Определение. Разложение (3) – это разложение в ряд по функциям системы
1, cosx, sinx, cos2x, …, cosnx, sinnx,…, (4)
которую мы будем называть тригонометрической системой (основной тригонометрической системой)
Тригонометрическая система является ортогональной на отрезке [–p; p] в следующем смысле: интеграл по отрезку [–p; p] от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [–p; p] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.
Действительно,
Далее,
, при m ¹ n.
Аналогично находим
Наконец,
Точно так же можно показать, что система функций (4) будет ортогональной на любом отрезке длиной 2p, в частности, на отрезке [0; 2p].
Аналогично доказывается, что система функций
1, coswx, sinwx, cos2wx, sin2wx, … cosnwx, sinnwx, …,
будет ортогональной на любом отрезке длиной 
, в частности, на отрезках 
и 
, где 
, Т – общий период функций этой системы.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Коэффициенты Эйлера-Фурье. Ряд Фурье
Если ряд 
сходится равномерно на отрезке [–p; p] к функции f(x), то его можно интегрировать почленно. Это утверждение сохраняет силу и после умножения этого равенства на любую интегрируемую функцию. Последнее обстоятельство в сочетании с ортогональностью тригонометрической системы позволяет найти коэффициенты а0, аk, bk разложения функции в тригонометрический ряд. Интегрируя равенство на отрезке [–p; p] почленно, получим
,
откуда
. (1)
Умножим равенство на cosnx и проинтегрируем на отрезке [–p; p]:
Отсюда 
. (2)
Аналогично, чтобы определить коэффициенты bn при sinnx, умножим разложение f(x) на sinnx и проинтегрируем по х от –p до p; это даст:
,
откуда 
. (3)
Определение. Числа, определяемые по формулам (1), (2) и (3), называются коэффициентами Эйлера - Фурье разложения функции f(x) по основной тригонометрической системе.
Определение. Тригонометрический ряд
,
коэффициенты а0, аk, bk которого определяются по формулам (1), (2) и (3) через функцию f(x), называется рядом Фурье функции f(x).
Для существования интегралов (1), (2) и (3) достаточно интегрируемости функции f(x) на отрезке [–p; p]. Поэтому каждой интегрируемой на отрезке [–p; p] функции f(x) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье.
f(x) ~ , (4)
т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (1), (2) и (3). Однако, если от функции f(x) не требовали ничего, кроме интегрируемости на отрезке [–p; p], то знак соответствия в соотношении (4), вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства. Ниже будут указаны некоторые достаточные условия, при выполнении которых это можно сделать.
Теорема Дирихле
Теорема Дирихле, которую примем без доказательства, отвечает на вопросы:
а) о достаточных условиях представимости функции f(x) рядом Фурье на отрезке [–p; p];
б) о том, к чему сходится ряд Фурье в различных точках отрезка [–p; p].
Теорема Дирихле. Если периодическая функция f(x) с периодом 2p кусочно-монотонна и ограничена на отрезке [-p, p], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равна среднему арифметическому односторонних пределов функции, т. е. если с – точка разрыва функции f(x), то
Таким образом, теорема Дирихле дает ответ на вопрос, когда между функцией и формально составленным для нее рядом Фурье можно поставить знак равенства.
Заметим, что в ряд Фурье можно разложить и кусочно-гладкую непериодическую функцию f(x), заданную лишь в интервале [–p; p]. При этом полученный ряд будет сходиться к функции f(x) только в тех точках интервала [–p; p], в которых функция f(x) непрерывна. Более того, полученный ряд будет сходящимся на всей числовой оси, а его суммой будет периодическое продолжение функции f(x) на всю ось Ох. Исключение составят лишь точки разрыва, в которых сумма ряда будет равна среднему арифметическому правого и левого пределов периодического продолжения данной функции.
Напомним, что функция F(x), совпадающая с f(x) в интервале [–p; p] и удовлетворяющая для каждого х условию F(x + 2p) = F(x), называется периодическим продолжением функции f(x) на всю ось х.
