Жазық қималардың геометриялық сипаттамалары

Жазық қималардың статикалық моменттері, екпін моменттері және кедергі моменттері. Конструкция элементтерінің күш әсерлеріне қарсыласу қабілеті олардың қима аудандарымен қатар сол қималардың пішіндеріне де байланысты екендігін күрделі деформацияларды оқып үйренгенде көз жеткізуге болады. Бұл тарауда жазық қималардың геометриялық сипаттамалары – статикалық моменттері, екпін моменттері мен кедергі моменттеріне тоқталып, олардың қасиеттерін зерттейміз.

Білеудің кез келген ауданы жазық қимасын қарастырайық (21 - сурет). Бұл қимадан координаттары шексіз кіші ауданын бөліп алып, төмендегідей интегралдар құрайық:

(32)

Мұндай интегралдармен анықталатын геометриялық сипаттамаларды қиманың статикалық моменттері дейміз.

Статикалық моменттер - координаттарының таңбаларына байланысты оң, теріс және нөл болуы мүмкін; өлшем бірлігі – ұзындық бірлігінің үшін,ші дәрежесі .

Берілген қиманың кез келген өстеріне қарағанда ауырлық центрінің координаттары белгілі болса, қиманың статикалық моменттерін келесі өрнекпен анықтауға болады (21 – сурет):

(33)

Керісінше, егер қиманың ауданы мен статикалық моменттері берілген болса, қиманың ауырлық центрі былайша анықталады

(34)

Ауырлық центр арқылы өтетін өстерді центрлік өстер деп атаймыз. Қиманың центрлік өстеріне қарағандағы статикалық моменттері нөлге тең.

Берілген қиманың кез келген өстеріне қарағандағы ө стік екпін моменттері деп, төмендегі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттамаларды айтамыз (22 - сурет)

(35)

Берілген қиманың полюс деп аталатын, кез келген нүктеге қарағандағы өрістік екпін моменті деп, төмендегі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтады (I.2.22 - сурет):

(36)

мұндағы полюстен шексіз кіші ауданға дейінгі ара қашықтық.

Берілген қиманың кез келген өзара перпендикуляр өстеріне қарағандағы центрден тепкіш екпін моменті деп, төмендегі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтамыз:

(37)

Өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы өстік екпін моменттерінің қосындысы осы өстердің қиылу нүктесіне қарағандағы өрістік екпін моментіне тең

. (38)

Өстік, өрістік екпін моменттері әмәнде оң шамалар, ал центрден тепкіш екпін моменттерінің шамалары оң, теріс және жеке жағдайларда нөлге тең болады. Екпін моменттерінің өлшем бірлігі – ендік бірлігінің төртінші дәрежесі

Күрделі қиманың екпін моменттері қарапайым бөліктерінің екпін моменттерінің қосындысына тең.

Өстік кедергі моменттері деп қиманың бірлігіне өстерге қарағанда өстік екпін моменттерінің осы өстермен қиманың ең алшақ жатқан нүктелерінің ара қашықтығына қатынасын айтамыз

(39)

Өрістік кедергі моменті деп қиманың өрістік екпін моментінің полюс пен қиманың ең алшақ жатқан нүктесінің ара қашықтығына қатынасын айтады

. (40)

Кедергі моменттерінің өлшем бірлігі - ендік бірлігінің үшін,ші дәрежесі .

Өстік екпін моменті мен қима ауданының арасындағы байланыс арқылы табылатын шаманы

(41)

қиманың екпін радиусы деп атайды. Оның өлшем бірлігі - ендік бірлік

Кейбір қарапайым пішіндердің екпін моменттері мен кедергі моменттері. Іс жүзінде беріктік есептерінде жиі кездесетін қарапайым пішіндердің екпін моменттерін анықтауды қарастырайық.

Тік төртбұрыш. Табаны , биіктігі тік төртбұрыштың ауырлық центрінен өтетін, табаны мен биіктігіне параллель өстерге қарағандағы екпін моменттері мен кедергі моменттерін анықтайық (23 - сурет).

екпін моментін анықтау үшін, (35) өрнегін пайдаланамыз. өсінен қашықтықта жатқан екі түзумен, табаны , биіктігі , шексіз кіші ауданын бөліп алайық, мұндағы .

Олай болса,

Сонымен,

. (42)

Осы сияқты

(43)

аламыз.

Егер , екенін ескерсек, кедергі моменттері (39) өрнектер арқылы анықталады, сонымен

(44)

Дөңгелек пен сақина. Диаметрі дөңгелекті қарастырайық (24 - сурет).

Дөңгелектің центрінен және қашықтығындағы, центрлері ортақ екі шеңбермен шектелген, шексіз кіші ауданын бөліп алайық, мұндағы

Дөңгелектің центрлік О нүктесіне қарағанда өрістік екпін моментін (36) өрнегінен табамыз:

. (45)

Сонымен, дөңгелектің өрістік моменті

. (46)

Дөңгелектің өстеріне қарағанда (24 - сурет) екпін моменттерінің өзара тең екенін атап өтіп, (38) өрнегін ескерсек, дөңгелектің өстік екпін моменттері

Демек,

. (47)

Дөңгелектің кедергі моменттерін (39) және (40) өрнектерінен анықтаймыз:

, (48)

. (49)

Сыртқы диаметрі және ішкісі сақинаның өрістік екпін моментін анықтау үшін, (45) өрнегіндегі интегралды мен аралығында алу қажет, яғни

немесе

(50)

мұндағы .

Сақинаның өстік екпін моменттерін анықтауда да (I.2.38) өрнегін пайдаланамыз

(51)

Сақинаның кедергі моменттері қарапайым жолмен, яғни (39) және (40) өрнектерін пайдаланумен анықталады:

, (52)

. (53)

Параллель өстерге қарағандағы екпін моменттері. Бұл тәуелділікті анықтау үшін, ауданы қиманы (25 - сурет) қарастырайық. Қиманың ауырлық центрінен өзара перпендикуляр өстері жүргізілген. Ауырлық центрден өтетін өстерді центрлік өстер деп, ал центрлік өстерге қарағандағы екпін моменттерін центрлік екпін моменттері деп атаймыз.

Қиманың центрлік екпін моменттері берілген деп қарастырып, центрлік өстерге параллель өстеріне қарағандағы екпін моменттерінің шамаларын анықтайық.

Бөлініп алынған шексіз кіші ауданының жүйесіндегі координаттары , ал жүйесіндегі координаттары болсын. Онда, анықтама бойынша, қиманың өсіне қарағандағы екпін моменті

Анықтама бойынша, мұндағы

; ;

және центрлік өске қарағандағы қиманың статикалық моменті нөлге тең, олай болса

Дәл осылай және анықталады, сонымен

;

; (54)

яғни, қиманың кез келген центрлік өсіне параллель өске қарағандағы өстік екпін моменті, центрлік екпін моментіне қиманың ауданын осы өстердің ара қашықтығының квадратына көбейтіп қосқанға тең, ал центрден тепкіш екпін моменті, центрлік өстерге қарағандағы центрден тепкіш екпін моментіне қиманың ауданын осы өстердің ара қашықтықтарына көбейтіп қосқанға тең.

Бұрылған өстерге қарағандағы екпін моменттерінің байланысы. Суретте көрсетілген (26 - сурет) қиманың және өстеріне қарағандағы және екпін моменттері берілген болсын делік. Енді өс жүйесін қандай да бір бұрышына бұрайық және, әмендегідей, сағат тіліне қарсы бұрылған бұрышты оң таңбалы деп ұйғарамыз. деп қабылдайық. Жаңа және өстеріне қарағандағы екпін моменттерін анықтайық.

Ол үшін, шексіз кіші ауданының пен жүйелеріндегі координаттарының арасындағы өзара байланысын анықтайық ()

Олай болса,

жалпы (35) заңдылыққа байланысты

Центрден тепкіш екпін моментін (37) өрнегінен табамыз

Сонымен,

(55)

(56)

(57)

Алынған (55) және (56) өрнектерін қоссақ

(58)

екенін көреміз, яғни өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы екпін моменттерінің қосындысы осы өстерді кез келген бұрышқа бұрғаннан өзгермейді.

Екпіннің бас өстері мен бас моменттері Жоғарғы өрнектер бұрылған өстерге қарағандағы екпін моменттерінің шамалары бұрылу бұрышына тәуелділігін көрсетеді, яғни бұрылу бұрышының қандай да бір мәнінде бұрылған өстерге қарағандағы екпін моменттері экстремальді мәндеріне жетуі мүмкін. Осы бұрыштың мәнін анықтап көрейік. Ол үшін (I.2.55) немесе (I.2.56) өрнегінен бір рет туынды алып, оны нөлге теңестірейік

немесе

бұдан

. (59)

Бұл формула бойынша бұрыштың екі мәні бар: бірі - , екіншісі - .

Осыдан мынадай тұжырымдама жасауға болады: екпін моменттері экстремальді мәндеріне орны (59) өрнегімен анықталатын, өзара перпендикуляр, екі өске қарағанда ие болады. Бұл өстерді бас екпін өстері деп, ал осы өстерге қарағандағы өстік екпін моменттерін бас екпін моменттері деп атайды. Бас екпін өстеріне қарағандағы центрден тепкіш екпін моменті нөлге тең. Бас екпін өстерін деп белгілеу қабылданған.

Егер (59) формуласынан анықталған бұрыш болса, бас екпін өстері алғашқы өстеріне қарағанда сағат тілінің жүрісіне қарама-қарсы бағытта бұрылады, ал болса, сағат тілінің жүрісі бағытымен бұрылады.

Енді бас екпін моменттері мәндерінің анықталу жолын қарастырайық. Ол үшін, (55) және (56) өрнектеріндегі - ның орнына -ді қойып, бас екпін моменттерін анықтайтын өрнектер аламыз

(60)

Белгілі тригонометриялық функцияларды пайдалана отырып, бас екпін моменттерін анықтайтын (60) формулаларын келесі түрге келтіруге болады

. (61)

Егер болса, максимум өсі өсіне, ал болса, максимум өсі өсіне жақын орналасады, яғни егер болса, , ал болса, .

Өстік екпін моменті мен қима ауданының арасындағы тәуелділікті көрсететін шама

(62)

қиманың екпін радиусы деп аталады, өлшем бірлігі - ендік бірлік

Лекция

Иілу

Иілу деформациясы. Арқалық. Егерде 28, а,b – суретте көрсетілген білеудің екі ұшына өс жазықтығында жататын шама жағынан тең, бағыттары қарама-қарсы екі қос күшпен жүктеген жағдайда, білеуде туындайтын деформацияны (28, c – сурет) иілу деп атаймыз. Иілуге тән сипат - ол білеу өсін қисықтығының өзгеруі, мысалы, өсі түзу сызықты стерженьді игенде өсі қисық сызықты пішін алады.

Иілу деформациясы білеуге тек қос күш әсер еткенде ғана емес, көптеген жағдайда көлденең күш әсерінен болады. Сыртқы күш әсер ететін жазықтықты күш жазықтығы деп, ал білеудің бойлық өсі мен көлденең қимасының бас екпін өстері арқылы өтетін жазықтықтарды бас жазықтықтар деп атаймыз. Күш жазықтығының бас жазықтықтарға қарағандағы орналасуына байланысты, иілу таза және көлденең иілу деп екіге бөлінеді Егер күш жазықтығы бас жазықтықтардың бірінде жатса, иілу - жазық иілу деп (29, а – сурет), ал егер күш жазықтығы басқа кез келген өс жазықтықтарында жатса, қиғаш иілу деп аталады.

