Загальні властивості функцій

ЛЕКЦІЯ 12. ФУНКЦІЯ

ПЛАН

1. Поняття функціональної залежності

2. Загальні властивості функцій

3. Елементарні функції

Поняття функціональної залежності

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі вона набуває різних (тільки одного) значень.

Розглянемо дві змінні величини х Î D Í R i y Î E Í R.

Означення. Функцією y = f (x) називається така відповідність між множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна, або аргумент;

у — залежна змінна, або функція;

f — символ закону відповідності;

D —область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Означення. Функція у = F (u), де u = j(x), називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією функцій F (u) та j(х), і позначається y = F (j (x)).

Приклад. – cкладна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2 ^u, u = v ², v = sin x.

Приклад. , де , . Оскільки , то .

Означення. Нехай функція у = f (x) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f (x); її позначають у = f ^–1(x).

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:

Приклад. — взаємно обернені функції:

.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x (рис. 1).

Рис. 1

Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається неявною, якщо її задано рівнянням F (x, y) = 0, яке не розв’язане відносно змінної у.

Приклад. Рівняння визначає неявну функцію у від х.

Означення. Система рівнянь

визначає параметричну залежність функції у від змінної х (t —параметр).

Вираз самої залежності у від х можна дістати виключенням параметра t з останньої системи рівнянь.

Приклад. Параметрична залежність

визначає коло радіуса r з центром у початку прямокутної декартової системи координат. Справді, зводячи до квадрата параметричні рівняння і підсумовуючи результат, дістаємо: , або .

Загальні властивості функцій

Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад. Знайти область визначення функції

.

D (y) = (– 1; 0) (0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х — відстань, а це означає, що х ³ 0, тоді D (y) = (0; 1] — задана область визначення.

Означення. Функція y = f (x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х Î D виконується умова f (– x) = f (x) (f (– x) = – f (x)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х Î D, f (– x) ¹ ± f (x).

Рисунок 2, це графік парної функції, рисунок 3, – графік непарної функції

Рис. 2 Рис. 3

Означення. Функція називається періодичною, якщо для виконується умова де число Т — період функції.

Приклад. — періодична функція з мінімальним періодом Т = p (див. рис. 5), бо

Рис.4	Рис. 5

Означення. Функція називається обмеженою на множині D, якщо для всіх виконується умова де — деяке скінчене число.

Приклад. — обмежена функція для всіх х Î [– 1; 1] (рис. 6), бо .

Означення. Функція називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад. — монотонно спадна функція при 0 < a <1, а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 7).

Рис. 6 Рис. 7

Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева

2) показникова (рис. 8);

3) логарифмічна (рис. 7);

4) тригонометричні: (рис. 2); (рис. 9); (рис. 5); (рис. 10);

5) обернені тригонометричні: (рис. 6); (рис. 4); (рис. 5); (рис. 11).

Рис. 8	Рис. 9

 

Рис. 10 Рис. 11

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченої кількості алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:

— елементарна функція.

Означення. Функція називається алгебраїчною, якщо — розв’язок рівняння

де — многочлени.

Приклад. Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв’язком рівняння

.

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

, або .