Однородной называется система уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, т. е. система вида
а11х1 + а12х2 +…+ а1nхn = 0
а21х1 + а22х2 +…+ а2nхn = 0
……………………………
аn1х1 + аn2х2 +…+ аmnхn = 0.
Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет решение х = х2=... = хn = 0, что легко проверяется подстановкой. Это решение называется тривиальным.
Если главный определитель системы ≠ 0, то, в соответствии с теоремой о решениях систем уравнений, тривиальное решение является единственным.
Если = 0, то система имеет бесконечное множество решений, которые находят методом Гаусса.
Раздел 3. Системы уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов.
Рассмотрим систему уравнений вида:
а11х1 + а12х2 +…+ а1nхn = в1
а21х1 + а22х2 +…+ а2nхn = в2
……………………………
аm1х1 + аm2х2 +…+ аmnхn = вm
До сих пор было принято, что m = n, т.е. уравнений столько же, сколько неизвестных. При этом матрица коэффициентов была квадратной. Теперь рассмотрим более общий случай: либо m < n, либо m > n, либо m=n (как частный случай). Матрица коэффициентов такой системы прямоугольная. При m ≠ n матрица не является квадратной и определитель не существует. Значит, не действует теорема о решениях системы, сформулированная раньше, неприменимы формулы Крамера и матричный метод (для них необходимо вычисление определителя).
Вопрос о наличии решений системы с прямоугольной матрицей коэффициентов решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли, а для нахождения самих решений используют метод Гаусса.
Ранг матрицы.
Определения:
Рангом матрицы (rang А) называется наибольшее число линейно независимых в ней строк (столбцов).
Две матрицы А и В эквивалентны (А ~ В), если равны их ранги (rangA = rang В).
Эквивалентные преобразования матрицы – преобразования, не изменяющие ее ранга:
1) перестановка строк (столбцов) матрицы;
2) умножение или деление строки (столбца) на любое число, не равное нулю;
3) прибавление к одной строке какой-либо другой, умноженной на любое число (то же в отношении столбцов);
4) вычеркивание нулевых строк (столбцов).
Отметим без доказательства следующие два свойства, связанные
с рангом матриц:
1) наибольшее число линейно независимых строк и столбцов во всякой матрице одинаково;
2) ранг матрицы равен наибольшему порядку ее минора, не равного нулю.
Пример: Вычислить ранг матрицы Q.
Решение:
1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 0 2 3
5 10 0 15 (1) 0 0 0 0 (2) 0 0 1 -16 (3) 0 1 0 -16;
3 6 1 -7 0 0 1 -16
(1) – получим нули ниже ломаной линии: 1-ю строку умножим сначала на "-5" и прибавим ко 2-й, затем на "-3" и прибавим к 3-й;
(2) – вычеркнем нулевую строку;
(3) – поменяем местами 2-й и 3-й столбцы (Важно, чтобы элементы,
стоящие по главной диагонали, не равнялись нулю. Можно было бы поменять, например, 2-й и 4-й столбцы).
Выделим минор в левой части последней матрицы. Поскольку он обязательно треугольный, то равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
1 0 =1
0 1
Порядок (но не значение!) наибольшего ненулевого минора равен 2, следовательно, rang Q = 2.
