Кинетические неустойчивости

Если гидродинамические неустойчивости являются, в основном, следствием пространственных неоднородностей, то кинетические вызываются неравновесностью функции распределения.

 

2.3.1.Пучковая неустойчивость.

Наглядным примеров неравновесной функции распределения является наличие в плазме пучка частиц, т.е. группы частиц обладающих выделенной скоростью. Исследование на устойчивость системы пучок – плазма производится на основе кинетической теории. Здесь мы воспользуемся результатами, изложенными в первой части курса при описании кинетического подхода к анализу распространения волн в плазме.

 

Рассмотрим систему, состоящую из электронного пучка, проходящего сквозь плазму. Будем интересоваться достаточно высокочастотными колебаниями, чтобы ионную компоненту можно было исключить из рассмотрения. Исходим из общего выражения для диэлектрической проницаемости:

В данном случае мы должны учесть электронную компоненту плазмы и пучок-группу электронов, движущуюся относительно основной плазмы с некоторой средней скоростью. Поэтому выражение (4.3.24) трансформируется в:

(2.3.1.1)

где

;

X – аргумент функции Крампа для электронной компоненты плазмы, X₁ – для электронов пучка, имеющих среднюю скорость U₁ (частота сдвинута в соответствии с допплеровским эффектом)и тепловой разброс, характеризуемый тепловой скоростью U_1T

Исследуем вначале случай холодного пучка и холодной плазмы. Используя разложения функции Крампа температуру к нулю, получаем дисперсионное уравнение:

(2.3.1.2)

Здесь w_pe -электронная ленгмюровская частота, a=n₁ / n₀ - отношение плотностей частиц пучка и плазмы, U - скорость частиц пучка. Полагаем a <<1.

Учитывая малость параметра a и принимая, что k_ççu не слишком близко к w_{pe ,} находим, что два из четырех корней уравнения (2.3.1.2) соответствуют ленгмюровским колебаниям, а два других равны:

(2.3.1.3)

Из формулы (2.3.1.3) видно, что при корни комплексны и один из них соответствует колебаниям, нарастающим с инкрементом

(2.3.1.4)

Эти колебания имеют групповую скорость, близкую к скорости частиц пучка и поэтому называются сносовыми. Если частота таких сносовых колебаний приближается к ленгмюровской, то-есть k_ççu₁»w_pe уравнения (2.3.1.3) и (2.3.1.4) теряют силу и (2.3.1.2) нужно исследовать другим способом.

Итак, полагаем, что в нулевом приближении частота колебаний близка к ленгмюровской:

(2.3.1.5)

и поправка к частоте по абсолютной величине сильно превышает разницу между ленгмюровсой частотой и k_ççu: . Тогда из (2.3.1.1) следует:

(2.3.1.6)

Отсюда получаем выражения для действительной и мнимой частей добавки к частоте нарастающих колебаний:

(2.3.1.7)

(2.3.1.8)

На границе применимости этих формул, выражения (2.3.1.4) и (2.3.1.8)дают близкие значения для инкремента нарастания колебаний. Следует отметить, что из-за пропорциональности инкремента кубическому корню из отношения плотности пучка к плотности плазмы, даже при малых плотностях пучка инкремент нарастания колебаний может быть значительным. Физическая природа такого относительно большого нарастания волн заключается в резонансе ленгмюровских плазменных колебаний основной плазмы и сносовых колебаний в пучке.

Оценим теперь влияние теплового разброса скоростей частиц на развитие колебаний, раскачиваемых пучком. Вернемся к дисперсионному уравнению(2.3.1.2). Как мы уже отмечали, приближению холодной плазмы соответствует случай . Поэтому общий критерий применимости этого приближения к данной задаче может быть записан в виде:

В случае пучка малой плотности, , ограничения на тепловой разброс более плотной компоненты состоит в требовании существенного превышения скоростью пучка средней скорости теплового движения

в то время как для менее плотной компоненты это требование оказывается более жестким:

Чтобы получить критерии более точные, чем сильные неравенства, нужно рассмотреть конечные значения аргумента x. При этом, с точностью до членов включительно,

можно найти максимальный (резонансный) инкремент колебаний, возбуждаемых «слегка нагретым» пучком в «слегка нагретой» плотной плазме:

(2.3.1.9)

Видно, что приближение холодного пучка плазмы дает правильный по порядку величины результат даже когда приведенные выше неравенства не являются сильными.

Физический смысл приведенных критериев заключается в требовании, чтобы среднее тепловое смещение частиц за характерное время (период колебаний, либо время обратного инкремента), измеренное в системе координат, движущейся с пучком, не должно превышать длину волны.

 

2.3.2. Раскачка ионного звука в плазме с током.

 

В первой части курса была отмечена возможность распространения ионно–звуковых волн в неизотермической плазме (). Эти волны могут раскачиваться в плазменном столбе при протекании по нему тока. Проанализируем эту ситуацию. Считаем, что электроны имеют максвелловское распределение по скоростям, сдвинутое на величину «токовой» скорости . Воспользуемся дисперсионным соотношением

(2.3.2.1)

Действительная часть диэлектрической проницаемости была определена нами ранее в гидродинамическом приближении, а мнимая часть определяется электронной компонентой в соответствии с формулой (4.3.14) первой части. Для принятой нами функции распределения электронов

откуда с помощью (4.3.17) из первой части

 

 

можно найти выражение для инкремента

 

, (2.3.2.2)

Здесь - угол между векторами и . Раскачка ионного звука, как видно из (2.3.2.2) становится возможной при , т.е. токовая скорость должна превышать фазовую скорость волн (скорость ионного звука).