Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.17).

положение прямой линии относительно плоскостей проекций

 

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.18).

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.19). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B Þ A₂B₂//0x; A₃B₃//0y Þ x_Ax–_B≠, y_Ay–_B≠, z_Az–_B.=

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 18. Прямая общего положения
а) модель	б) эпюр
Рисунок 19. Горизонтальная прямая

 

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями (рис.20).

y_A=y_BÞ A ₁ B ₁,x A ₃ B ₃z Þ x_Ax–_B≠, y_Ay–_B,= z_Az–_B≠.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 20. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 21).

x_A=x_B Þ A ₁ B ₁,y A ₂ B ₂z Þ x_Ax–_B,= y_Ay–_B≠, z_Az–_B≠.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 21. Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ. сир(22)

x_Ax–_B=ü

y_Ay–_B≠ý

z_Az–_B=þ,

б) эпюр

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.23)

x_Аx–_B≠ü

y_Аy–_B=ý

z_Аz–_B=þ,

а) модель	б) эпюр
Рисунок 23. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.24)

x_Аx–_В=ü

y_Аy–_В=ý

ZАz–В≠þ.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 24. Горизонтально-проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ S1бис Þ x_Ax–_B=; z_Bz–_Ay=_By–_A;

СD S2бис Þ x_Сx–_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.

Биссекторной плоскостью называется плоскость, проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П₁ и П₂ пополам. Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (S1бис), а через 2 и 4 четверти - второй (S2бис).

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ S^2бис Þ x_Ax–_B=; z_Bz–_Ay=_Вy–_А;

СD S^1бис Þ x_Сx–_D=; z_Dz–_Cy=_Cy–_D.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 25. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям

 

 

следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка (рис. 26), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её координат должна быть равна нулю).

Горизонтальный след - М (z_M)=- точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальный след - N y(_N)= - точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций.

Профильный след - Т (x_Т)= - точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 26.Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N₂ºN, а N₁ лежит на оси x, N₃ - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

		С помощью этих правил найдены на эпюре следы прямой а(рис.27). Здесь же показаны совпавшие проекции точки А, принадлежащей рассматриваемой прямой. Особенность этой точки в том, что она равноудалена от плоскостей проекций, то есть находятся в биссекторной плоскости S2бис. Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.
Рисунок 27. Нахождение горизонтального и фронтального следов прямой линии

 

Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 28 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

а) эпюр	б) модель
Рисунок 28. Взаимное расположение точки и прямой

В тех случаях, когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П ₁, П ₂ и П ₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П ₁, П ₂ или П ₃. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис.29).

а) эпюр	б) модель
Рисунок 29. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ: