Теориялық механиканың негізгі ұғымдары 3 страница

8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. – 448 с.

9. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1983.

10. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах: Том 1 «Статика и кинематика», Том 2 «Динамика». – СПб.: Издательство «Лань», 2002. –736 с.

 

2лекция

Күштер жиындарын қарапайым түрге келтіру. Күштердің тепе-теңдік шарттары

 

Жинақталатын күштер жиыны. Жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күшін анықтаудың геометриялық әдісі. Әсер сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жиыны жинақталатын күштер жиыны деп аталады. Берілген барлық күштердің әсер сызықтары бір жазықта жатса, онда күштер жүйесін жазық жинақталатын күштер жиыны деп, ал ол күштердің әсер сызықтары әр түрлі жазықтықта жатса, кеңістіктегі жинақталатын күштер жиыны деп атайды.

Күшті оның әсер сызығы бойымен сырғытуға болады, сондықтан әсер сызықтары қиылысатын нүктеге жинақталатын күштерді әрдайым көшіруге болады.

Теорема. Жазық жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күші сол күштердің векторлық қосындысына тең, оның әсер сызығы күштер жинақталатын нүктеден өтеді.

 

Қатты дененің нүктелеріне , әсер сызықтары нүктесінде қиылысатын, күштер түсірілген делік (18, а - сурет). Осы күштерді әсер сызықтары бойымен сырғытып, олардың ортақ нүктесі нүктесіне келтірейік. Сонда жинақталатын күштер жиыны бір нүктеге түсірілген күштер жүйесін құрайды (20, b - сурет).

Жинақталған күштерді қосуға болады, ол үшін 21, а – суретте көрсетілген, жүктелген денені қарастырайық.

Параллелограмм ережесіне сүйеніп, алғашқы екі мен күштерін қосып олардың тең әсерлі күшін, аламыз (21, b – сурет)

 

 

Одан кейін, және күштерінен параллелограмм құру арқылы күшін табамыз

 

 

Келесіде және күштерінен параллелограмм құрамыз да күшін табамыз

 

 

Енді пен күштерін қосып күшін табамыз

 

 

мұндағы - берілген бес күш жүйесінің тең әсерлі күші (21, b – сурет).

Осы сияқты пайымдай отырып, кез келген мөлшердегі жинақталатын күштерді қосып, нәтижесінде олардың тең әсерлі күшін, анықтауға болады

 

 

немесе ықшамдап жазсақ

 

. (12)

 

Жинақталған күштердің тең әсерлі күшін анықтаудың қарастырылған әдісін геометриялық әдіс деп атайды.

Енді берілген күштердің тең әсерлі күшін, үшбұрыш ережесін пайдалана отырып анықтауын қарастырайық (21, b – сурет). Алдымен және күштерін қосайық. Ол үшін, кез келген О нүктесінен бағыты мен масштабын сақтай отырып, күшін тұрғызайық, оның ұшынан күшін, салайық. О нүктесін күшінің ұшымен қосып, осы күштердің тең әсерлі күшін анықтайық, яғни

 

 

Сонан соң күшінің ұшынан үшін,ші күшін, салайық. Тағы да, О нүктесін соңғы күшін,ің ұшымен қосып, осы күштердің тең әсерлі күшін табамыз

 

 

күшінің ұшынан күшін, жүргізейік. О нүктесін күшінің ұшымен қосып, және күштерінің қосындысын аламыз

 

 

Осы күштің ұшына соңғы күшін тұрғызып, соңғы күштің ұшын О нүктесімен қосып күшін немесе берілген жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аламыз

 

 

Тұрмыста, аралықтағы , және векторларын тұрғызбай-ақ, жоғарыда көрсетілген ретпен күштерді бағыты мен шамаларын сақтай отырып, бірін-біріне тіркестіре салып және алғашқы күштің бас нүктесін соңғы күштің ұшымен қосып, тең әсерлі күшті анықтауға болады.

Тұрғызылған көпбұрышты (21, b – сурет) күштер көпбұрышы деп атайды. Осы көпбұрыштың тұйықтаушы қабырғасы берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күшін, кескіндейді. Тең әсерлі күш бағыты әрдайым сәйкесінше біртіндеп берілген күштерді қосумен тұрғызылған көпбұрыштың орғыту бағытына қарама-қарсы болады.

Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарты. Кейде күштер көпбұрышын тұрғызғанда соңғы қосылатын күштің ұшы алғашқы күштің бас нүктесіне сәйкес келуі мүмкін (22 – сурет), яғни жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күші нөлге тең болады.