Иілу деформациясы білеуге тек қос күш әсер еткенде ғана емес, көптеген жағдайда көлденең күш әсерінен болады. Сыртқы күш әсер ететін жазықтықты күш жазықтығы деп, ал білеудің бойлық өсі мен көлденең қимасының бас екпін өстері арқылы өтетін жазықтықтарды бас жазықтықтар деп атаймыз. Күш жазықтығының бас жазықтықтарға қарағандағы орналасуына байланысты, иілу таза және көлденең иілу деп екіге бөлінеді Егер күш жазықтығы бас жазықтықтардың бірінде жатса, иілу - жазық иілу деп (28 – сурет), ал егер күш жазықтығы басқа кез келген өс жазықтықтарында жатса, қиғаш иілу деп аталады.

Бұл жерде мынаған көңіл аударған жөн: жазық иілуде білеудің өсі деформацияға дейін қандай жазықтықта жатса, деформациядан кейін де сол жазықта жатады, ал қиғаш иілуде өстің иілу жазықтығы бастапқы жазықтыққа сәйкес келмейді.

Егер күш жазықтығы бас жазықтардан тыс басқа жазықтықта жатса, онда оны өзара перпендикуляр бас жазықтықтарға проекциялап, иілуді әрбір жазықтықтағы жазық иілуге келтіруге болады.

Иіліп деформа-цияланатын өсі түзу сызықты білеулер арқалық деп аталады.

Арқалықты есеп-теу сұлбасында оның өсімен алмастыру қабылданған. Бұл жағдайда барлық күш арқалықтың өсіне түсірілуі керек, ал күш жазықтығы сұлба жазықтығымен беттесуі тиіс.

29, а - суреттегі арқалықтың есептеу сұлбасы 29, b - суреттегідей болады.

Арқалыққа түсірілетін сыртқы жүктеменің үш түрі болуы мүмкін: арқалықтың белгілі бір қимасына түсетін жүктеме - қадалған күш , өлшем бірлігі - ; арқалықтың толық ұзына бойына немесе бөлігінің бетінде таралған жүктеме – таралған күш. Бұл курста негізінен бірқалыпты таралған күш қарастырылады. Таралған күш оның қарқындылығы -мен есептеледі, өлшем бірлігі – ; арқалықтың иілу жазықтығында қос күшке келтіруге болатын кейбір немесе барлық түсірілген күштердің моменттік жүктеуі - қадалған момент , өлшем бірлігі – .

Арқалықты жүктеу үшін, оны кем дегенде екі нүктеде тірекке бекіту немесе сүйеу қажет. Конструкциясына байланысты арқалықтың тірегін үш түрге жіктеуге болады: жылжымалы топсалы тірек, жылжымайтын топсалы тірек және қатаң бекітпе.

Барлық жағдайда осы тіректерде пайда болатын реакция күштері мен моменттерді анықтау үшін, статикалық тепе – теңдік күйін сипаттайтын теңдеулер пайдаланылады

, , . (63)

Белгісіз реакциялары статиканың үш теңдеуінен анықталатын арқалықтар статикалық анықталған, ал белгісіз реакцияларын анықтауға статиканың теңдеулері жеткіліксіз арқалықтар статикалық анықталмаған жүйелерге жатады. Статикалық анықталмаған арқалықтарды есептегенде, бұл курста қарастырылмайтын ерекше тәсілдер қолданылады.

Иілу моменттері мен көлденең күштер. Арқалыққа түсірілген жүктемелер бойынша тірек реакцияларын анықтағаннан кейін, арқалыққа әсер етуші сыртқы күштердің шамалары белгілі болады. Иілген арқалық материалының кернеулі күйін зерттеу үшін, алдымен, оның әрбір қимасы қандай күштердің әсеріне ұшырайтынын білу қажет.

Жазық иілуде барлық сыртқы жүктеме жазықтығында жатады да, өсіне проекция және пен өстеріне қарағандағы момент бермейді. Сонымен қатар арқалықтың түзу өсіне перпендикуляр жүктеменің де өсіне проекциясы нөлге тең. Осыған орай арқалықтың әрбір қимасында нөлден айырықша екі шама қалады: сыртқы күштердің өсіндегі проекцияларының қосындысы – көлденең күш және өсіне қарағандағы моменттердің қосындысы - ию моменті .

