Теориялық механиканың негізгі ұғымдары 5 страница

Жинақталған күштер жиынының векторлық қосындысын анықтап, келтірілген күштердің тепе-теңдік күшін аламыз

 

.

 

Сонымен, берілген күштер жиынының векторлық қосындысына тең күшін күштер жиынының бас векторы деп атайды және ол келтіру нүктесіне түсіріледі. Тіркеме қос күштердің моменттерінің алгебралық қосындысын есептеп, олардың тепе-теңдік қос күшінің моментін анықтаймыз

 

 

немесе

 

 

Берілген күштердің келтіру нүктесіне қарағандағы моменттерінің алгебралық қосындысы бас момент деп аталады.

Бас вектор мен бас моменттің, жалпы жағдайда жазылу түрі

 

, (30)

 

. (31)

 

Бас күш графикалық жағынан берілген күштерден тұрғызылған көпбұрыштың тұйықтаушы қабырғасы болып табылады. Бас вектордың модулін аналитикалық жолмен мына формуланы пайдаланып есептеуге болады

 

, (32)

 

мұнда .

 

, . (33)

 

Бас күштің бағыттаушы косинустары

 

, . (34)

 

Бас вектор берілген жазық күштер жиынының теңестіруші күші емес, өйткені ол берілген жүйені тек тіркеме бас моментпен бірге алмастыра алады.

Қасиеттері. 1 Берілген күштер жиынының бас векторының модулі мен бағыты келтіру нүктесінің орнына тәуелсіз.

2 Жалпы жағдайда бас моменттің шамасы мен таңбасы келтіру нүктесінің орнына тәуелді.

Жазық күштер жиынының тең әсерлі күші. Вариньон теоремасы. Қандай да бір еркін бағытталған жазық күштер жиынының бас векторы мен бас моменті берілген делік (35, а – сурет). Осы жиынның тең әсерлі күшін анықтайық.

бас моментті қос күшімен алмастырайық, мұнда . Қос күштің иіні (35, b – сурет).

Ал нүктесіндегі пен күштері теңестірілген күштер, яғни , олай болса, келтіру нүктесінен аралықтағы нүктеге түсірілген - тең әсерлі күші ғана қалады.

Сонымен, бас вектор мен бас моменттің тең әсерлі күші анықталды.

Сәйкес күштердің тең әсерлі күші мен моментінің арасындағы тәуелділік жөніндегі теореманы француз ғалымы Вариньонның есімімен – Вариньон теоремасы деп аталады.

Теорема. Кез келген жазық күштер жиынының қандай да бір келтіру нүктесіне қатысты алынған тең әсерлі күшінің моменті осы нүктеге қатысты алынған жиынның құрама күштер моменттерінің алгебралық қосындысына тең.

Шын мәнінде 35 – суретте көрсетілгендей, тең әсерлі күштің нүктесіне қарағандағы моменті , мұндағы , олай болса,

 

.

 

Демек,

.

 

(31) формуласына сәйкес

 

,

сондықтан

. (35)

 

Теорема дәлелденді.

Жазық күштерді келтірудің жеке жағдайлары. Жазық күштер жиынын қандай да бір нүктеге келтірген жағдайда:

1 Егер , болса, онда ол жиынды түрлендіре отырып, тең әсерлі күшке келтіруге болады. Тең әсерлі күш бас вектормен бағыттас және шамалары тең болады, ал түсу нүктесі келтіру нүктесінен қашықтықта жатады.

2 Егер , болса, онда жиынды тепе-тең қос күшпен алмастыруға болады.

3 Егер , болса, онда жиынды келтіру нүктесіне түсетін тең әсерлі күшке келтіруге болады.

4 Егер , болса, онда жиын нөлге тепе-тең, яғни жүйе тепе-теңдікте болады.

Сонымен, еркін бағытталған жазық күштер жиыны тепе-теңдікте болу үшін жиынның бас векторы мен бас моментінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

 

, . (36)

 

Еркін бағытталған жазық күштер жиынының тепе-теңдік шарты. Егер еркін бағытталған күштердің бас векторы нөлге тең болса, онда оның модулі де нөлге тең, яғни болса, онда немесе , .

Осы теңдіктерден тепе-теңдіктің келесі шарттарын аламыз:

1 Еркін бағытталған жазық күштер жиынының тепе-теңдікте болуы үшін жиынды құраушы күштерінің екі координат өстеріндегі проекцияларының алгебралық қосындысы және күш жазықтығындағы кез келген бір нүктеге қатысты алынған күштер моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті

 

, , . (37)

 

Бұл өрнектерді тепе-теңдіктің шарты немесе тепе-теңдік теңдеуі деп атайды.

2 Еркін бағытталған жазық күштер жиынының тепе-теңдікте болуы үшін кез келген екі және нүктелеріне қатысты жиынды құраушы күштер моменттерінің алгебралық қосындысы мен түзуіне перпендикуляр болып келмеген қандай да бір өстегі (мысалы, өсін алайық) осы күштер проекцияларының алгебралық қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті

 

, , . (38)

 

3 Еркін бағытталған жазық күштер жүйесінің тепе-теңдікте болуы үшін жүйенің құрама күштерінің бір түзудің бойында жатпайтын кез келген , және нүктелеріне қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті

 

, , . (39)

 

Жеке жағдай. Егер жазық күштер жиыны параллель күштер жиыны болса, онда тепе-теңдік шарты мынадай түрде жазылады:

1 Жазық параллель күштер жиынының тепе-теңдікте болуы үшін берілген күштерге параллель өстегі жиынды құраушы күштер проекцияларының алгебралық қосындысы мен күш жазықтығындағы кез келген бір нүктеге қатысты алынған күштер моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті

 

, . (40)

 

2 Жазық параллель күштер жиынының тепе-теңдікте болуы үшін кез келген екі және нүктелеріне қатысты жиынды құраушы күштер моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті

 

, . (41)

 

Мұндағы мен нүктелері күштерге параллель түзудің бойында жатпауы керек.

Тепе-теңдік теңдеулері, негізінен, жүктелген денені қарастыра отырып, денеге түсірілген қандай да бір күштердің шамасы бойынша байланыс реакцияларын анықтауда пайдалынылады, дара жағдайда тірек реакцияларын анықтауда. Осы есепті шешудің жалпы аналитикалық әдістің түйіні мынада: берілген дене тепе-теңдікте болғандықтан, байланыс реакцияларын бірге есептегенде, денеге әсер ететін күштердің барлығы тепе-теңдік шарттарын орындауы қажет. Осы тұрғызылған тепе-теңдік шарттарынан берілген күштермен қатар белгісіз реакциялар енетін теңдеулер аламыз. Алынған теңдеулер жүйесін шеше отырып, белгісіз күштерді анықтаймыз.

 

Әрбір жазық күштер жиыны үшін белгілі анықталған, сәйкес тепе-теңдік теңдеулер саны болады. Мұнан, белгісіз күштердің саны тұрғызылған тепе-теңдік теңдеулердің санына тең көрінеді. Егер белгісіз күштердің саны теңдеулердің санынан аспаса, онда теңдеулерді шешуге болады. Мұндай есептерді статикалық анықталған деп атайды, ал егер белгісіз күштердің саны теңдеулердің санынан асып түссе, есеп статикалық анықталмаған болады. Есепті статиканың әдістерімен шешуге болмайды. Статикалық анықталмаған есептерді, тек дененің серпімді қасиеттерін ескере отырып шешуге болады, ал ол жағдай теориялық механикада қарастырылмайды.

 

Лекция