из2.1.2.1а: при j = 0 
, т.е. 
, что дает нам хорошо известную формулу для магнитного поля линейного тока:
(2.1.2.3 12)
Таким образом условие равновесия (2.11) для рассматриваемого случая запишется так:
(2.1.2.4 13)
или это может быть преобразовано к виду:
(2.1.2.5 14)
Умножив обе части (2.13) на r2 и интегрируя по радиусу от 0 до a, получим интегральное условие равновесия:
- 
r2 dr = 
a2 B2 (a) (2.1.2.6 15)
Интеграл в левой части (2.15) берется по частям: 
- r2 dr = - 2 
= - < p > a2 (2.1.2.7 16)
é 
= fφ ½ 
- 
; f= r2 , d φ = dp ù
ë < p > = { } / 
- среднее по сечению давление û
Подставив результат интегрирования в (2.1.2.6 15), получаем интегральное условие равновесия
< p > = B2 (a) (2.1.2.8 17)
или, выразив с помощью (2.11) B через полный ток:
< p > = 
(2.1.2.9 18)
Если температуры электронов и ионов постоянны по сечению шнура, то, с учетом того, что p = n(Te + Ti), (2.18) можно представить как
I2 = 2 c2 (Te + Ti) N (2.1.2.10 19)
Здесь N = p a 2 < n > - линейная плотность плазмы - число частиц на единицу длины столба. Итак, выражения (2.17), (2.18) и (2.19) являются интегральными условиями равновесия Z - пинча.
Эти условия легко могут быть обобщены на случай, когда плазменный шнур с током находится в продольном магнитном поле. Условие равновесия в этом случае будет выглядеть следующим образом:
= - 
[ B [ Ñ B ]] r = - 
(Bj r) - 
Bz 
(2.1.2.11 20)
или, объединив слева «градиентные» члены:
(p + 
) = - (Bj r) (2.1.2.12 21)
что совпадает с (2.13) с точностью до замены p на (p + ). Далее поступаем с уравнением (2.21) так же, как с (2.13): умножаем на r2 обе части и интегрируем по радиусу. Получаем интегральное условие равновесия для рассматриваемого случая:
< p > = 
- 
= 
- (2.1.2.13 22)
Здесь 
- усреднение по сечению плазмы, как и для < p >. Учтено также, что при r = a Bzin = Bzex.
2.1.3. Равновесие тороидального плазменного шнура с током.
Будем вначале считать тороидальность слабой: a << R и поле тока, текущего по плазме, сравнительно небольшим: Bj << Bq. При этом уравнение равновесия () можно разложить в ряд по малому параметру (a/R). В нулевом приближении (a/R = 0) тороидальный шнур становится цилиндрическим и условие равновесия нам известно из рассмотрения предыдущего параграфа: соотношение (2.22) с точностью до обозначений:
 | |||||
 | |||||
 | |||||
< p > = 
+ 
= + (2.1.3.1 33)
Равенство (2.33) называют условием равновесия «по малому радиусу тора».
В следующем приближении учитываются силы, пропорциональные a/R и возникающие из-за тороидальности. Удобно ввести интегральную (по объему плазмы) силу, вызывающую движение по большому радиусу тора. Эту силу можно определить через энергию системы:
FR = 
(2.1.3.2 34)
W (R) - энергия системы, состоящей из плазмы, магнитного поля тока и тороидального магнитного поля. «Плазменная составляющая» определяется средним по объему газокинетическим давлением
Wp = 
= 2 p2 a2 R < p > (2.1.3.3 35)
Энергия витка с током может быть выражена через индуктивность витка:
WI = 
L I2 (2.1.3.4 36)
Индуктивность можно рассчитывать по формуле:
L = 4 p R ln (
) - 2 + 
; (2.1.3.5 37)
li = 
- внутренняя индуктивность распределенного тока, отнесенная к единице длины шнура.
Внутренняя энергия, запасенная в продольном магнитном поле может быть подсчитана интегрированием плотности магнитной энергии как по «внутреннему» (V in) объему плазмы так и по внешнему пространству (V ex):
WB = 
dV + 
dV = 
dV + 
dV =
= dU + 2p2 a2 R 
. (2.1.3.6 38)
Суммируя (2.35), (2.36) и (2.38) и взяв производную по R, получаем растягивающую центробежную силу:
FR = 2p2 a2 { < p > - 
+ 
(ln - 1 + )} (2.1.3.7 39)
Используем теперь условие равновесия по малому радиусу (2.22). Исключим с его помощью член с разностью внешнего и внутреннего магнитных давлений в (2.39) и получим в результате:
FR = 
(ln - 
) (2.40)
Чтобы скомпенсировать эту силу, нужно ввести дополнительное магнитное поле Bz. При однородном поле Bz сила, парирующая центробежную, определится соотношением:
(2.1.3.9 41)
Приравнивая (2.39) и (2.40), получим требующуюся для равновесия величину Bz:
ln 
- ) (2.1.3.10 42)
Это условие равновесия «по большому радиусу тора».
