Властивості неперервних функцій

ЛЕКЦІЯ 16. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

ПЛАН

1. Поняття неперервності функції

2. Властивості неперервних функцій

3. Класифікація точок розриву функцій

4. Методика дослідження функцій на неперервність

Поняття неперервності функції

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо

Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:

Звідси випливає, що для неперервності функції в точці мають виконуватися такі умови:

а) точка х = х ₀ належить області визначення функції тобто існує;

б) деякий окіл точки х = х ₀ входить до області визначення функції, наприклад

в) границя при дорівнює значенню функції в точці х = х ₀, тобто дорівнює .

Позначимо через приріст аргументу, а через — приріст функції (рис. 1).

Рис. 1

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при , тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

Означення. Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

Таким чином, поняття неперервності функції у точці задається чотирма, хоч і рівноправними, але різними за формулюванням означеннями. Використання конкретного означення неперервності функції в точці визначається специфікою задачі.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Область визначення функції

Візьмемо довільне надамо приросту тоді приріст функції буде

Розглянемо

Дамо необхідні пояснення: при — н.м.в.; — величина обмежена отже, добуток є н.м.в.

Таким чином, з

Звідси функція неперервна тобто на всій області визначення.

Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції і неперервні у точці то у цій точці будуть неперервними функції ; в останньому випадку за умови, що

Теорема 2. Якщо функція — неперервна для а функція — неперервна для і значення функції то складна функція — неперервна для

Приклад. Дослідити функції на неперервність.

Оскільки то функцію можна вважати суперпозицією таких неперервних функцій: Отже, за теоремою 2 функція — неперервна

Тепер за теоремою 1 неважко встановити, що функція — неперервна а функція — неперервна як відношення неперервних функцій

Зауваження. Можна довести, що всі основні елементарні функції будуть неперервними в кожному з відкритих проміжків своєї області визначення.

Теорема 3 (Коші). Якщо функція неперервна на закритому проміжку і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад ), тоді на відкритому проміжку існує така точка х = с, що (рис. 2).

Рис. 2

Наслідок. Якщо функція неперервна на і то на набуває всіх проміжних значень між числами А і В.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на закритому проміжку , то вона набуває на цьому проміжку своїх найбільших й найменших значень. (рис. 3).

Рис. 3