Задание на расчет
1. Составить дифференциальное уравнение движения данной механической системы.
2. Найти закон движения системы, если в начальный момент времени центр масс ползуна смещен вниз по наклонной плоскости на величину 
м от положения, в котором он находится при равновесии системы, после чего ему сообщена скорость 
м/с, направленная вниз.
3. Провести анализ полученных результатов.
Для расчета принять: 
, 
, 
, 
, 
, 
H/м, 
H/м.
Составление дифференциального уравнения движения системы
Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Это обеспечивается принятыми условиями расчета, в частности, жесткостью стержня, соединяющего массы системы, и отсутствием проскальзывания при качении катка. Направим координатную ось x параллельно наклонной плоскости, совместив ее начало 
с положением центра масс ползуна при равновесии системы. В качестве координаты, определяющей положение системы, примем величину x — координату центра масс ползуна.
Для составления дифференциального уравнения движения системы применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
, (1.1)
где 
— кинетическая энергия системы,
— сумма мощностей внешних сил, действующих на систему,
— сумма мощностей внутренних сил.
Так как тела системы являются абсолютно твердыми, а шарниры на концах стержня идеальными (без трения), то сумма мощностей внутренних сил системы равна нулю. Поэтому соотношение (1.1) запишется в виде
. (1.2)
Построим расчетную схему задачи (рис.1.7). Изобразим на рисунке совокупность тел 1-2, свободную от внешних связей, в положении x > 0. Покажем на расчетной схеме скорости центров масс ползуна и катка, полагая их направленными в сторону возрастания координаты x, а также направление вращения катка. Заметим, что точка P катка является его мгновенным центром скоростей. Изобразим на расчетной схеме также внешние силы, действующие на систему:
1) силы тяжести ползуна 
и катка 
;
2) возмущающую силу 
;
|
Рис. 1.7
3) реакции связей:
· реакцию направляющей ползуна 
, эта сила перпендикулярна направляющей: ползун скользит без трения;
· реакции плоскости 
и 
, приложенные к катку;
· равнодействующую реакций пружин 
, направленную, в силу симметрии, по оси 
;
· реакцию демпфера (силу сопротивления) 
.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав:
. (1.3)
Кинетическая энергия ползуна, движущегося поступательно со скоростью V1,
. (1.4)
Кинетическая энергия катка, совершающего плоское движение,
, (1.5)
где
V2 — скорость центра масс катка,
— угловая скорость катка,
— момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс (R — радиус катка).
Подставляя формулы (1.4) и (1.5) в (1.3), получаем
.
Так как 
, а 
, то кинетическую энергию системы, с учетом выражения для момента инерции катка, можно записать в виде
или, поскольку 
,
.
Назовем приведенной массой величину
, (1.6)
тогда кинетическая энергия системы
. (1.7)
Вычислим производную по времени от кинетической энергии системы. Учитывая, что 
, а приведенная масса — величина постоянная, получаем
. (1.8)
Вычислим сумму мощностей внешних сил. Известно, что мощность силы есть скалярное произведение силы на скорость точки ее приложения: 
. Записывая скалярное произведение через проекции векторов, имеем:
. (1.9)
Эта формула удобна для вычисления мощности внешних сил, действующих на систему, так как скорости точек приложения большинства из них параллельны оси 
, поэтому в правой части (1.9) остается только первое слагаемое.
Используя формулу (1.9), получаем:
1) мощность силы тяжести ползуна: 
,
2) мощность силы тяжести катка: 
,
3) мощность возмущающей силы: 
,
4) мощность реакции пружин: 
,
5) мощность силы сопротивления: 
.
Кроме того, мощность силы равна нулю, так как эта сила и скорость ее точки приложения взаимно перпендикулярны. Равны нулю также мощности сил и , так как равна нулю скорость их точки приложения.
Таким образом,
. (1.10)
Заметим, что
, (1.11)
где
— коэффициент жесткости эквивалентной пружины,
— статическая деформация эквивалентной пружины.
Замечание. Предлагаем убедиться самостоятельно в следующем:
1) две параллельно соединенные пружины жесткости с1 и с2 эквивалентны одной пружине, имеющей коэффициент жесткости  ;
2) две последовательно соединенные пружины жесткости с1 и с2 эквивалентны одной пружине, коэффициент жесткости которой находится из формулы
 .
|
Подставляя (1.11) в (1.10), получаем
или
, (1.12)
где
. (1.13)
Приравнивая правые части (1.8) и (1.13) согласно (1.2), получаем после сокращения на 
:
. (1.14)
Найдем с помощью последнего соотношения и выражения для приведенной силы (1.13) условие равновесия системы. При равновесии системы 
. Кроме того, равновесие невозможно при наличии возмущающей силы, т.е. в этом случае следует положить 
. Считая указанные условия выполненными, находим
.
Следовательно, теперь приведенную силу можно записать в виде (здесь учтено выражение для проекции 
возмущающей силы):
.
Подставив это выражение в уравнение (1.14), находим
,
откуда
.
Введем обозначения
, 
, 
.
Тогда дифференциальное уравнение движения системы примет вид
. (1.15)
Таким образом, движение данной механической системы описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В уравнении (1.15): 
— коэффициент затухания; 
— круговая частота свободных колебаний; 
— относительная амплитуда возмущающей силы.
1.3.1.1. Рекомендации по составлению дифференциального уравнения движения с помощью теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента (варианты 1–24)
1. Установить число степеней свободы системы выбрать систему отсчета и обобщенную координату — параметр (все так же, как и в случае применения теоремы об изменении кинетической энергии).
2. Применить теорему о движении центра масс к рассматриваемой системе, освобожденной от внешних связей (рис. 1.7). В проекциях на ось получим
.
Здесь учтено, что 
, а масса системы 
.
3. Применить теорему об изменении кинетического момента относительно оси 
, проходящей через центр масс катка (рис. 1.8):
.
Здесь 
— угол поворота катка, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (в соответствии с направлением отсчета координаты ).
4. Исключить силу трения из уравнений п.2 и п.3. Полученное уравнение привести к виду (1.15) с учетом кинематического соотношения 
(т. 
— мгновенный центр скоростей катка), выражения для проекций возмущающей силы 
, силы сопротивления 
и упругой силы 
(см. условие примера и формулы (1.11)).
1.3.1.2. Рекомендации по составлению дифференциального уравнения движения системы с помощью теоремы об изменении кинетического момента (варианты 25–30)
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.9. Система, совершает колебания за счет энергии, полученной в начальный момент: груз 1 смещен из положения равновесия на величину 
и ему сообщена скорость 
. Сопротивление не учитывается, нить нерастяжима и невесома, проскальзывание нити на блоке 2 отсутствует, каток 3 катится без скольжения.
Рис. 1.9
Составление дифференциального уравнения движения системы рекомендуется проводить в следующем порядке:
1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы, выбрать систему отсчета и обобщенную координату — параметр . Ось направлена вертикально вниз, а ее начало совпадает с положением центра масс груза 1 при равновесии системы. Выбрать направления отсчета углов поворота блока 
и катка 
, согласовав их с направлением отсчета координаты , т.е. положительным направлением отсчета обоих углов является направление, противоположное ходу часовой стрелки.
2. Расчленить систему на две части по горизонтальной ветви нити: 1) левую часть — совокупность тел 1 и 2; 2) правую часть — каток 3.
| а) | 
| б) |
|
Рис. 1.10
Построить расчетные схемы для каждой из частей, изобразив на них заданные силы и реакции внешних связей: силы тяжести 
, реакции подшипников блока 
, реакцию нити на блок — 
, реакцию нити на каток 
(нить невесома), реакцию пружины 
и реакции плоскости — нормальную 
и силу трения 
(рис. 1.10).
3. К левой части (рис. 1.10, а) применить теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока 
:
.
где 
— кинетический момент груза и блока относительно оси , а правая часть равенства — сумма моментов внешних сил относительно той же оси.
Для этого:
а) записать кинетический момент системы относительно оси как функцию проекции скорости груза ; поскольку кинетический момент груза — 
, а кинетический момент блока — 
, то
.
Так как нить на блоке не проскальзывает, то угловая скорость блока 
, поэтому
.
б) найти производную
.
в) записать сумму моментов внешних сил
.
г) приравнять правые части последних соотношений согласно теореме моментов:
. (A)
Это — дифференциальное уравнение движения левой части системы. Оно содержит неизвестную силу — реакцию нити.
4. К правой части системы (рис. 1.10, б) применить теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра , принадлежащего плоскости и находящегося в данный момент в контакте с катком. Упомянутую теорему используем относительно оси 
, перпендикулярной плоскости катка
.
Дальнейшие действия аналогичны действиям, описанным в п. 3.
Необходимо:
а) найти кинетический момент катка относительно оси как функцию
.
где 
— момент инерции катка относительно оси , а 
— проекция угловой скорости катка на ту же ось.
Модули скоростей груза и точек нити, включая точку 
(рис. 1.10), равны, так как нить является нерастяжимой. Такую же величину имеет скорость верхней точки катка. Поэтому угловая скорость катка 
и
.
Для вычисления момента инерции можно использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: 
, где 
— момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси .
б) найти производную
.
.
в) найти сумму моментов внешних сил, приложенных к катку, относительно оси :
.
г) приравнять, согласно теореме моментов, правые части последних соотношений:
. (Б)
Это — дифференциальное уравнение движения катка. Оно содержит неизвестную силу 
— реакцию нити.
5. Получить дифференциальное уравнение движения данной системы, исключив из уравнений (А) и (Б) неизвестную силу 
. Привести полученное уравнение к виду
, (В)
где — круговая частота свободных колебаний системы (здесь выражение для не приводится). При этом следует учесть, что в силу выбора системы отсчета 
, где 
— смещение центра масс катка от положения, которое он занимает при равновесии системы.
