Функция называется неявной, если она определена уравнением, неразрешенным относительно.
Это значит, что при каждом значении 
, при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение 
так, что 
.
Теорема 2.2.3. Если 
–дифференцируемая функция переменных 
и 
в некоторой области 
и 
, то уравнение 
определяет однозначно неявную функцию 
, также дифференцируемую, и ее производная находится по формуле
 .
| (11) |
В частности,
.
Пример 2.2.4. Уравнение с двумя переменными 
имеет решение 
. Определяет ли это уравнение неявную функцию в окрестности точки 
и если да, то найти 
и 
.
Обозначим 
. Имеем 
, 
, 
, 
, 
. Условие обеспечивает существование неявной функции 
, дифференцируемой в некоторой окрестности точки 
и согласно (10) имеем
.
В частности, 
.
Производную можно еще найти также следующим способом. Перепишем данное уравнение с учетом того, что есть функция от :
.
Тогда полная производная левой части этого равенства также равна нулю, т.е.
.
Отсюда
.
Неявная функция нескольких переменных
Функция 
называется неявной функцией переменных и , если она определяется уравнением 
, неразрешенным относительно 
.
Теорема 2.2.4. Если 
дифференцируема по переменным , и в некоторой области и 
, то уравнение определяет однозначно неявную функцию 
, также дифференцируемую, и ее частные производные находятся по формуле
 .
| (12) |
Пример 2.2.5. Найти 
и 
для неявной функции , определенной уравнением 
.
Способ 1, основанный на формулах (12). Найдем частные производные функции F:
, 
, 
.
Значит,
, 
,
.
Способ 2 заключается в том, что если уравнение определяет неявную функцию , то имеем следующее тождество
,
,
.
Из первого тождества
,
из второго
.
Упражнения к §2.2.
1) Найти 
, если 
:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
2) Для данных 
найти 
и :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
3) Найти и для неявной функции , определяемой уравнением:
a) 
b) 
c) 
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§3.1. Производная по направлению. Градиент.
Случай двух переменных
Определение. Пусть 
– дифференцируемая функция в некоторой области , 
. Пусть 
– некоторое направление (вектор с началом в точке 
), а 
– орт этого направления. Пусть 
– точка в направлении от . Обозначим 
. Тогда 
, 
. Предел отношения
называется производной функции по направлению .
Выражая этот предел через 
и 
, получаем
 .
| (13) |
Теорема 3.1.1. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности , равна нулю.
Случай нескольких переменных
По аналогии можно определить производную по направлению для функции трех переменных 
. Окончательная формула такова:
 ,
| (14) |
где 
– орт направления или 
– направляющие косинусы направления .
Теорема 3.1.2. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности , равна нулю.
Градиент