Чтобы поддерживать равновесие при изменяющихся параметрах плазмы, необходимо менять Bz. На больших современных токамаках это делается с помощью цифровых автоматических управляющих систем, однако на первых токамаках использовался проводящий кожух. Если проводимость такого кожуха достаточно велика, то наводимые в нем при перемещении плазменного шнура токи создают поле Bz, необходимое для парирования такого смещения. При малой тороидальности равновесное смещение нетрудно оценить аналитически.
Пусть радиус плазмы много меньше радиуса кожуха (a<<b), который, в свою очередь, много меньше большого радиуса токамака(b<<R). Пусть ось шнура смещена относительно оси камеры на расстояние D. Тогда влияние кожуха при b>>a эквивалентно появлению «тока изображения» на расстоянии d = b2 /D от оси (это строго справедливо в цилиндре).
Создаваемое токами изображения поле в области шнура равно:
(2.1.3.11 43)
Оно может считаться однородным, поскольку d >>a. При определении условий равновесия следует также учесть, что индуктивность витка с током будет теперь отличаться от даваемой выражением (2.37). Ее величина:
(2.1.3.12 44)
Подставляя в (2.42) выражение для поля (2.43) и учитывая (2.44) получаем окончательно:
(2.1.3.13 45)
Рассмотрение этой задачи без предположения о малости a/b следующий результат:
(2.1.3.14 46)
МГД устойчивость равновесной плазмы в магнитном поле
Вопрос устойчивости равновесия плазмы, удерживаемой магнитным полем, относится к числу важнейших направлений в термоядерных исследованиях. Большое число степеней свободы дает возможность возникновения различных видов возмущений, некоторые из которых быстро затухают, некоторые ограничиваются умеренными амплитудпми, другие же могут нарастать (неустойчивые моды). Устойчивость равновесия плазмы в магнитном поле определяется, прежде всего, устойчивостью относительно развития МГД мод.
2.2.1.Общий подход к исследованию устойчивости в МГД приближении.
При исследовании равновесного состояния плазмы на устойчивость в приближении магнитной гидродинамики малое пробное возмущение обычно задают в виде малого смещения элемента объема плазмы 
. Малость этого смещения (по сравнению с характерным размером неоднородности плазмы) дает возможность использования линейного приближения при анализе:
= 
(2.2.1.1 47)
-дифференциальный оператор, включающий производные по координатам.
Будем искать решение в виде:
= 
(2.2.1.2 48)
Подставив это выражение в (1) получим:
= 
, где 
(2.2.1.3 49)
откуда получается зависимость решений от координат. Уравнение (2.49) при заданных граничных условиях имеет спектр собственных функций 
и спектр собственных значений оператора 
. Если величина 
, определяемая собственным значением 
, имеет положительную мнимую часть, то смещение 
экспоненциально нарастает во времени. Это означает раскачку неустойчивости с инкрементом 
.
Уравнения, описывающие гидродинамические движения идеальной плазмы:
= - 
); 
- уравнение непрерывности
- уравнение движения (2.2.1.4 50)
- из уравнений Максвелла;
- уравнение адиабаты, 
- показатель адиабаты.
В невозмущенной ситуации полагаем действующими условия равновесия; при этом средняя скорость сохраняется из-за равенства нулю суммы сил. Можно положить ее равной нулю без ограничения общности. Наложим на все величины малые возмущения:
; 
; 
+ 
(2.2.1.5 51)
Подставив (2.51) в (2.50) и пренебрегая квадратичными по возмущению членами, получим:
+ 
(2.2.1.6 52)
Здесь фигурирует средняя возмущенная скорость, так как 
= 0. Таким образом можно заменить 
на 
. После этого уравнения для возмущений плотности , магнитного поля 
и давления 
интегрируются по времени:
; 
; 
(2.2.1.7)
Полученные выражения для возмущенных значений переменных подставим в уравнение движения
(2.2.1.8)
Мы получили уравнение для смещения, которое есть то же, что и уравнение (2.2.1.1), но с подробной «раскладкой» правой части. То-есть мы выразили в явном виде дифференциальный оператор 
.
Это уравнение нужно дополнить граничными условиями. Одно из них вытекает из требования постоянства суммы давлений на границе плазма-вакуум:
Кроме того необходимо, чтобы нормальная составляющая 
на границе обращалась в нуль – из-за бесконечной проводимости плазмы должно быть перпендикулярно границе.
Уравнение (2.2.1.8) удается решить только для некоторых конкретных, достаточно простых конфигураций. Однако можно делать выводы об устойчивости системы магнитное поле – плазма и не находя решений. В частности, может быть использован вариационный принцип для анализа устойчивости.
Работа, совершаемая силой 
, дает изменение потенциальной энергии элемента плазмы
(2.2.1.9)
Интегрирование по объему дает приращение энергии для всей системы
(2.2.1.10)
Если 
, то система устойчива, если < 0, то она неустойчива по отношению к возмущению 
. Подставляя в (2.2.1.10) правую часть из (2.2.1.8) и учитывая граничные условия, можно преобразовать это выражение к виду
(2.2.1.11)
Здесь первый интеграл берется по объему плазмы 
, второй – по внешнему, вакуумному объему 
, третий – по поверхности, ограничивающей плазму. Производные 
- это производные по нормали к поверхности; 
- проекция смещения 
на нормаль 
.
Полученное выражение используется при анализе устойчивости с помощью энергетического принципа.
2.2.2. Гравитационная неустойчивость
 |
Знакомство с проблемой устойчивости плазмы удобно начать с наглядного простейшего случая неустойчивости резкой границы плазмы, находящейся в поле тяжести и удерживаемой магнитным полем. Рассматриваем плоский случай: магнитное поле направлено вдоль оси z (за рисунок), плазма находится в области x > 0.
Хотя обычно, в плазменных установках, роль силы тяжести практически пренебрежимо мала, однако вместо нее может быть подставлена например центробежная сила, возникающая при движении плазмы в искривленном магнитном поле.
Условия сформулированной задачи аналогичны условиям задачи Релея – Тейлора в гидродинамике о неустойчивости границы тяжелой жидкости, расположенной над легкой. Роль тяжелой жидкости исполняет здесь плазма, роль легкой – магнитное поле.
Смещение плазмы из положения равновесия зададим в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси y
, (2.2.2.1)
где 
, а ω - значение частоты, соответствующее волновому числу k. При этом скорость смещения элемента плазмы определяется с помощью формулы 
.
Считаем также, что 
, 
Будем считать плазму несжимаемой жидкостью (ρ = const). Тогда из уравнения непрерывности
(2.2.2.2)
следует 
т.е. 
или 
(2.2.2.3)
Движение плазмы будет описываться уравнением Эйлера, имеющим в этом случае следующий вид
(2.2.2.4)
Подставляя (2.2.2.1) в уравнения (2.2.2.3) и (2.2.2.4), получаем
; (2.2.2.5)
; (2.2.2.6)
(2.2.2.7)
Здесь учтено, что 
. Из уравнений (2.2.2.6) и (2.2.2.7) можно исключить, 
, если первое из них умножить на 
, второе продифференцировать по х, а затем сложить оба уравнения:
(2.2.2.8)
Из (2.2.2.8) определяем 
и, подставляя его в уравнение (5) находим
(2.2.2.9)
Общее решение этого уравнения состоит из суммы двух экспонент exp (± k y x) с произвольными коэффициентами. Из физических соображений выбираем равным нулю коэффициент при нарастающей с удалением от границы экспоненте. Тогда решение записывается в виде
(2.2.2.10)
где 
- константа.
Возмущение давления плазмы 
можно найти из следующих соображений. В равновесии действие силы тяжести внутри плазменного слоя уравновешивается градиентом давления
, (2.2.2.11)
в результате чего давление плазмы должно зависеть от координаты х: р=р(х). При малом смещении по x, 
и с учетом (2.2.2.11) получаем
(2.2.2.12)
Подставляя (2.2.2.12) в уравнение (2.2.2.7), имеем 
. Заменив на 
с помощью (2.2.2.8) легко получить 
. Иначе говоря, дисперсионное уравнение для частоты ωв имеет вид
(2.2.2.13)
то-есть получаем чисто мнимое значение для частоты, означающее экспоненциальное нарастание возмущения.
2.2.3. Желобковая неустойчивость плазмы и энергетический принцип устойчивости в магнитной гидродинамике
Будучи диамагнетиком, плазма стремится распространяться в сторону более слабого магнитного поля. Поэтому, если поверхность плазмы лежит в области, где напряженность магнитного поля убывает от границы плазмы наружу, то положение границы может оказаться неустойчивым.
В замкнутых магнитных ловушках нельзя создать такое магнитное поле, напряженность которого возрастает наружу от границы плазмы вблизи каждой точки поверхности тороидальной плазменной конфигурации. Нормальная к поверхности плазмы компонента grad | H | меняет знак вдоль границы.
В токамаке, например, H убывает от границы плазмы наружу на внешней стороне тора и возрастает на внутренней стороне его стороне. Это свойство замкнутых ловушек, требует внимательного рассмотрения условий устойчивого удержания плазмы в таких системах. Вопрос состоит в следующем: не может ли плазма отдельными «языками» вытекать в область более слабого поля? Ответ на этот вопрос зависит от того, имеем ли мы дело с плазмой высокого давления, для которой параметр 
, или же с плазмой низкого давления, для которой β << 1. В этих двух крайних случаях условия устойчивости совершенно различны.
При β ~ 1 на поверхности плазмы могут образовываться и развиваться локальные возмущения типа «языков». Вследствие вмороженности поля в плазму образование отдельного языка приводит к искривлению силовых линий с увеличением магнитной энергии. Соответствующая работа производится расширяющейся плазмой благодаря ее тепловой энергии. Если «язык» встречает более слабое поле, то он будет распространяться все дальше, и это означает неустойчивость границы плазмы. В данном случае неустойчивость имеет локальный характер, т.е. она зависит от местной геометрии поля.
Как уже говорилось, в замкнутых ловушках на отдельных участках поверхности плазменного витка геометрия поля благоприятствует развитию «языков» (это имеет место там, где поверхность плазмы двояковыпуклая). Поэтому плазма с β ~ 1 в таких системах должна быть более неустойчивой. Об этом не следует забывать при обсуждении перспектив использования высокотемпературной плазмы.
Совершенно иная ситуация складывается в том случае, если давление плазмы исчезающе мало по сравнению с магнитным давлением. Заметим, что это условие фактически соблюдалось во всех исследованиях, выполненных до сих пор на установках типа токамак. При β << l возмущения плазмы не могут вызвать заметных искажений формы силовых линий. Следовательно, локальные деформации типа «языков» автоматически стабилизируются, и все возмущения внутри плазмы или на ее границе могут носить только характер перестановки целых систем трубок.
Плазма, заполняющая магнитную трубку, образованную очень тонким пучком силовых линий, стремится расшириться и, поэтому, будет перемещаться в ту сторону, где объем трубки увеличивается. Этот объем,, 
где δS - площадь поперечного сечения трубки и dl - элемент длины силовой линии. Вследствие неизменности магнитного потока δФ по длине трубки можно написать
(2.2.3.1)
Вмороженность силовых линий означает, что при всех перемещениях данной трубки, заполненной плазмой низкого давления, 
остается постоянным. Следовательно, объем трубки изменяется пропорционально 
. Поскольку плазма, как и всякий другой газ, имеет естественную тенденцию к увеличению объема, то в процессе перемещения трубки 
играет роль, аналогичную потенциальной энергии.
Описанные здесь перемещения отдельных элементов плазмы, при которых силовые трубки меняются местами, замещая друг друга, называются перестановочными, или конвективными, деформациями. Появление таких деформаций на границе плазмы с внешним полем приводит к тому, что поверхность плазмы приобретает «желобковую» структуру, ориентированную вдоль силовых линий. Поэтому иногда говорят также о деформациях желобкового типа - самых опасных врагах равновесных конфигураций.
2.2.4. Винтовая неустойчивость.
Рассмотрим другой вид неустойчивости, проявляющийся в плазменном шнуре при протекании по нему тока.
Пусть имеем цилиндрический шнур из несжимаемой идеально проводящей жидкости, помещенный в продольное магнитное поле. Пусть по нему (вдоль) течёт ток 
. Считаем, что магнитное поле внутрь проводящего столба не проникает — оно скомпенсировано азимутальной частью тока, текущего по поверхности идеального проводника.
 |
Рис 1. Проводящий плазменный шнур с током в продольном магнитном поле.
Снаружи имеем суперпозицию магнитных полей продольного 
и азимутального 
. Силовые линии — винтовые, с шагом 
. На поверхности радиуса 
шаг 
, а при удалении в радиальном направлении он возрастает 
.
Пусть 
. Имея в виду приложение к тороидальному случаю для 
(кривизна стремится к нулю), будем принимать конечную длину шнура 
. Далее для упрощения окружим шнур идеально проводящим кожухом, радиуса 
. При этом все магнитные потоки между кожухом и шнуром заданы и остаются постоянными.
Пусть на шнур наложено малое возмущение вида 
, где 
, и 
— целые числа. Пусть 
— смещение элемента плазмы, так что 
. Тогда для смещения элемента несжимаемой жидкости имеем:
(2.2.4.1)
где 
— постоянная плотность жидкости, 
— давление.
Применив оператор дивергенции к обеим частям уравнения (2.2.3.1) и учитывая, что в силу несжимаемости жидкости 
, а возмущение давления имеет вид, оговоренный выше, получаем:
(2.2.4.2)
Отсюда, при 
получаем степенное решение 
, где 
— значение возмущенного давления на границе шнура, которое должно равняться возмущению давления магнитного поля снаружи от плазмы:
(2.2.4.3)
Для вычисления этой величины нужно определить — радиальное смещение границы плазмы и 
— возмущение магнитного поля. Для колебаний вида 
это смещение с учетом степенной зависимости 
следует из 2.2.3.1 и равно:
(2.2.4.4)
, 
.
Возмущение магнитного поля снаружи от шнура можно найти из следующих соображений. Во-первых, поскольку в вакууме 
, т.е. 
и 
, то для длинноволновых возмущений, т.е. для 
, опять имеем степенные решения. При 
можно считать 
, где 
— некоторая константа. На границе плазмы (шнура) магнитное поле должно иметь только тангенциальную компоненту, т.е. в линейном приближении мы имеем:
(2.2.4.5)
где 
— нормаль к поверхности. Отсюда находим:
(2.2.4.6)
где 
— азимутальное поле на границе шнура. Теперь можем выразить 
на границах шнура через и в итоге получим:
(2.2.4.7)
Выразив через и, с помощью (2.2.3.4), — через , а также учитывая (2.2.4.3), получаем дисперсионное уравнение для частоты малых колебаний:
(2.2.4.8)
Отрицательным значениям квадрата частоты соответствует неустойчивость
| |||
| |||
а) б)
Рис 2. Образование винтовой ленты (а) и трубчатой конфигурации (б) при винтовой неустойчивости.
Видно, что инкремент нарастания колебаний 
достигает максимума при 
. Такое возмущение является винтовым и имеет шаг 
.вдоль шнура. Таким образом, шаг наиболее неустойчивого возмущения совпадает с шагом силовой линии на границе шнура.
При винтовой неустойчивости жидкость, будучи несжимаемой, сама работы не производит — неустойчивость развивается за счет освобождения магнитной энергии. Особенно отчетливо это становиться заметно, если мы не будем ограничиваться только малыми возмущениями, а рассмотрим винтовую деформацию конечной амплитуды.
Винтовая неустойчивость развивается в силу того, что силовые линии на рис. 2 стремятся сократиться, т.е. распрямиться. При этом они деформируют плазму так, чтобы уменьшить свою кривизну. Когда они распрямляются совсем, то шнур превращается в винтовую ленту и, в пределе, в цилиндр. Мысленно соединим концы шнура с кожухом и рассмотрим полученный контур. В исходном состоянии (прямой шнур) этот контур пронизывается лишь азимутальным магнитным потоком 
, где — азимутальное магнитное поле на конце шнура. В конечном состоянии (спиральная лента) весь поток создается только продольным полем. Он равен 
, где 
— число витков спирали. Приравнивая потоки, получим
(2.2.4.9)
где мы ввели так называемый коэффициент запаса по винтовой устойчивости
(2.2.4.10)
Точно такой же процесс извивания и образования полого цилиндра может быть прослежен при возмущении с 
. Только теперь нитей будет 
штук и для радиуса конечной трубки будем иметь
(2.2.4.11)
 |
Пусть теперь имеем более реальный случай плазменного шнура с током. Пусть по-прежнему
, 
и пусть, для простоты рассмотрения, ток равномерно распределен по сечению шнура. При этом в исходном состоянии азимутальное магнитное поле будет иметь вид, показанный на рис. 3. Внутри шнура поле линейно возрастает с радиусом, и поэтому шаг силовых линий здесь постоянен.
