Теорема Кронекера-Капелли.

 

а₁₁ а₁₂ … а_1n а₁₁ а₁₂ … а_1n в₁

Пусть А = а₂₁ а₂₂ … а_2n, Ã = а₂₁ а₂₂ … а_2n в₂

…………… ………………..,

а_m1 а_m2 … а_mn а_m1 а_m2 … а_mn в_m

 

 

гдеА – матрица коэффициентов системы;

à – расширенная матрица, включающая столбец свободных членов;

m, n – соответственно количество уравнений и неизвестных в системе.

 

Если:

1) rang A = rang à = n, то система уравнений совместна и имеет единственное решение;

2) rang A = rang à ≠ n, то система уравнений совместна иимеет бесконечное множество решений.

3) rang A ≠ rang Ã, то система уравнений несовместна.

 

Расчетные задания.

 

Задание I. Действия с матрицами.

Справочный материал и пример выполнения задания приведены в разделе I («Матрицы»).

Заданы матрицы:

1 2 -3 2 -2 7 3 2 0

А = 5 3 4 В = 1 0 4 С = -4 5 1

-2 0 -3 5 -3 2 -2 3 4

 

4 3 0 5 3 1 6 3

D = 1 2 -3 P = 2 -1 0 Q = 2 0

1 -4

7 0 1 2 3 -1 3 5

R = 2 -4 M = 0 3 N = 2 4 K = -1 0

1 3

E_n = единичная матрица n-го порядка.

Выполнить указанные действия:

1. 2QD – A² 2. 3RD – AB

3. D^TD + 2B² 4. 3DQ + MN(K + 2E₂)

5. 2PQ + 3C 6. 2BC – (A + E₃)

7. (DRM)^T – 2 8. (B – 2E₃)C + B^TB

9. AC + 2D^TP – 4E₃ 10. 3QR^T – A^TB + 2E₃

11. 5PQ – M²(K + 2E₂) 12. CB – BC + 3E₃

13. AB + 2 (D + P)^TD 14. 3RD – A(B + E₃)

15. (M – 2N)² + 3PQM 16. QMP – (B – 2E₃)²

17. 3R^TR + (K – M + 2E₂)² 18. PQN^T – 2(N – 3E₃)²

19. 2DQM^T + (K – E₂)² 20. 3QQ^T – 2BC.

Задание 2. Вычисление определителей.

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе I («Определители»).

В пункте «а» задания вычислить определитель, используя свойства 3,5 (см. раздел I «Определители»).

В пунктах «б», «в» вычислить определители, получив нули в какой-либо строке (или столбце) и разложив определитель по элементам этой строки (столбца).

В пункте «г», используя свойства 1 – 5, найти определитель, если

а₁ а₂ а₃

в₁ в₂ в₃ = 5

с₁ с₂ с₃

 

1. а) 14 7 б) 1 5 2 в) 1 1 1 1 г) 3а₁ 3а₂ 3а₃

200 201 2 6 1 2 0 1 -1 с₁ с₂ с₃

-1 2 4 3 2 3 0 2в₁ 2в₂ 2в₃

5 3 5 1

 

2. а) 16 8 б) 1 4 2 в) 1 2 -1 1 г) в₁ в₂ в₃

101 102 3 6 2 3 0 1 4 2с₁ 2с₂ 2с₃

-2 2 4 2 2 2 4 4а₁ 4а₂ 4а₃

4 4 1 6

 

3. а) 15 203 б) 1 4 2 в) 1 1 0 1 г) 3в₁ в₂ 6в₃

30 205 -1 2 2 -1 4 7 -4 3а₁ а₂ 6а₃

3 6 2 2 -2 2 0 3с₁ с₂ 6с₃

4 -2 1 2

4. а) 3 6 б) 1 4 2 в) 1 -3 1 -1 г) 7а₁ а₃ 2а₂

251 252 -2 1 2 -2 0 4 6 7в₁ в₃ 2в₂

3 2 -1 2 2 3 1 7с₁ с₃ 2с₂

4 -1 4 -1

 

