Для разложения функции f(x) на отрезке [–p; p] в ряд Фурье
для коэффициентов Фурье были получены формулы
,
справедливые для функций, имеющих период 2p.
Теория рядов Фурье легко переносится и на случай периодических функций с любым периодом 2l. Найдем выражение тригонометрического ряда Фурье и формулы коэффициентов Фурье для периодической функции с периодом 2l, считая, что функция f(x) удовлетворяет всем условиям Дирихле на отрезке [–l, l].
Сделаем замену переменной по формуле
.
Тогда функция f(x) = 
будет периодической функцией с периодом 2p, которую можно разложить в ряд Фурье на отрезке [–p; p]. Итак,
, (5)
(6)
Возвращаемся к "старой" переменной х
Подставляя это в формулы (5) и (6) получим:
, (7)
где
(8)
Формулы (7) и (8) дают разложение функции f(x)с периодом 2l в ряд Фурье на отрезке [–l;l].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Формулы для коэффициентов Эйлера значительно упрощаются, если f(x) - четная или нечетная функция. Выведем сначала некоторые формулы, необходимые для дальнейших вычислений.
а) Пусть j(x) – четная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = j(х).
Тогда 
.
Сделав в первом интеграле правой части замену:
x = - t Þ dx = - dt; 
получим:
.
б) Пусть j(x) – нечетная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = – j(х).
Тогда
= (замена, как и в первом интеграле)
= 
.
Итак, для четных функций 
,
для нечетных функций 
. (9)
Используем эти результаты при вычислении коэффициентов Фурье.
а) Для четных функций.
Пусть f(x) – четная функция на отрезке [–l, l].
Тогда 
– тоже четная функция, а 
– нечетная функция. Значит, используя (9), получим:
(10)
Таким образом, в разложении четных функций в ряд Фурье "останутся только косинусы":
f(–x) = f(x) Þ f(x) = 
.
б) Для нечетных функций.
Пусть f(x) – нечетная функция на отрезке [– 
; ], тогда 
– тоже нечетная функция, а 
– четная функция (как произведение двух нечетных функций). Значит, используя (10), получим:
(11)
Тогда в разложении нечетной функции в ряд Фурье "останутся только синусы":
f(–x) = – f(x) Þ f(x) = 
.
Примеры разложения
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| на отрезке [–p; p].
Решение.
Так как |x| – четная функция, используем формулы (10):
bn = 0, 
,
Тогда ряд Фурье примет вид 
или
 |
. График ряда изображен на рис.
 |
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой имеет вид:
Решение.
Так как f(x) – нечетная функция, используем формулы (11):
,
.
Т.о., при четных n получим bn = 0, а для нечетных n будем иметь:
.
Тогда ряд Фурье примет вид
.
Отметим еще раз, что равенство функции и полученного ряда выполняется только там, где f(x) непрерывна. В точках разрыва полученный ряд сходится к полусумме односторонних пределов, в данном случае к числу 0.
