Однородные системы уравнений.

Однородной называется система уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, т. е. система вида

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = 0

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_2nх_n = 0

……………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ +…+ а_mnх_n = 0.

 

 

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет решение х = х₂=... = х_n = 0, что легко проверяется подстановкой. Это решение называется тривиальным.

Если главный определитель системы ≠ 0, то, в соответствии с теоремой о решениях систем уравнений, тривиальное решение является единственным.

Если = 0, то система имеет бесконечное множество решений, которые находят методом Гаусса.

 

 

Раздел 3. Системы уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов.

Рассмотрим систему уравнений вида:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = в₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_2nх_n = в₂

……………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ +…+ а_mnх_n = в_m

 

До сих пор было принято, что m = n, т.е. уравнений столько же, сколько неизвестных. При этом матрица коэффициентов была квадратной. Теперь рассмотрим более общий случай: либо m < n, либо m > n, либо m=n (как частный случай). Матрица коэффициентов такой системы прямоугольная. При m ≠ n матрица не является квадратной и определитель не существует. Значит, не действует теорема о решениях системы, сформулированная раньше, неприменимы формулы Крамера и матричный метод (для них необходимо вычисление определителя).

Вопрос о наличии решений системы с прямоугольной матрицей коэффициентов решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли, а для нахождения самих решений используют метод Гаусса.

 

Ранг матрицы.

Определения:

Рангом матрицы (rang А) называется наибольшее число линейно независимых в ней строк (столбцов).

Две матрицы А и В эквивалентны (А ~ В), если равны их ранги (rangA = rang В).

Эквивалентные преобразования матрицы – преобразования, не изменяющие ее ранга:

1) перестановка строк (столбцов) матрицы;

2) умножение или деление строки (столбца) на любое число, не равное нулю;

3) прибавление к одной строке какой-либо другой, умно­женной на любое число (то же в отношении столбцов);

4) вычеркивание нулевых строк (столбцов).

Отметим без доказательства следующие два свойства, связанные

с рангом матриц:

1) наибольшее число линейно независимых строк и столбцов во всякой матрице одинаково;

2) ранг матрицы равен наибольшему порядку ее минора, не равного нулю.

Пример: Вычислить ранг матрицы Q.

Решение:

1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 0 2 3

5 10 0 15 (1) 0 0 0 0 (2) 0 0 1 -16 (3) 0 1 0 -16;

3 6 1 -7 0 0 1 -16

(1) – получим нули ниже ломаной линии: 1-ю строку умножим сначала на "-5" и прибавим ко 2-й, затем на "-3" и прибавим к 3-й;

(2) – вычеркнем нулевую строку;

(3) – поменяем местами 2-й и 3-й столбцы (Важно, чтобы элементы,

стоящие по главной диагонали, не равнялись нулю. Можно было бы поменять, например, 2-й и 4-й столбцы).

Выделим минор в левой части последней матрицы. Поскольку он обязательно треугольный, то равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

1 0 =1

0 1

Порядок (но не значение!) наибольшего ненулевого минора равен 2, следовательно, rang Q = 2.