Уравнение возраста Ферми и его решение

5.4.1. Плотность замедления нейтронов. В каждом кубическом санти­метре объёма активной зоны реактора движутся большие количества нейт­ронов самых различных энергий. И мысленный "моментальный снимок" дви­жущихся в единичном объёме среды по разным направлениям и с различными скоростями нейтронов способен вызвать ощущение хаоса, лишенного каких­-либо закономерностей.

Но, поскольку движением нейтронов управляет Её Величество Среда, управляет в силу присущих ей природных (= физических, точнее, замедляющих) свойств, какая-то закономерность пространственно-энергетичес­кого распределения замедляющихся нейтронов в зависимости от замедляющих свойств среды должна быть. Одну из таких закономерностей (скорее всего, наиболее важную) описывает уравнение возраста Ферми.

Но прежде чем знакомиться с самим этим уравнением, рассмотрим од­ну из характеристик, фигурирующих в нём - с плотностью замедления нейтронов.

Плотность замедления q(E) нейтронов при данной энергии Е называется число нейтронов, ежесекундно пересекающих в процессе замедления в единичном объёме среды данный уровень энергии Е.

В соответствии с определением размерность q(E) - нейтр/см³с.

Чем должна определяться величина q(E) в реакторе?

- Во-первых, q(E) - величина локальная, поскольку трудно ожидать, чтобы в разных микрообъёмах активной зоны реакция деления шла с одина­ковой скоростью, а, значит, и нейтроны деления рождались бы с одинако­вой скоростью. Известный нам процесс утечки нейтронов, идущий, главным образом, из периферийных слоев активной зоны, конечно же, должен умень­шать плотность нейтронов любой энергии в периферийных объёмах активной зоны, и, значит, плотность нейтронов любой энергии в центральной обла­сти активной зоны должна быть выше, а на её периферии - ниже. Неравно­мерность распределения плотности нейтронов в объёме активной зоны дол­жна порождать неравномерность скоростей генерации нейтронов деления, а последняя должна неизбежно порождать неравномерность распределения ве­личины плотности замедления нейтронов в объёме активной зоны.

Иначе говоря, величина плотности замедления q(E) является функци­ей координат точек активной зоны, то есть q = f(E, r), имея в виду под r (x,y,z) краткое обозначение радиус-вектора точки активной зоны с ука­занными координатами.

- Во-вторых, плотность замедления должна зависеть от замедляющих свойств среды активной зоны, а, значит, - от какой-то из характеристик замедляющих свойств этой среды. Возраст нейтронов с энергией Е оказал­ся наиболее подходящей из всех известных нам характеристик замедляющих свойств: в среде конкретного состава возраст t однозначно связан с энергией нейтронов Е, и каждому определённому значению энергии Е замедляющихся нейтронов в среде соответствует своё определенное значе­ние возраста t(E) = ln(E_o/E)/3xS_sS_tr.

Вот почему зависимость плотности замедления от координат, замедля­ющих свойств среды и энергии нейтронов можно записать более ёмко: q( r, E) = f ( r, t).

Ради лучшего понимания сущности величины плотности замедления по­лезно задуматься о двух "крайних" частностях этой величины.

Первая: плотность замедления в начале процесса замедления, то есть при Е = Е_о = 2 МэВ, при средней энергии, с которой рождаются нейтроны в реакторе, и с которой они начинают замедляться. Если обозначить величину плотности замедления при Е_о через q_f, то эта величина в реакторе с полным основанием может быть названа скоростью генерации нейт­ронов деления, так как ясно: сколько нейтронов деления рождается ежесекундно в единичном объёме активной зоны - столько же их без задержки начинает процесс замедления в этом объёме, немедленно пересекая уровень энергии Е_о.

Итак, q_f = q (E_o) - это скорость генерации нейтронов деления.

Вторая частность: плотность замедления в конце процесса за­медления нейтронов в активной зоне, т.е. при энергии Е = Е_с. Эта величина может быть названа скоростью генерации тепловых нейтронов: сколько нейтронов пересекают ежесекундно в единичной объёме активной зоны уровень энергии Е_с, - столько же их ежесекундно в этом единичном объёме становятся тепловыми нейтронами.

Итак, q_т = q (E_c) - это скорость генерации тепловых нейтронов.

В общем же случае, в интервале энергий замедления Е_с < E < E_o ве­личина плотности замедления q = q(r,t), разумеется, отлична от q_f и от q _т.

5.4.2. Уравнение возраста Ферми. При рассмотрении нейтронного цик­ла отмечалось, что подавляющее большинство веществ очень слабо погло­щают эпитепловые нейтроны, и исключение из правила составляют резонансные захватчики замедляющихся нейтронов, среди которых выделяется ²³⁸U - обязательный компонент топлива активных зон большинства тепловых ре­акторов. Поэтому особенностью процесса реального замедления нейтронов в активных зонах сравнительно с замедлением в идеальных, не поглощающих замедляющиеся нейтроны, средах является непрерывное уменьшение количес­тва замедляющихся нейтронов за счёт их резонансного захвата в процессе замедления.

Поэтому плотность замедления нейтронов любой энергии Е диапазона замедления в реальной активной зоне обязательно должна быть меньше, чем плотность замедления в той же активной зоне, лишённой резонансных захватчиков.

Это в большей степени существенно для гомогенного реактора, в ко­тором все компоненты активной зоны (включая и резонансных захватчиков) равномерно распределены в активной зоне. Гетерогенного реактора это ка­сается несколько меньше, так как подавляющее большинство нейтронов прохо­дят процесс замедления в замедлителе - среде, почти не поглощаю­щей эпитепловые нейтроны и расположенной отдельно от топливной компо­зиции, в объёме которой содержится резонансный захватчик.

Относительно слабое поглощение эпитепловых нейтронов большинством материалов активной зоны в теории тепловых реакторов породило так на­зываемое одногрупповое возрастное приближение, основная суть которого состоит в следующем:

- поглощение эпитепловых нейтронов считается не влияющим на про­цесс их замедления, то есть замедление в реальной активной зоне подчи­нено тем же закономерностям, что и в идеальной непоглощающей среде;

- снижение величины реальной плотности замедления в конце процес­са замедления (q _т) по сравнению с величиной плотности замедления в той же, но не поглощающей эпитепловые нейтроны среде (q _т*) можно учесть с помощью известного нам коэффициента j - вероятности избежания резонан­сного захвата в активной зоне реактора:

q _т = q _т* j (5.4.1)

Именно для непоглощающих эпитепловые нейтроны сред справедливо уравнение возраста Ферми:

(5.4.2)

Левая часть уравнения - производная функции плотности замедления по величине возраста нейтронов, а так как возраст нейтронов в конкрет­ной среде однозначно связан с уровнем энергии замедляющихся нейтронов, то эта величина несет в себе неявный смысл скорости изменения плотности замедления по энергиям нейтронов.

Правая часть - оператор Лапласа от функции плотности за­медления, то есть сумма вторых частных производных плотности замедле­ния по координатам активной зоны.

В целом решение уравнения возраста для активной зоны конкретных геометрии и состава даёт функцию пространственного (то есть по коорди­натам) и энергетического (то есть по возрастам, а значит - и по энер­гиям) распределения замедляющихся нейтронов в активной зоне в зависимости от замедляющих свойств среды активной зоны (которые, как мы ви­дели ранее, скрыты в величине возраста). Возраст нейтронов t фигуриру­ет в уравнении Ферми в качестве сложной переменной.

5.4.3. Решение уравнения возраста. Уравнение возраста является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, по­этому для получения конкретного его решения для условий активной зоны реактора необходимо указать пару начальных условий. В качестве послед­них можно использовать две упомянутых выше частности:

- при Е = Е_о t(E_o) = 0 и q*(r, 0) = q_f*;

- при Е = Е_с t(E_c) = t _т и q*(r,t _т ) = q_т*.

Предположим, что решение уравнения возраста найдено в виде произ­ведения двух функций:

q*(r,t) = T(t) R(r), (5.4.3)

одна из которых - Т(t) - является функцией только возраста t, а дру­гая R(r) - функцией только координат r.

Если (5.4.3) - решение уравнения (5.4.2), то, будучи подставлен­ным в (5.4.2), оно должно обращать последнее в тождество. Выполним эту подстановку, для чего найдём вначале выражения для dq*/dt и Ñ ²q*:

dq*/dt = R dT/dt, (5.4.4)

так как функция R переменной t не содержит, а это значит, что при частном дифференцировании к ней можно относиться как к постоянной ве­личине. Аналогично рассуждая,

Ñ ²q* = T Ñ ²R, (5.4.5)

так как функция Т не содержит координат r.

Итак, подстановка (5.4.4) и (5.4.5) в (5.4.2) даёт тождество:

R dT/dt º T Ñ ²R, или, что то же:

. (5.4.6)

Задумавшись о том, когда может быть так, что две разные функции различных аргументов всегда тождественно равны друг другу при различ­ных значениях этих аргументов, мы должны однозначно ответить так, как ответил Э.Ферми: это может быть только в том случае, если обе эти функции - есть постоянная величина.

Более того, связывая функцию (1/ Т) dT/dt с физическим смыслом за­висимости плотности замедления q* от возраста t, можно сказать, что эта постоянная величина (обозначим её - B²) должна иметь обязательно отрицательный знак, так как функция плотности замедления q*(t) не может быть возрастающей функцией с увеличением возраста нейтронов (иначе это противоречило бы физическому смыслу: число нейтронов в процессе их замедления может либо оставаться постоянным (в непоглощающей среде), либо убывать (за счёт поглощения и утечки), но никак не возрастать).

Поскольку B² - присущая конкретному реактору величина, её принято называть параметром реактора.

