Дәріс №7. Тең дәлдіктер деп өлшемдер бағалауында қолданылатын сандық сипаттамалар

Дегенмен, жоғарыда келтірілген Гаусс формуласы қарастырылып отырған шаманың X дәл өлшемі белгілі болған жағдайдағы, негізінен, оның жеке өлшем нәтижесін бағалау үшін қолданылатынын ескерте отырып, мұндай шарттың нақты есептеулерде өте сирек кездесетінін айтуға болады.

Осыған орай, бірден бірлікте болып, өлшеулер нәтижелеріндегі өлшемдер қателіктерінің мәнін арифметикалық орта атауына қатысты бағалау орынды болып табылады.

Мысалы, осы атауды қолдана отырып, Бессель өзінің өлшеулер жұмыстарындағы өлшемдер нәтижелерін, осы өлшемдердің нақты мәндерінің қателіктер квадраттары орта мәнінің ауытқуына қатыссыз, оның арифметикалық орта мәніне сәйкес анықталатын формуласын

 

M = (1)

 

қорытып шығарды. Мұндағы: ν_і = l _i-x,

l_i — берілген шаманың қайталамалы жеке өлшемдері,

x — өлшемдер жиынының арифметикалық ортасы.

Енді, осы жазылған формулаға тоқтала отырып, нақты өлшем бірлігі белгілі болмай немесе бір ғана өлшеу жүргізілген болса, онда өлшемдер нәтижесінің дәлдігін бағалау мүмкін емес екені анықталады.

Міне, осындай тұжырымдардан кейін, сызықтық өлшемдер дәлдігін бағалау белгісі ретінде, салыстырмалы қателіктер тү­сінігін еңгізуге болады. Салыстырмалы қателіктер дегеніміз қарастырып отырған шама мәнінің оның абсолют қателігіне қатынасы.

Сонда, сандар қатынасы бөлшек сан болатындықтан, бөлшектің алымына абсолюттік қателік мәні жазылып, ал оның бөліміне берілген шаманың өлшем бірлігі жазылады.

Мысалы, белгілі бір шаманың абсолют қателігі m_е = ±0,2м, ал, сол шаманың нақты өлшемі l =300м бірліктерінде болатын болса, онда салыстырмалы қателікті есептеп шығаруымызға болады:

= =

Егер, өлшемдер жиынының нәтижесіндегі қателіктер квад­раттарының орта мәнін m, ал, жүргізілген өлшеулер санын п белгілеулерінде алып қарастырсақ, онда арифметикалық орта атауының сенімділік және дәлдік бағалауын

 

M = (2)

 

формуласы бойынша анықтауға болатынын айта аламыз.

Бұл жағдайда, жоғарыда айтылғандарды қорытындылай келіп, барлық қарастырып отырған зерттемелеріміз нақты өлшеулердегі өлшем жиындары нәтижелерінің қателіктер дәлдігін бағалауға бағытталғандығын байқаймыз. Бірақ, мұндай шарттарсыз қосалқы өлшемдерді де пайдалана отырып қажетті белгісізді табуға болатын жағдайлар кездеседі. Мысалы, өлшеп алынған радиус бірлігіне қатысты, шеңбер ұзындығымен оның ауданын есептеп шығара аламыз.

Сонда, өлшеніп алынған шамамен қарастырып отырған формулаға қатысты қателіктер квадраттарының орта мәнін табуға бола ма деген сұрақ туады.

Қойылған сұраққа жауап табу үшін,

 

Y = kx, (3)

 

түрінде анықталған сызықтық функция берілсін делік. Егер функция аргументі х оған сәйкес Ах есімшесін алатын болса, онда функция есімшесі Ду белгілеуінде болады да, жазылған формуланы (3) келесі түрде

 

y + y = k(x+Δx), (4)

 

түрлендіріп жаза аламыз. Содан кейін, осы жазылған (3) және (4) формулаларының айырмасы үшін

 

y = kΔx, (5)

 

өрнегін анықтап, функция және аргумент атауларының нақты қателіктері арасындағы функционалдық тәуелділік формуласы белгілі болады.

Енді, қателіктер квадраттарының ортасын анықтау барысында қайталамалы өлшеулер нәтижелерінде анықталатын

y₁=kΔx₁, y₂=kΔx_2, ..., y_n=kΔx_n

өрнектерін жазып, олардың екі жағын да квадраттап, сәйкестікте қосқаннан кейін, жоғарыда жазылған формула бойынша

= ²= =k² =k²m²_x (6)

немесе

m_y= km_y,

формуласы қорытылып шығарылады.

Жалпы жағдайда, қателіктер квадраттарының ортасы мәнін анықтау қажет болса, n санды айнымалыларға тәуелді болып келетін

 

y= f(x₁x₂,x₃,...,x_n), (7)

 

функциясы берілсін делік.

Егер функция айнымалылары немесе аргументтерінің х„, сәйкестікте болатын қателіктері Δх болатын болса, онда көп айнымалы функция үшін

y+Δy=f(x_l+Ax_l, x²+Δx₂+...+х₂+ΔX_n),

өрнегін жазуға болады.

Сонда, өлшемдер іштеріндегі қателіктер өте шамалы бо­лады деп қарастыра отырып, соңғы жазылған өрнекте бірінші ретте туындылармен ғана шектеп Тейлор қатарын жазалық:

у+Δу=f(x₁+x₂+…+x_n)+ Δx₁+ x₂+…+ Δx_n, (8)

Яғни, соңғы жазылған (20) және (21) формулаларын бірге қарастырсақ:

Δy= Δx₁+ x₂+…+ Δx_n

формуласы анықталады.

 

Бұл формуладағы, бірінші ретті туындылар теңдіктеріне сәйкес анықталатын тұрақты шамалар болып табылады да, Δ y өсімшесін, k_n коэффициенттеріне қатысты

Δy — ±.k₁Ax₁±k₂Ax₂±....±k_nAx_n,

түрінде қайталап жазуға болады.

Енді, осы айтылған тұжырымдарды ескере отырып, қателіктер квадраттарының орта мәнінің анықталу формуласын

 

m_y

 

немесе

 

m_y=

 

түрінде жазып, қажетті есептеулерде пайдалануымызға болады.