Сонымен, жалпы жағдайда сыртқы күштердің әсерінен иілген арқалықтың кез келген қимасында ішкі күштерден тек көлденең күш пен ию моменті пайда болады.

Жүктелген арқалықтың көлденең қимасында туындайтын ішкі күштердің түрімен, әсер ету жазықтығының орналасуына байланысты иілу деформациясын былайша сұрыптауға болады.

Егер июші момент көлденең қимадағы жалғыз ғана ішкі күш болса, онда иілу таза иілу деп аталады.

Иілу, егер көлденең қимада июші моментпен қатар көлденең күш пайда болса, көлденең иілу деп аталады.

Кез келген қималардағы көлденең күштер мен ию мометтері қию әдісі бойынша анықталады. Көлденең күш шамасы көлденең қиманың бір жағына әсер етуші сыртқы күштердің қима жазықтығындағы проекцияларының алгебралық қосындысына тең. Июші момент шамасы көлденең қиманың бір жағында әсер етуші сыртқы күштердің осы қиманың ауырлық центріне қарағандағы моменттерінің алгебралық қосындысына тең.

30, а – суретте келтірілген арқалықты қарастырып, оның көлденең қималарындағы ішкі күштерін анықтайық. Сыртқы күштердің түсу нүктелеріне сәйкес арқалықты үш аралыққа бөлейік: I, II, III. Алдымен I аралықты, сыртқы моменттің түсу нүктесінен ара қашықтықта көлденең қимамен қиып, оның оң жағындағы арқалықтың бөлігін алып тастап, сол жағындағы бөлігінің тепе-теңдігін қарастырамыз (30, b – сурет).

I аралық:

Мұнан бұл аралықтың таза иілу күйінде болатынын аңғарамыз.

Енді II аралықты арқалықтың сол ұшынан ара қашықтықта жататын көлденең қимамен кесейік. Тағы да қиманың оң жағындағы арқалықтың бөлігін алып тастап, оның сол бөлігін қарастырып қимадағы ішкі күштерді анықтайық (30, c – сурет).

II аралық:

Мұндағы моментінің әсер ету бағыты моментінің бағытына қарама-қарсы, сондықтан оны теріс таңбамен алдық. Бұл аралықтың көлденең қималарында көлденең күш пен ию моменті пайда болады. Осы жәйт аралықтың көлденең иілу күйде болатындығын тұжырымдайды. Бұл аралықтағы көлденең күш тұрақты болса, ию моменті сызықтық заңмен өзгереді.

III аралықты арқалықтың сол ұшынан ара қашықтықта жататын көлденең қимамен кесіп, жоғарыда қарастырғандай қиманың оң жағындағы арқалықтың бөлігін алып тастап, оның сол бөлігін қарастырып, қимадағы ішкі күштерді анықтайық (30, d – сурет).

III аралық:

немесе

Бұл аралықта да көлденең иілу туындайды. Бірқалыпты таралған күштің әсеріне қатысты көлденең күш, сызықтық заңмен өзгереді, ию моменті байланысты параболалық заңмен өзгереді.

Көлденең күштер мен июші моменттерге төмендегідей таңбалар ережесі шартты түрде қабылданған: егер қиманың сол жағынан әсер ететін сыртқы күштер төменнен жоғары қарай, ал оң жағында жоғарыдан төмен қарай бағытталса, ол қимадағы көлденең күш оң таңбалы (31, а - сурет), кері жағдайда теріс таңбалы (31, b - сурет) болады. Бұл ереже былай да оқылады: арқалықтың қалдырылған бөлігі сыртқы күш әсерінен қимаға қарағанда сағат тілінің жүрісі бағытында бұрылуға ұмтылса, көлденең күш оң таңбалы деп, егер сағат тілі жүрісіне кері бағытта бұрылуға ұмтылса, теріс таңбалы деп есептеледі.

Егер аралықтың өсі сыртқы күштердің моменттерінің әсерінен қиманың ауырлық центріне қарағандағы дөңестегі төмен қарай иілсе (31, c – сурет), ол қимадағы ию моменті оң таңбалы деп, ал кері жағдайда (31, d – сурет) теріс таңбалы деп есептеледі.

Ию моменті мен көлденең күштің бойлық өс бойымен өзгеру заңдылығын көрсететін графиктерді және эпюралары деп атайды.

Қызылмен боялғандарды жазып қажет емес

Көлденең күштер мен ию моменттерінің эпюрлерін тұрғызу. Арқалықтың кернеулі күйін жете зерттегенде, арқалықтың барлық көлденең қимасындағы ішкі күштерді білу қажет, яғни көлденең күштер мен ию моменттерінің арқалықтың ұзына бойындағы өзгеру заңдылығын білу қажет.

мен

-нің өзгеру заңдылығын олардың сызбасын көлденең күштер мен ию моменттерінің эпюрлерін тұрғызып бақылаған ыңғайлы.

Типті жүктелген арқалықтардың және эпюрлерін тұрғызудың бірнеше мысалдарын қарастырайық.

2.1 – мысал. Шамалары тең екі күшпен жүктелген қатаң тіректі арқалықтың (33, а – сурет) және эпюрлерін тұрғызыңыз.

Шешуі: Арқалық екі аралықтан тұрады. Қию әдісі мен ішкі күштер таңбаларының ережесін қолдана отырып, әрбір аралықтағы мен -ді анықтайық.

I аралық (33, б – сурет):

яғни көлденең күш -ге тәуелді емес. Сондықтан I аралықтағы эпюрасы базистік сызыққа параллель түзумен шектеледі.

яғни ию моменті айнымалы

Бұл аралықтағы көлденең қималарда ию моменті 0 ден мәніне дейін өзгереді, яғни эпюрасы көлбеу түзумен шектелетінін көрсетеді.

II аралық (33, c – сурет):

Ию моментінің мәні

II аралықта тек ию моменті ғана пайда болады, сондықтан II аралықтағы эпюрасы базистік сызыққа параллель түзумен шектеледі және бұл аралық таза иілу күйінде болады.

және эпюрлері 33, d және 33, e – суреттерінде келтірілген.

2.2 – мысал. және тіректерінің аралығында күшімен жүктелген қостіректі арқалықтың (34, а – сурет) және эпюрлерін тұрғызыңыз.

Шешуі: Алдыңғы есепке қарағанда мұнда алдын-ала арқалық тіректерінің және реакцияларын анықтау қажет. Ол үшін, және тіректеріне қарағандағы моментердің теңдеулерін құрайық

Бұл теңдеулерден реакциялардың шамалары мынаған тең

Реакциялардың дұрыстығын статиканың келесі теңдеуімен тексерейік

Арқалық екі аралықтан тұрады. Әрбір аралыққа қию әдісін қолданып, және қиманың оң жағындағы арқалықтың бөлігін алып тастай отырып, мен -нің аналитикалық өрнектерін жазайық

I аралық:

Сонымен, I аралықтағы көлденең күш тұрақты және -ге тең, ал ию моменті -ге тәуелді, яғни айнымалы

Байқағандарыңыздай, бұл аралықтағы ию моменті сызықтық заңмен 0-ден мәніне дейін өзгереді.

II аралық:

II аралықтағы көлденең күш тұрақты шама және Ию моментінің -ге байланысты мәндері

Ию моменті сызықтық заңдылықпен мәнінен нөлге дейін кемиді. және эпюрлері 34, b және 34, c – суреттерінде келтірілген.

2.3 – мысал. Қадалған момент түсірілген қостіректі арқалықтың (I.2.35 - сурет) және эпюрлерін тұрғызыңыз.

Шешуі: Арқалыққа түсірілген моменті қоскүшті тек қос күшпен теңестіруге болады. Сондықтан тірек реакциялары қос күшті құрайды және реакциялардың мәндері