Бұл жағдайда жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте деп аталады.

(13)

немесе,

 

 

Сонымен, жинақталатын күштер жиыныны тепе-теңдікте болуы үшін, күштер көпбұрышының тұйықталған болуы қажет және жеткілікті. Бұл тұжырым жинақталатын күштер тепе-теңдікте болуының геометриялық шарты деп аталады.

Жазық жинақталатын күштер жынының тең әсерлі күшін, анықтаудың аналитикалық әдісі. Бір нүктеге түсірілген екі күштің тең әсерлі күшінің модулі мен бағытын аналитикалық тәсілмен де анықтауға болады, ол үшін, үшбұрышын қарастырайық (23 - сурет). , .

Косинустар теоремасы бойынша,

 

 

,

 

бұдан тең әсерлі күші модулі,

 

(13)

 

Синустар теоремасы бойынша,

 

. (14)

 

Осы тепе-теңдіктен тең әсерлі күштің әсер ету бағытын анықтаймыз

 

. (15)

 

Екі күшті қосудың дербес жағдайларын қарастырайық:

1) Егер болса, онда .

Қатты дененің бір нүктесіне бір түзудің бойымен бір бағытта түсірілген екі күштің тең әсерлі күшін,ің шамасы күштер шамаларының қосындысына тең және сол түзудің бойында күштер бағытымен бағытталады.

 

 

2) Егер болса, .

Қатты дененің бір нүктесіне бір түзудің бойымен әр түрлі бағытта түсірілген екі күштің тең әсерлі күшін,ің шамасы күштер шамаларының айырымына тең және сол түзудің бойында үлкен күш бағытымен бағыттас болады.

3) Егер болса, онда .

Қатты дененің бір нүктесіне өзара перпендикуляр түсірілген екі күштің тең әсерлі күшінің шамасы мен бағыты осы күштерден тұрғызылған тік төртбұрыштың диагоналына тең.

Енді жазық жинақталатын күштер жиыны берілсін делік.

 

 

Бұл жиынның тең әсерлі күші

 

.

 

Берілген күштердің әсер жазықтығынан тікбұрышты координаталар жүйесінің өстерін таңдап алып, берілген күштер жүйесі мен олардың тең әсерлі күшін, осы өстерге проекциялайық.

Қосынды вектордың кез келген өс бағытына түсірілген проекциясы қосылғыш векторлардың сол өстегі проекцияларының қосындысына тең болатыны математикадан бізге белгілі, яғни

 

Олай болса,

 

; , (16)

 

мұндағы: , - пен өстеріндегі берілген күштердің проекциялары;

, - осы өстердегі тең әсерлі күштің проекциялары.

Сонымен, тең әсерлі күштің әрбір координата өстеріндегі проекциялары сол өстердегі берілген күштердің проекцияларының қосындысына тең болатынын тұжырымдадық. Егер пен анықталған болса, жазық жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күші -дің модулі мен бағыттаушы косинустарын алдыңғы тақырыптарда алынған (2) және (3) өрнектерін қолдана отырып тауып алуға болады.

Тең әсерлі күштің модулі

; (17)

 

тең әсерлі күштің бағыттаушы косинустары

 

; . (18)

 

Жазық жинақталатын күштер жиынының тепе-теңдігінің аналитикалық шарты. Егер берілген жазық жинақталатын күштер жиыны тепе-теңдікте болса, онда жүйенің тең әсерлі күші нөлге тең, яғни .

Ал тең әсерлі күш нөлге тең болса, демек оның проекциялары да нөлге тең болады,

 

; ,

 

немесе (16) өрнек бойынша,

 

; . (19)

 

Осы өрнек жазық жинақталатын күштер жиынының тепе-теңдігінің аналитикалық шарты деп аталады. Бұл шарт былайша тұжырымдалады: жазық жинақталатын күштер жиыны тепе-теңдікте болу үшін,, осы күштердің екі координата өстерінің әрқайсысындағы проекцияларының алгебралық қосындылары нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Тепе-теңдік теңдеуі берілген күштер жиынының екі белгісіз элементтерін анықтауға мүмкіндік береді, мысалы, бір күштің модулі мен бағытын немесе бағыттары белгілі екі күштің модулін табу.

 

Жазық параллель күштер жүйесі. Бір бағытталған екі параллель күшті қосу. Әсер сызықтары бір жазықта жататын және параллель болатын күштер жиынын жазық параллель күштер жиыны деп айтады. Физика курсынан белгілідей (24, а - сурет) бір бағытталған екі параллель күштің тең әсерлі күші берілген күштер қосындысына тең де, осы күштерге параллель және бағыттас болады, ал оның әсер сызығы берілген екі күштің түсу нүктелерін қосатын кесіндіні сол күштердің модульдеріне кері пропорционал болатындай етіп екі бөлікке іштей бөлетін нүктеден өтеді, яғни

 

, , , , .

