Интервальное оценивание неизвестных параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется началом и концом некоторого интервала.

Примеры:

- по данным испытаний металла на растяжение предел текучести равен 330 МПа – точечная оценка;

- отклонения геометрических размеров сечения тоннеля от проектных лежат в интервале 0…5 см – интервальная оценка.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра qпо его статистической характеристике q* называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство , где характеризует точность оценки:

. (5.8)

Обычно надежность оценки задана. Наиболее часто g принимают близкой к 1.

Пример. Нормативную прочность бетона оценивают с надежностью 0,95, расчетное сопротивление – с надежностью 0,9986.

Из формулы (5.8) вытекает понятие доверительного интервала, т.е. интервала, который покрывает неизвестный параметр q с заданной надежностью g:

(5.9)

Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение: .

Известно значение и задана доверительная вероятность (надежность) . Требуется построить доверительный интервал для параметра по выборочному среднему .

Чтобы подчеркнуть случайный характер обозначим его .

Примем без доказательства, что если случайная величина распределена нормально, то и выборочное среднее , найденное по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

Параметры распределения таковы: ; .

Из теории вероятности известна формула для нормально распределенной случайной величины :

,

где - функция Лапласа, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 2).

Учитывая, что имеет нормальное распределение можно записать

или ,

где

Из последнего равенства по таблице Лапласа находим (Приложение 2).

Тогда и доверительный интервал

покрывает с надежностью математическое ожидание .

Пример 6. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания по выборочной средней , если объем выборки , а надежность оценки .

¦ 1. Находим :

По таблице значений функции Лапласа .

2. Определяем .

Доверительный интервал запишется в виде: . �

Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии