Для успешного вычисления пределов функций необходимо знать следующие теоремы:
1) 
, где 
- постоянная;
2) 
, где - постоянная;
3) если 
и 
существуют, то
,
;
4) 
, если 
;
5) 
;
6) I и II замечательные пределы:
,
,
.
Рассмотрим сначала непосредственное нахождение предела функции:
Пример 1: Найти 
.
Проверим, не обращается ли значение знаменателя в нуль при 
:
.
Подставим предельное значение функции и получим:
.
Пример 2: Если предел делителя равен 0, а предел делимого есть число, отличное от нуля, то предел дроби не существует или дробь имеет бесконечный предел:
.
Пример 3:
.
Так как 
- бесконечно малая величина, а обратная ей 
- бесконечно большая величина.
;
.
Пример 4:
.
Пример 5:
.
Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения вида:
; 
; 
; 
; 
.
Их называют «неопределенностями».
В этих случаях для нахождения предела необходимо предварительно выполнить некоторые преобразования данного выражения.
Рассмотрим некоторые приемы.
Пример 1: Вычислить 
Пример 2: Вычислить 
Пример 3: Вычислить 
Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы числителя и знаменателя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен и сократить дробь на этот сомножитель, найти предел частного.
Нужно знать формулы:
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Пример 7:
Рассмотрим примеры отыскания предела функции при 
.
Пример 8:
Знаменатель – бесконечно большая величина, а обратная ей – бесконечно малая величина, следовательно, 
.
Пример 9: Найти 
- числитель и знаменатель бесконечно большие величины, то есть неопределенность вида .
Преобразуем данное выражение, разделив числитель и знаменатель на 
, получим:
, так как 
; 
.
Пример 10:
.
Пример 11:
Пример 12:
Пример 13:
Пример 14:
Рассмотрим примеры, в которых используются I и II замечательные пределы.
Пример 15: Найти 
, 
Пример 16:
При решении более сложных примеров нередко используют эквивалентность бесконечно малых величин.
Две бесконечно малые величины 
и 
называются эквивалентными, если 
.
при 
, 
;
,
то есть одну бесконечно малую величину можно заменить ей эквивалентной.
Пример 17:
Пример 18:
, при 
, при
Рассмотрим вычисление пределов с использованием II замечательного предела.
Пример 19:
Пример 20:
, так как 
,
а показатель степени 
Пример 21:
,
так как 
, а 
(смотрите свойство 5)
Пример 22:
,
так как 
, где 
, а показатель степени 
Пример 23:
План 2005/2006, поз.
Гресюк Татьяна Казимировна
КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Теория пределов
для студентов заочной формы обучения
Редактор Н.В. Вердыш
Подписано к печати _______________
Формат 60х84/16
Усл. печ. л. _______уч.-изд. л. ______
Тираж __________ экз. Заказ _______
Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
220114, г. Минск, ул. Ф.Скорины 8, к. 2