Рис 3. Распределение азимутального магнитного поля в исходном состоянии
 |
а) б) в)
Рис 4. Образование пузыря в плазме.
Пусть имеем снова винтовое возмущение с шагом, совпадающим с шагом силовых линий. Такое возмущение никак не влияет на магнитное поле внутри плазмы, и шаг силовых линий не меняется даже при деформациях конечной амплитуды. Но тогда нужно ожидать такой же картины, как и в случае жидкого несжимаемого проводника. А именно, энергия азимутального поля будет минимальной, когда внутри шнура появиться «пузырь» — вакуумная область с продольным магнитным полем.
Образование такого пузыря показано на рис. 4. В случае постоянного шага силовых линий пузырь можно довести до центра, практически не возмущая магнитного поля.
Если же шаг силовых линий внутри шнура непостоянен, то при любой винтовой его деформации приходиться возмущать продольное магнитное поле, а это, безусловно, будет приводить к стабилизирующему эффекту.
Пусть весь ток течет по поверхности шнура, так что «внутреннее» магнитное поле 
равно полю снаружи(). Это следует из условия равновесия на границе 
. При этом, из-за деформации внутреннего поля, в квадрат частоты должен быть вклад такого же вида, как и при альфвеновских колебаниях, а именно
(2.2.4.12)
При равных нулю двух последних слагаемых, появившихся из-за вклада внешней области шнура, мы имели бы просто дисперсионное уравнение для альфвеновских волн внутри шнура.
Из уравнения (2.2.4.12) видно, что неустойчивость («‑» справа) может быть только при 
, но и в этом случае шнур неустойчив, если 
. Так как 
, то отсюда следует, что условием устойчивости является неравенство
(2.2.4.13)
Это условие было получено Крускалом и Шафрановым и названо в их честь. Реально в токамаках плазма устойчива при 
.
2.2.5. Дрейфовая неустойчивость плазмы
Эта неустойчивость связана с движением плазмы, носящим название дрейфовых волн. Этот тип движения складывается из почти свободного перемещения электронов вдоль силовых линий магнитного поля и ионного движения практически поперек этих силовых линий.
Для описания этих эффектов нужно взять обобщенный закон Ома и учесть в нем градиент давления электронной компоненты.
В самом простом случае за исходное можно взять уравнение движения электронной компоненты:
(2.2.5.1)
Последний член здесь – сила трения электронов об ионы.
Мы пренебрежем силой трения и инерционным членом и для возмущенных величин получим:
(2.2.5.2)
Это соотношение в теории дрейфовых неустойчивостей играет роль эквивалента законы Ома.
Пусть имеем плоский слой плазмы с плавным изменением концентрации вдоль оси 
: 
. Магнитное поле 
однородно и направлено вдоль оси 
. Пусть 
по всему слою. Рассмотрим возмущения следующего вида:
Для таких возмущений из (2) в линейном приближении следует связь возмущенной плотности электронов с возмущением потенциала:
(2.2.5.3)
Это есть ни что иное, как больцмановское распределение, также линеаризованное.
Если теперь пренебречь продольным движением ионов и учесть, что их поперечное движение обусловлено электрическим дрейфом, то уравнение непрерывности для ионной компоненты можно записать следующим образом:
(2.2.5.4)
Теперь с помощью (2.2.5.3) и (2.2.5.4) из условия квазинейтральности 
можно получить следующее дисперсионное уравнение:
; 
(2.2.5.5)
Здесь 
– характерный размер неоднородности плазмы. Он имеет,
например, в шнуре тот же порядок, что и радиус поперечного сечения.
Волны, описываемая дисперсионным соотношением (2.2.5.5) называется дрейфовой, т.к. скорость её распространения в направлении перпендикулярном вектору магнитного поля по порядку величины совпадает со скоростью дрейфового движения неоднородной плазмы. Пределы применимости для дисперсионного соотношения (2.2.5.5) по частоте вытекают из условия, чтобы фазовая скорость в продольном направлении, 
, лежала в следующем интервале:
(2.2.5.6)
Если 
, то нужно учитывать инерционный член в электронном движении. Если 
, то дрейфовая волна в плазме с холодными ионами (
) переходит ионно-звуковую и при этом начинает играть роль продольное движение ионов. Если же 
, то 
и начинает работать затухание на ионах.
Можно заметить, что из условия 
, следует следующее соотношение:
(2.2.5.7)
В сильном магнитном поле 
и дрейфовая волна должна быть сильно вытянута вдоль магнитного поля.
2.2.6. Дрейфовые волны в токамаке.
