Выборочный метод. Статистические оценки параметров генеральной совокупности

Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объёмом генеральной совокупности.

Выборка - это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число nвошедших в выборку элементов называется объёмом выборки.

Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Статистические оценки бывают точечные (определяемые одним числом) и интервальные (определяемые двумя числами – концами интервала). Точечные оценки дают представление о величине соответствующего параметра, а интервальные характеризуют точность и достоверность оценки.

Для достоверности результатов точечная оценка должна быть несмещённой, состоятельной и эффективной. Этим условиям удовлетворяют следующие оценки:

для математического ожидания генеральной совокупности –

выборочное среднее (5)

для дисперсии генеральной совокупности –

выборочная дисперсия (6)

для среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности –

стандартное отклонение (7)

При выборке малого объёма точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объёме выборки (чаще всего встречающемся на практике) пользуются интервальными оценками.

Интервальная оценка- это оценка, которая определяется двумя числами- концами интервала или доверительными границами.

Если - статическая оценка параметра , то говорят, что оценка вычислена с точностью , если (8),

то есть величина параметра попадает в интервал .

Статистические методы позволяют говорить о вероятности выполнения неравенства (8), поэтому надёжностью (доверительной вероятностью)оценки называется вероятность , с которой осуществляется это неравенство.

Интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью , называется доверительным интервалом.

Доверительную вероятность (надёжность) выбирают обычно (в зависимости от важности оцениваемого признака) из значений 0.95; 0.99; 0.999.

Чтобы оценить среднее значение некоторого количественного признака генеральной совокупности, строят доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью (надёжностью) .

Если признак распределен нормально и среднее квадратичное отклонение известно, то по выборке объёма вычисляют среднее выборочное значение , а так же определяют такое значение аргумента , что функция Лапласа . Тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

(9)

Если признак распределен нормально и среднее квадратичное отклонение неизвестно, то для построения доверительного интервала по выборке объёма nвычисляют точечные оценки: – выборочное среднее; s –выборочное среднее квадратичное отклонение ().Затем по справочной таблице значений величины , связанной с распределением Стьюдента, находят .В этом случае доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

(10)

Замечание. Для выборок большого объёма можно вместо формулы (10) использовать формулу (9).