ТригонометрическиЕ ряды
В естествознании и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: колебательными и вращательными движением различных деталей машин и приборов, периодическим движением небесных тел и элементарных частиц, акустическими и электромагнитными колебаниями.
В математике все такие процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются, как известно, тригонометрические функции sin(t) и cos(t). Одним из главных вопросов изучаемой темы является вопрос о представлении произвольной функции суммой гармонических функций (гармоник). В данной лекции начнем с рассмотрения общих вопросов, подробно изучим важнейшую для многих практических задач так называемую тригонометрическую систему функций и получающийся на ее основе тригонометрический ряд.
Тригонометрические ряды. Задача о разложении функции в
Напомним, что функция f(t) одной переменной t называется периодичной, если существует такое число Т ¹ 0, называемое ее периодом, что
f(t + Т) = f(t) при всех значениях t (–¥ < t < + ¥).
Простейшими периодическими функциями являются, как известно, тригонометрические функции sin t и cos t с периодом Т = 2p.
В физике простейшей периодической функцией обычно считают "гармонику" (или "гармоническое колебание")
g(t) = A sin(wt + j), –¥ < t < + ¥.
Так как g(t + 
) = g(t), при –¥ < t < + ¥, то Т = есть период гармоники. Константы А, w и j называют соответственно амплитудой, частотой и фазой гармоники.
Одним из основных вопросов данной лекции является вопрос о представлении произвольной периодической функции в виде суммы гармоник.
Рассмотрим последовательность гармоник
k = 1, 2, …, –¥ < t < + ¥ (1)
Частотой k-й гармоники является 
k = 1, 2, ….
Таким образом, частоты гармоник последовательности (1) являются кратными одному и тому же числу 
. Такие гармоники мы будем называть гармониками с кратными частотами. Частота w = называется основной частотой. Рассмотрим последовательность гармоник, для которых основная частота w = 1. Это можно сделать, не умаляя общности рассуждений, как будет показано ниже. Рассмотрим последовательность гармоник
k = 1, 2, ….
Сумма, или, как говорят, суперпозиция бесконечного числа таких гармоник, есть сумма сходящегося ряда
(2)
Ясно, что эта сумма является периодической функцией с периодом
Т = 2p.
Равенство (2) можно преобразовать так.
Учтем, что
Aksin (kx + jk) = Aksinjk coskx + Akcosjk sinkx.
Обозначим 
, ak = Aksinjk , bk = Akcosjk.
Тогда равенство (2) примет вид
. (3)
Определение. Ряд в правой части равенства (3) называется тригонометрическим рядом, а само равенство (3), если оно имеет место при всех х, – разложением функции f(x) в тригонометрический ряд.
Основной задачей данной темы является исследование вопросов:
1) Какую периодическую функцию с произвольным периодом можно разложить в тригонометрический ряд вида (3)?
2) Как найти коэффициенты разложения (3) а0, аk и bk, если это разложение возможно?
3) Какова зависимость между характером сходимости ряда (3) и свойствами функции f(x)?