5. а) 8 321 б) 2 6 3 в) 2 3 3 0 г) -а₂ 3а₃ а₁

4 322 1 6 4 1 2 2 -1 -в₂ 3в₃ в₁

1 3 2 3 -2 0 3 -с₂ 3с₃ с₁

7 1 3 5

6. а) 6 521 б) 2 4 1 в) 2 2 -5 -2 г) 8в₁ 8в₂ 8в₃

12 522 3 6 2 3 0 2 5 -а₁ -а₂ -а₃

-1 3 4 1 2 4 5 3с₁ 3с₂ 3с₃

5 4 -1 5

7. а) 16 51 б) 2 4 1 в) 2 -2 5 2 г) 2в₁ 2в₂ 2в₃

32 52 -1 2 2 -1 0 2 3 с₁+3а₁ с₂+3а₂ с₃+3а₃

5 7 1 1 2 0 -1 а₁ а₂ а₃

7 -2 10 1

8. а) 22 33 б) 2 4 1 в) 2 -3 5 2 г) -а₃ 2а₂ -6а₁

11 44 -2 1 2 -2 0 3 5 -в₃ 2в₂ -6в₁

4 3 -1 1 2 1 0 -с₃ 2с₂ -6с₁

3 2 1 -2

9. а) 33 351 б) 3 6 2 в) 3 7 14 -3 г) 3а₁ 3а₂ 3а₃

36 352 1 6 4 1 1 2 0 с₁-в₁ с₂-в₂ с₃-в₃

2 4 2 2 -4 -6 4 4в₁ 4в₂ 4в₃

8 3 8 4

10. а) 4 123 б) 3 5 1 в) 3 1 -8 -4 г) 4в₁ 4в₂ 4в₃

8 124 2 6 3 2 0 1 3 -с₁ -с₂ -с₃

1 4 3 1 2 4 5 3а₁ 3а₂ 3а₃

7 3 -4 4

11. а) 10 5 б) 3 5 1 в) 3 6 -8 -4 г) а₁ 2с₁ в₁

420 421 -1 3 3 -1 2 -2 -3 а₂ 2с₂ в₂

7 9 1 1 1 1 2 а₃ 2с₃ в₃

7 7 -7 1

12. а) 32 45 б) 3 5 1 в) 3 -3 8 4 г) а₁+в₁ а₂+в₂ а₃+в₃

16 25 -2 2 3 -2 0 3 5 с₁ с₂ с₃

5 4 -1 1 2 0 -1 3а₁ 3а₂ 3а₃

7 -1 8 0

13. а) 14 35 б) -1 1 3 в) -1 5 5 -1 г) 3в₁ 3в₂ 3в₃

28 105 1 3 -1 1 -1 -1 2 а₁-в₁ а₂-в₂ а₃-в₃

-2 -2 4 2 0 -2 4 5а₁ 5а₂ 5а₃

0 5 3 1

 

14. а) 55 45 б) -1 1 2 в) -1 1 4 4 г) 2а₁ а₁+а₂ 3а₂

24 26 2 2 1 2 0 1 3 2в₁ в₁+в₂ 3в₂

-2 -1 1 1 2 0 1 2с₁ с₁+с₂ 3с₂

-1 3 4 4

15. а) 25 35 б) -1 2 1 в) -1 2 4 4 г) в₁ 2с₁ 3а₁

45 55 3 2 -1 3 0 2 5 в₂ 2с₂ 3а₂

-4 4 4 1 2 1 2 в₃ 2с₃ 3а₃

-1 4 5 5

16. а) 11 8 б) -1 2 -2 в) -1 -3 -1 -4 г) 2с₁ 2с₂ 2с₃

22 32 -2 -3 -7 -2 0 3 5 -а₁ -а₂ -а₃

1 -1 2 1 2 2 3 3в₁ 3в₂ 3в₃

-3 -1 4 5

17. а) 21 8 б) 1 2 -1 в) 1 1 -4 -2 г) а₃+4а₁ 5а₂ а₁

63 16 2 4 -1 2 0 3 5 с₃+4с₁ 5с₂ с₁

-1 1 3 -1 2 4 3 в₃+4в₁ 5в₂ в₁

1 3 0 2

 

18. а) 3 181 б) 1 -3 -1 в) 1 2 -4 -2 г) 3а₂-а₁ а₃ а₂

6 182 3 -1 -1 3 0 4 7 2в₂-в₁ в₃ в₂

-2 18 4 -1 2 5 4 3с₂-с₁ с₃ с₂

1 4 1 3

19. а) 14 300 б) 1 5 -2 в) 1 2 0 2 г) а₃ 3а₂-а₃ а₁

7 301 -1 3 -4 -1 4 4 -5 в₃ 3в₂-в₃ в₁

2 2 2 3 1 3 0 с₃ 3с₂-с₃ с₁

5 3 3 3

20. а) 5 201 б) 1 5 3 в) 1 -3 0 -2 г) 3в₁ 3в₂ 3в₃

15 202 -2 2 3 -2 0 5 7 3с₁ 3с₂ 3с₃

3 2 -1 3 2 4 1 3а₁ 3а₂ 3а₃

5 -1 4 -2

 

Задание 3. Решение системы уравнений тремя методами.

