График функции многих переменных. Линии уровня

Функции нескольких переменных

 

Методические указания и контрольная работа для студентов первого курса всех специальностей

 

 

Ухта 2003

УДК 514.742.4(075)

 

 

Мотрюк Е.Н., Мужикова А.В., Зубкова С. Е. Функции нескольких переменных: Методические указания. – Ухта: УГТУ, 2003.– 42с. ил.

 

 

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей. В методических указаниях даны основные сведения о функциях нескольких переменных и их приложениях. Приведено достаточное количество примеров с подробным описанием решения.

Содержание указаний соответствует рабочей программе.

 

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой высшей математики УГТУ от 19.06.03 пр. №10.

 

Рецензент – Волкова И.И., доцент, к.т.н.

Редактор – Баскакова Ю.Л., ст. преп. каф. ВМ.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора

 

План 2003г., позиция 92

Подписано в печать 01.11.2001г.

Объем 16 м.п.л. тираж 25 экз. Заказ.171

 

2003г., Ухта, ул. Первомайская, 13.

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1.1. Понятие функции многих переменных. График и линии уровня функции двух переменных.	3-8
§ 1.2. Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве.	8-13
ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 2.1. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Линеаризация функций	13-18
§2.2. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная пи нормаль к поверхности.	18-23
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§3.1. Производная по направлению. Градиент.	23-26
§3.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.	26-27
§3.3. Экстремум функции двух переменных.	27-35
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА	35-37
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ	37-41
Библиографический список

 

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

§ 1.1. Понятие функции многих переменных. График и линии уровня функции двух переменных.

 

Определение функции многих переменных

Определение. Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений двух независимых друг от друга переменных величин и из некоторой области соответствует определенное значение , .

Определение. Переменная величина называется функцией от переменных , если каждому набору этих независимых друг от друга переменных величин соответствует единственное значение переменной : , .

 

Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть их зафиксировать. Например, функции , где и постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.

В дальнейшем будем рассматривать, в основном, функции двух переменных.

 

График функции многих переменных. Линии уровня

Определение. Множество всех точек , при которых имеет смысл, называется областью определения, а множество значений , принимаемых функцией при , называется областью изменения или множеством значений функции. Линия, ограничивающая область , называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается .

 

Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхностей уровня для функции трех переменных.

 

Определение. Множество точек пространства с координатами при всех определяет некоторую поверхность, которая называется графиком функции .

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество всех точек плоскости , в которых функция принимает постоянные значение, т.е. , где - постоянная.

Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных называется множество всех точек плоскости , в которых функция принимает постоянные значение, т.е. , где - постоянная.

 

Пример 1.1.1 Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар радиуса как функцию двух его измерений и . Найти область определения этой функции.

Исходим из построенного чертежа (рис.1). Обозначим два измерения, скажем, . Пусть - радиус шара, тогда .

Рисунок 1

Объем параллелепипеда равен , и нам надо выразить через . Из имеем , а из получаем . Значит, , а тогда - искомая функция двух переменных.

Ее область определения: , т. е. круг радиуса с центром в начале координат.

 

Под функцией будем также понимать функцию точки с координатами и . Значением функции в точке обозначают и называют частным значением функции.

 

Пример 1.1.2. Дано: . Найти:

А)

В) .

А) Чтобы найти , надо в выражении для подставить и выполнить указанные действия. Имеем .

В) .

 

Пример 1.1.3. Дано: . Найти .

Введем обозначения

Тогда

.

Из следует, что

 

Пример 1.1.4. Найти область определения и множество значений функции . Построить график этой функции и линии уровня .

Действие извлечения корня возможно при условии . Это неравенство определяет замкнутый круг радиуса с центром в начале координат .

Рисунок 2

Данная функция определяется уравнением сферы , а значит ее графиком является верхняя полусфера (рис.2). Линиями уровня являются окружности при условии . Отсюда, в частности, следует, что множество значений функции - отрезок

 

Пример 1.1.5. Найти область определения функции

Рисунок 3.

Область определения этой функции задается неравенствами . Первые два неравенства определяют квадрат в плоскости , а условие Rозначает, что каждая прямая, проходящая через точку квадрата перпендикулярно ему, принадлежит области определения. Значит, - бесконечный в направлении параллелепипед (рис.3).

 

Пример 1.1.6. Найти линии уровня функции .

Линии уровня определяются уравнением . Это полупарабола, расположенная в первой четверти при , во второй четверти плоскость при , и полуось если

 

Упражнения к §1.1.

1) Выразить площадь равнобочной трапеции как функцию трех величин: длин оснований и и боковой стороны .

2) Выразить площадь треугольника как функцию длин двух его сторон и при условии, что известен полупериметр треугольника

3) Выразить объем конуса как функцию его образующей и высоты . Указать область определения этой функции.

4) Дана функция Найти:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5) Для функции найти:

a)

b)

c)

d)

6) Найти , если

7) Найти , если

8) Найти и изобразить области определения следующих функций:

a)

b)

c)

d)

e)

9) Найти линии уровня данных функций:

a)

b)

c)

d)

 

§ 1.2. Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве.

 

Предел функции в точке

Определение. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется – окрестностью точки . Другими словами, –окрестность точки – это внутренние точки круга с центром и радиусом .

Определение. Пусть функция определена в окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки. Число называется пределом функции при , если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают: или .

 

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к .

 

Пример 1.2.1. Найти предел .

Будем приближаться к по прямой , где –некоторое число. Тогда .Функция в точке предела не имеет, так как при разных значениях предел функции не одинаков.

 

Предел функции двух переменных обладает теми же свойствами, что и предел функции одной переменной.

 

Пример 1.2.2. Найти предел .

Исходя из того, что при , используя известную формулу и одно из свойств предела , легко заключаем, что .

 

Пример 1.2.3. Вычислить предел .

Если , то , т.е. –величина бесконечно малая. Множители и являются величинами ограниченными, а потому (произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть величина бесконечно малая) . Здесь считаем и , .

 

Пример 1.2.4. Вычислить предел .

Обозначим . Тогда при имеем . Следовательно, .

 

Пример 1.2.5. Вычислить предел .

Условие преобразуем в условие при помощи подстановок . Получаем . Из неравенства Коши имеем . А тогда , и поэтому . И поскольку , то заключаем, что .

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она:

a) определена в этой точке и ее окрестности,

b) имеет предел ,

c) этот предел равен значению функции в , т.е. или .

Пример 1.2.6. Непрерывна ли функция при .

Проверяем условия непрерывности функции в .

1. Функция определена в окрестности этой точки.

2. , так как имеем , а ограничена.

3. Предел в точке равен значению функции в этой точке .

Функция непрерывна в точке . Заметим, что эта функция непрерывна в каждой точке как комбинация непрерывных элементарных функций.

 

Функции, непрерывные на множестве

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва .

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям–подобные теоремы имели место для функции одной переменной.

 

Определение. Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Определение. Точка называется граничной точкой области , если она не принадлежит , но в любой окрестности ее лежат точки этой области. Совокупность граничных точек называется границей . Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью и обозначается . Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса . В противном случае область называется неограниченной.

Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла. Примером ограниченной- -окрестность точки .

 

Теорема 1.2.1. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:

a) ограничена, т.е. существует такое число , что для всех точек в этой области выполняется неравенство ;

b) имеет точки, в которых принимает наименьшее и наибольшее значения;

c) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между и .

 

Упражнения к §1.2.

1) Вычислить пределы:

a)

b)

c)

d)

e)

2) Найти пределы:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3) Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках:

a) в точке

b) в точке

c) в точке

 

ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

 

§ 2.1. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Линеаризация функций

Определение частных производных.

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную и непрерывную в некоторой области . Считаем, что точки с координатами где – приращения аргументов, также принадлежат области .

Определение. Частными приращениями функции по независимым переменным и называются разности

, .

(1)

Определение. Полным приращением функции , соответствующим приращениям аргументов и , называется разность

(2)

Заметим, что в общем случае

 

Пример 2.1.1. Найти частное и полное приращение функции в точке при приращениях аргументов и .

Принимаем . Сначала определим . Далее,

;

;

.

Таким образом, используя формулы (1) и (2), получаем

;

;

.

Очевидно, .

 

Определение. Частной производной функции по независимым переменным и называется передел отношения соответствующего частного приращения и к приращению данной переменной, при условии, что приращение переменной стремится к нулю:

(3)

Приняты также обозначения: .

Аналогично по другой переменной.

 

Пример 2.1.2. Найти частные производные функции

 

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Рисунок 4.

График функции есть некоторая поверхность. График есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что , где -угол между осью и касательной, проведенной к кривой в точке (рис. 4).

Аналогично, .

Определение. Частные производные называются частными производными первого порядка, их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

	(4)

Частные производные, взятые по различным порядкам, называются смешанными.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Частные производные функции двух и более переменных определяется по тем же формулам и правилам, что и функции одной переменной. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные считаем постоянными.

 

Пример 2.1.3. Найти частные производные второго порядка функции

Так как и , то и . Смешанные производные и

 

Теорема 2.1.2 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем

Дифференциал функции. Линеаризация функций

Определение. Если функция обладает частными производными , непрерывными в точке , то по теореме Лагранжа для функций одной переменной получаем . Это выражение представляет собой главную, линейную часть приращения функции и называется дифференциалом этой функции в данной точке.

Обозначение: . Здесь . Приняты также обозначения: – частные дифференциалы функции , тогда

(5)

– полный дифференциал функции

 

Пример 2.1.5. Найти полный дифференциал функции

Здесь имеем место с производными сложной функции и дроби.

Ввиду симметрии выражения относительно и можно писать сразу

После преобразований получаем

Определение. Если полное приращение функции в точке можно представить в виде , где и не зависят от и , а при , то функция называется дифференцируемой в точке .

Теорема 2.1.3. Для того чтобы функция была дифференцируема в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Определение. Линеаризацией функции в окрестности точки называется приближенное равенство (тем точнее, чем меньше и ):

(6)

Это соотношение используется в приближенных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.

 

Пример 2.1.4. Вычислить приближенно

Рассмотрим функцию Тогда , где . Воспользуемся формулой (6), предварительно найдя : , . Следовательно, .

 

Упражнения к §2.1.

1) Найти частное и полное приращения данной функции в данной точке и при данных приращениях аргументов:

a)

b)

c)

2) Найти полные приращения данных функций в данных точках (или при переходе от точки к ):

a)

b)

c)

3) Найти частные производные данных функций:

a)

b)

c)

d)

e)

4) Вычислить приближенно:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

 

§2.2. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная пи нормаль к поверхности.

Случай одной независимой переменной

Предположим, что -дифференцируемая функция двух переменных и в некоторой области , а аргументы и являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной , т.е. . Тогда -функция одной переменной.

Теорема 2.2.1.Имеет место равенство

.

(7)

Если совпадает с одним из аргументов, скажем, , то

и называется полной производной функции по .

 

Пример 2.2.1. Найти , если , и .

Непосредственная подстановка не упрощает функцию, поэтому применяем формулу (6).

, , , .

В результате можно как сохранить переменные и , так и заменить их через (в зависимости от того, что проще). Ответ оставим в таком виде:

.

 

Случай нескольких независимых переменных

Если аргументы и функции являются функциями двух переменных, скажем, , то также является функцией двух переменных и .

Теорема 2.2.2 Имеют место формулы

и

(8)

Структура этих формул сохраняется и при более большем числе переменных.

 

Пример 2.2.2. Найти и , если

Применим формулы (8):

Составляя суммы соответствующих произведений:

Ответ можно оставить в такой форме, или выразить через и (т.е. основные переменные):

 

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции , где , можно получить, если по формуле дифференциала

заменить

, .

(9)

В результате подстановки и перегруппировки членов при приходим к формуле

,

(10)

Показывающий, что форма дифференциала не зависит от того, являются ли и независимыми переменными или функциями других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

 

Пример 2.2.3. Найти дифференциал функции , если .

Поскольку ,то найдем все эти величины.

по (8)

.

Подставив в :

.

Подставим выражения для и и перегруппируем члены, выделяя множители при и :