Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
кафедра математики и физики
КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
для студентов заочной формы обучения
Минск 2006
Составитель Т.К. Гресюк
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
«20» марта 2006 г., протокол № 8
Зав. кафедрой Л.Л. Гладков
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Бесконечно малая величина
Бесконечно большая величина
Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой
Понятие о пределе переменной величины
5) Предел функции
Мы знаем, что в математике и ее приложениях встречаются величины постоянный и величины переменные. На числовой оси 
постоянной величине 
соответствует неподвижная точка 
, а переменной величине 
- движущаяся вправо или влево точка 
.
Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых значений, которые она принимает.
Бесконечно малая величина
Возьмем переменную величину 
, принимающую последовательно значения:
; 
; 
; … 
…
или
; 
; 
; … 
…
По мере увеличения номера места, занимаемого числами этих последовательностей, абсолютная величина уменьшается, и какое бы мы малое положительной число 
ни выбрали, в каждой из этих последовательностей найдется число, начиная с которого абсолютная величина значений будет меньше выбранного .
Пусть например 
, то начиная с шестого члена, который равен , все за ним следующие члены будут меньше по абсолютной величине заданного нами .
В этом случае говорят, что величина неограниченно близко приближается к нулю или стремиться к нулю 
.
Определение: Бесконечно малой величиной называется переменная величина , которая при своем изменении становится, а в дальнейшем и остается меньше по абсолютной величине сколь угодно малого положительного числа
. (1)
Это значит, что для любого сколь угодно малого 
найдется 
, что для всех 
будет выполняться, что 
.
Бесконечно большая величина
Пусть переменная величина 
принимает последовательно значения:
; 
; 
; … 
…
или
- ; - ; - ; … - …
Мы видим, что абсолютная величина возрастает с увеличением номера 
, то есть, задав 
, 
, мы найдем в заданной последовательности номер , что для всех будет выполняться неравенство
.
Определение: Бесконечно большой величиной называется переменная , которая при своем изменении становится, а в дальнейшем и остается, по абсолютной величине больше сколь угодно большого положительного числа , то есть
.
Если бесконечно большая величина, то условились записывать 
.
Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой
Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует обратная зависимость, а именно:
если - бесконечно малая величина, не равная 0, то обратная ей величина 
- бесконечно большая величина ( - б/м, то - б/б);
если - бесконечно большая величина, то обратная 
- бесконечно малая величина.