 

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) по формулам Крамере;

б) методом Гаусса;

в) матричным методом.

Проверить найденное решение подстановкой.

 

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе 2 («Формулы Крамера», «Метод Гаусса», «Матричный метод»).

 

1. x + y – z = 0 -x + 2y +2z = 9 y +3z = 11	2. x + 2y – z = 6 -x + 2y +2z = 1 3x – y – z = 2	3. 2x – 2y + z = -1 3x + y – 2z = 7 x + 2y – z = 7
4. 2x – y – 2z = 1 3x + y – 2z = 9 2y + z = 6	5. -x + 3y + z = 1 3x – y – 2z = -8 x + 2y + 3z = 6	6. 2x + y + z = 7 3x + 2z = 12 -x – 2y + 3z = 7
7. 2x + 3y + z = 0 2x – y + 2z = 3 -2x + 3y – z = -6	8. 3x + 4y – z = 4 x – y + 2z = 6 -x + y +z = -3	9. 3x + 3y + z = 6 3x – y + 5z = 10 -x + y = -4
10. x + 2y + 4z = -1 -3x + y – 2z = 0 3x + 2y – z = 6	11. x – 2y – z = -5 2x + 3y + z = 10 2x + y + 2z = 8	12. 3x + 2y + z = 13 -3x + y + 4z = 0 x – y + 2z = 6
13. 2x + 2y + z = 7 -x + y – 2z = -3 x + 4y + z = 7	14. 2x + 3y + 2z = 9 -x + y – 3z = -4 4x + 2y + z = 11	15. x + 6y + 2z = 7 -2x + 2y + z = -1 2x + 2y – 3z = 15
16. x + 3y – 2z = 3 2x + y – 3z = -2 2x – 2y + z = 0	17. x + 5y – z = -5 x – y + 2z = 4 -2x + y + z = 2	18. 3x + 2y – z = 14 3x + y + 2z = 14 x – 4y + 3z = -6
19. 3x + 3y – z = -1 3x – 3y – 2z = 16 -3x = y + z = -11	20. x + y + 3z = -3 -2x + 2y + z = 0 3x + 2y – 2z = 11

 

Задание 4. Решение матричных уравнений.

Решить матричное уравнение.

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе 2 («Матричные уравнения»).

2 3 0 -2 1 -3 1. X × 0 -1 1 = 20 11 15 4 2 3 -4 -7 1	2 1 0 3 6 2. 1 3 -2 × X = -7 11 -2 1 1 -2 3
3. 5 1 × Y × 1 2 = 26 -4 3 2 3 -1 31 -1	2 1 0 2 -1 4 4. 0 1 3 × X = 6 2 11 -1 2 2 3 0 9
1 0 2 3 3 5. 2 -1 3 × X = 5 7 1 2 2 5 -1	6. 2 -3 × Y × 2 1 = 0 6 -4 7 4 5 4 -10
1 2 -2 8 14 -11 7. X × 0 1 2 = 2 1 -7 2 3 -3	1 0 3 1 5 4 8. X × 2 1 1 = 5 0 2 -1 2 0 3 0 9
9. 2 3 × Y × 4 -1 = 10 -5 1 4 -2 3 0 5	3 0 1 5 5 10. 1 2 -2 × X = 10 -3 2 1 1 6 4
2 1 0 4 6 -3 11. 0 1 2 × X = 10 2 5 3 2 -1 3 8 -6	1 1 2 3 1 5 12. X × 0 -2 -1 = 5 2 5 3 0 1 7 5 6
13. 3 -4 × Y × -4 5 = 2 7 -2 1 2 -3 2 -3	1 0 2 -1 -7 7 14. X × -2 -5 1 = -5 -9 3 1 3 1
1 0 -1 -2 1 -3 15. 2 3 4 × X = 20 11 15 -2 1 0 -4 -7 1	1 0 1 2 -1 4 16. X × 0 -1 2 = 6 2 11 2 1 3 3 0 9
17. 2 3 × Y × 3 -2 = 1 36 -1 1 -1 4 -8 12	1 3 -2 4 6 -3 18. X × 2 0 1 = 10 2 5 4 1 2 3 8 -6
3 2 0 7 3 19. 0 1 1 × X = 1 3 -2 1 -1 1 -5	20. 2 1 × Y × 5 1 = -5 12 4 3 -3 2 -9 32