Пусть переменная 
, изменяясь неограниченно близко приближается к числу 5, принимая следующие значения
5,1; 5,01; 5,001; 5,0001 … 
5
или
4,9; 4,99; 4,999; 4,9999 … 5.
Мы видим, что абсолютная величина разности 
стремится к нулю, то есть 
; 0,01; 0,001; 0,0001 0, то есть разность 
- величина бесконечно малая.
Число 5 называется пределом переменной и записывается 
или 
.
Определение: Постоянная 
называется пределом переменной , если разность между ними есть величина бесконечно малая 
, то есть 
, если 
- бесконечно малая, можно записать, что 
.
Следовательно,
.
Свойства бесконечно малых величин
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая
- бесконечно малая.
2) Произведение бесконечно малой величины на постоянную 
есть величина бесконечно малая
бесконечно малая.
Следствие: Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема I. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.
Теорема II. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных величин.
Доказательство: Докажем для двух переменных величин.
- переменные
Сложив эти равенства, получим 
,
.
Имеем в левой части разность между переменной 
и постоянной 
, в правой бесконечно малую.
Следовательно, согласно определению предела
,
.
Точно также можно доказать для трех, четырех и любого конечного числа переменных.
Теорема III. Предел разности переменных, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных
.
Теорема IV. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.
Доказательство:
Дано, что 
, 
. Докажем теорему для двух переменных, то есть нужно доказать, что
.
Так как
то
,
.
Умножим эти равенства, получим
,
В левой части имеем разность между переменной 
и постоянной 
, в правой части сумму бесконечно малых величин (теорема о б/м).
Следовательно,
.
Эту теорему можно доказать для любого конечного числа переменных.
Следствие 1: 
, где постоянная.
Следствие 2: 
, где 
- любое действительное значение.
.
Теорема V. Предел частного от деления двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю
, если 
.
Предел функции
О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому стремится ее аргумент , без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.
Определение: Число 
называется пределом функции 
в точке , если для всех значений , достаточно близких к и отличных от , значение функции сколь угодно мало отличается от числа
.
Иначе говоря, число называется пределом функции в точке , если для всех значений , для которых модуль разности между величиной и есть величина бесконечно малая, модуль разности между и есть также величина бесконечно малая
- б/м при условии 
- б/м.