 

Осы пропорциялық қатынастан төмендегідей туынды пропорция құра аламыз:

 

,

немесе,

 

.

 

Жоғарыдағы тұжырымдаманы бір бағытталған екі параллель күшті қосу теориясы немесе бір бағытталған екі параллель күшті қосу деп атайды.

Қарама-қарсы бағытталған екі күшті қосу. Екі қарама-қарсы бағытталған, модульдері тең емес екі параллель күшті қосуды қарастырайық.

Теорема. Модульдері тең емес қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің тең әсерлі күш берілген күштер айырмасына тең де, осы күштерге параллель және үлкен күшпен бағыттас болады, ал әсер сызығы берілген екі күштің түсу нүктелерін қосатын кесіндіні сол күштердің модульдеріне кері пропорционал болатындай етіп екі бөлікке сырттай бөлетін нүктеден өтеді.

Қатты дененің және нүктелерінде және күштері түсірілген болсын, сонымен қатар деп берілсін. Осы екі күштің тең әсер күшін анықтайық (24, b - сурет). Ол үшін күшін өзімен бағыттас екі параллель күшке жіктейік

 

; .

 

Мұндағы құраушы күшті нүктесіне түсіріп, шамасы жағынан болатындай етіп алайық, яғни

Олай болса берілген күштер жиыны бір күшке эквивалентті

 

Сонымен, қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің тең әсерлі күші болатынын дәлелдедік. Енді осы күштің модулі мен түсу нүктесін анықтайық. Ол үшін, бір бағытталған екі параллель күшті қосу теоремасы негізінде мынадай теңдік құрамыз

 

 

Бұл жерде екенін ескерсек,

 

 

 

Осы өрнектерден тең әсерлі күштің модулі мен түсу нүктесі анықталады, яғни

 

 

немесе .

 

Сонымен, теорема толығымен дәлелденді.

Екі параллель күштің тең әсерлі күші берілген күштердің алгебралық қосындысына тең екенін атап өтейік.

Егер қатты денеге параллель күштер иыныі түскен болса, оның тең әсерлі күшінің модулін, бағытын және түсу нүктесін параллель күштерді қосу ережесін берілген күштер жиынына біртіндеп пайдалана отырып анықтауға болады.

Параллель күштер жүйесінің тең әсерлі күші берілген жиын күштерінің алгебралық қосындысына тең екені айқын

 

.

 

Сонымен, параллель күштердің тең әсерлі күші олардың алгебралық қосындысына тең

 

. (20)

 

Тең әсерлі күштің түсу нүктесін және бағытын анықтау мәселесі алдыңғы тақырыптарда қарастырылады.

Атап өтетін жайт, дәлелденген теоремаларды пайдаланып, күшті өзіне параллель бағыттас немесе қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштерге жіктеуге болады.

Бірақта бұл таңдап алынатын құраушы күштің модуліне, бағытына және түсу нүктесіне қатысты бірнеше шешімді статикалық анықталмаған есептер қатарына жатады.

 

Жазық қос күштер жүйесі. Қос күш және қос күш моменті. Жоғарыда біз күштердің шамасы әр түрлі болған жағдайдағы қарама-қарсы бағытталған екі параллель күшті қосуды қарастырғанбыз. Енді қарама-қарсы бағытталған параллель екі күштің шамалары өзара тең болған жағдайын қарастырайық (I.1.25, а – сурет). , , ,

Модульдері тең және қарама-қарсы бағытталған екі параллель күш жүйесін қос күш деп атайды.

ғасырдың басында француз ғалымы Пуансо (1777-1859) механикаға қос күш ұғымын енгізіп, қос күштер теориясын тұрғызады. Қос ұғымымен қатар қос күш механикада негізгі ұғымдардың бірі болып табылады.

Қос күш құрайтын күштер орналасқан жазықтық қос күш әсерінің жазықтығы, ал күштердің ара қашықтығы қос күш иіні деп аталады. Қос күштің денеге әсері денені айналысқа келтіруге тырысатынымен сипатталады. Қос күштің денеге жасайтын мұндай әсері күштің шамасы мен иініне, әсер жазықтығының орналасуына және осы жазықтықтағы қос күштің айналу бағытына тәуелді болады. Қос күш әсері қос күш моментімен анықталады.