С учётом принятого обозначения упомянутой постоянной величины тож­дество (5.4.6) можно переписать в виде двух отдельных равенств:

(5.4.7)

(5.4.8)

Уравнение (5.4.7) представляет собой энергетическую часть уравнения возраста, в то время как уравнение (5.4.8) - пространствен­ная его часть.

Общее решение дифференциального уравнения (5.4.7) имеет вид:

T = T_o exp(-B²t),

где Т_о - некоторое значение функции Т при t = 0.

Cледовательно, плотность замедления q* в соответствии с (5.4.3) будет равна:

q* = RT = RT_o exp(-B²t) (5.4.9)

Используя для (5.4.9) первое граничное условие, имеем: q_f* = RT_o (5.4.10)

Но величину q_f* - скорости генерации нейтронов деления - можно получить и из общих рассуждений, исходя из среднего значения плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора.

Если S_a - среднее по объёму активной зоны макросечение поглощения тепловых нейтронов, а Ф - средняя по её объёму плотность по­тока тепловых нейтронов, то:

- S_aФ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов в ней, а

- S_aФq - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов делящимися под действием тепловых нейтронов ядрами, а

- S_aФqh - средняя по объёму активной зоны скорость генерации ней­тронов деления, полученных в делениях ядер топлива под действием теп­ловых нейтронов, а

- S_aФqhe - средняя скорость генерации всех нейтронов деления, по­лученных в делениях топлива нейтронами всех энергий; это и есть иско­мая нами величина

q_f* = S_aФqhe = S_aФk_¥ /j.

Сравнивая последнее выражение с (5.4.10), имеем:

k_¥ S_aФ/j = RT_o, откуда R = k_¥ S_aФ/(Т_оj) (5.4.11)

Таким образом, общее решение (5.4.9) с учётом найденной величины функции R (5.4.11) будет иметь вид:

q* = RT_oexp(-B²t) = (1/j) k_¥ S_aФ exp(-B²t] (5.4.12)

Выражение (5.4.12) - есть общее решение уравнения возраста Ферми, дающее величину плотности замедления q* при любом произвольном значе­нии возраста t. Из второго начального условия для плотности замедления тепловых нейтронов это выражение приобретает частный вид средней по объёму активной зоны скорости генерации тепловых нейтронов:

q _т * = (1/j) k_¥ S_aФ exp(-B²t _т ) (5.4.13)

Напомним, что до сих пор речь велась о плотности замедления в иде­альной не поглощающей замедляющиеся нейтроны среде. Подставляя найден­ную величину q _т * в формулу (5.4.1), имеем:

q _т = q _т *j = k_¥ S_aФ exp(- B²t _т ) (5.4.14)

- выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной активной зоне с резонансными поглотителями замедляющихся нейтронов.

5.5. Вероятность избежания утечки замедляющихся нейтронов

Веро­ятность избежания утечки замедляющихся нейтронов p_з - это доля нейтро­нов, избежавших утечки при замедлении, от общего числа нейтронов поко­ления, начавших процесс замедления в активной зоне. Но величину этой вероятности можно переосмыслить и по-другому:

*) Имеются в виду активные зоны одинакового состава.

Выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной ак­тивной зоне q _т получено в предыдущем пункте. Подходя к величине q _т¥ с теми же мерками в рассуждениях, что и к q _т, несложно получить:

q _т¥ = k_¥ S_aФ (5.5.1)

Подставляя (5.4.14) и (5.5.1) в приведенную логическую формулу для p_з, имеем:

p_з = exp (- B²t _т) (5.5.2)

Сравнивая (5.5.2) с начальным предположением (5.1.1), мы должны согласиться, что гипотеза (5.1.1) была не лишена основа­ний: p_з действительно определяется, во-первых, величиной параметра ре­актора (позже убедимся, что параметр B² имеет и геометрический смысл), а, во-вторых, - величиной комплексной характеристики замедляющих свойств среды активной зоны реактора, каковой и является возраст тепловых нейтронов (величина, равная шестой части среднего квадрата пространствен­ного смещения замедляющегося нейтрона, то есть пропорционально связан­ная с величиной квадрата средней длины замедления).

Чем выше величина возраста тепловых нейтронов в реакторе (то есть чем хуже замедляющие свойства среды активной зоны), тем меньше величина ве­роятности избежания утечки замедляющихся нейтронов, поскольку величина возраста определяет толщину приграничного слоя активной зоны, из кото­рого возможна утечка замедляющихся нейтронов. Чем меньше замедляющихся нейтронов располагают возможностью для утечки, тем выше доля замедляю­щихся нейтронов, которые останутся к концу замедления в активной зоне (то есть выше величина p_з).

Что же касается другой величины, определяющей значение p_з, - пара­метра реактора B², то пока можно лишь сказать, что с геометрией актив­ной зоны эта величина каким-то образом связана, о чём свидетельствует её размерность - см^-2. С непростым смыслом величины B² ещё предстоит познакомиться подробнее.