Производная и дифференциал

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Приращением этой функции в точке называется функция аргумента Производной функции в точке называется . Производная функции в точке обозначается или . Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных простейших элементарных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Физический смысл производной

Производная - скорость изменения зависимой переменной по отношению к изменению независимой переменной в точке . В частности, если - время, - координата точки, движущейся по прямой, то - мгновенная скорость точки в момент .

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .

 

 

y

N

l

 

M

 

x

 

MN - секущая к графику функции. При , угол стремится к некоторому пределу , а секущая, поворачиваясь вокруг точки M, становится касательной.

Уравнение касательной к графику функции:

.

Уравнение нормали, проведённой в той же точке:

.

Правила дифференцирования

Если и - дифференцируемые функции, то справедливы равенства

;

 

Производная сложной функции

Если функция имеет в точке производную , а функция имеет в точке производную , то сложная функция имеет производную в точке , причём

. (1)

Физическая интерпретация формулы (1): производная - скорость изменения по отношению к , производная - скорость изменения по отношению к . Очевидно, что скорость равна произведению скоростей и . (Если движется быстрее в раз, - быстрее в раз, то движется быстрее в раз).

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функции (2)

определены на некотором промежутке изменения переменной , которую назовём параметром. Пусть функция является строго монотонной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция , подставляя которую в уравнение получим . Таким образом, переменная является сложной функцией переменной . Задание функции с помощью уравнений (2) называется параметрическим. Если функции имеют производные, причём , то .

Дифференциалом функции в точке называется функция аргумента . Дифференциалом независимой переменной называется приращение этой переменной: . Таким образом, дифференциал функции в точке имеет вид

, (3)

откуда .

 

Геометрический и физический смысл дифференциала

y

N

P

dy

M

0 x

 

 

Рассмотрим график функции . МР- касательная к графику функции в точке М . Дифференциал равен приращению ординаты касательной.

Если - время, - координата точки на прямой в момент , то дифференциал равен тому изменению координаты, которое получила бы точка за время , если бы скорость точки на отрезке была постоянной и равной . Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что . Однако на малых промежутках времени изменение скорости незначительно и .

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть аргумент функции является функцией от , тогда дифференциал функции по-прежнему имеет вид (3), но теперь является не произвольным приращением аргумента , а дифференциалом функции , т.е. . Это свойство – сохранение формы и в том случае, когда называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Так как при малых , т.е. , то .

Эта формула позволяет находить приближённые значения при малых , если известны . При этом погрешность при такой замене при является бесконечно малой, более высокого порядка, чем .

Производные высших порядков

Если производная функции определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, то эта производная от называется второй производной и обозначается . Третья производная является производной от и т.д. Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле

.

Основные формулы вычисления n -х производных

1.

2. Формула Лейбница

, где

3.

4.

5. Если , то , или

Общая схема исследования функции

и построения её графика

I. Элементарное исследование.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на чётность/нечётность, периодичность.

3. Вычислить предельные значения функции в граничных точках области определения.

4. Выяснить существование асимптот.

5. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями.

6. Сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной.

1. Найти решения уравнений и выяснить, в каких точках производная не существует.

2. Точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия, определить вид экстремума.

3. Найти интервалы монотонности.

III. Исследование графика функции по второй производной.

1. Найти решения уравнения и выяснить, в каких точках производная не существует.

2. Точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия.

3. Вычислить значения функции в точках перегиба.

4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости.

IV. Построить график функции.

Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума).

Необходимое условие экстремума: если - точка экстремума, то .

Достаточное условие экстремума: точка является точкой экстремума, если её производная меняет знак при переходе через точку , с + на – при максимуме, с – на + при минимуме.

Точка называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба, то .

Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак.

Прямая называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точек кривой до асимптоты стремится к нулю при .

При этом

.

При имеем горизонтальную асимптоту .

Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой.

Примеры

1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

1) 2)

3) 4)

Решение:

1) есть сложная функция.

, где

Производная сложной функции имеет вид

или ,

следовательно,

2) - сложная функция.

, где , а ,

;

3) применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим

=

4) есть неявная функция, т.е. задана уравнением , не разрешенным относительно у. Для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от х и у:

2. Найти производную первого и второго порядка и для параметрически заданной функции .

Функция у от независимой переменной х задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от у по х определяется формулой

.

Находим производные от у и х по параметру t:

Находим производную второго порядка от y по х:

, или .

Находим

;

.

3. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = х² - 4х в точке, где х = 1.

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке М(х₀, у₀)

х₀ = 1,

 

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

Подставляя значения х₀, у₀, у'(х₀) в уравнение, получим

у+3 = -2(х-1) или 2х+у+1 = 0

Уравнение нормали -

или .

4. Найти дифференциалы функций:

1) 2)

вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1)

2) .

Полагая х = 0 и dx = 0,1, получим

5. Вычислить приближенное значение:

1) 2) .

Решение. Если требуется вычислить и если проще вычислить f(x₀) и , то при достаточно малой по абсолютному значению разности можно заменить приращение функции ее дифференциалом и тогда приближенное значение искомой величины вычисляется по формуле

1) Будем рассматривать как частное значение функции при x₁ =17. Пусть х₀ =16, тогда

Подставляя в формулу, получим

2) y= arctgx, x₁=0,98, x₀ = 1, dx=0,98-1=-0,02;

 

 

Получим

.

6. Исследовать и построить график функции

.

Решение:

1) заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси

;

2) функция нечетная, ибо у(-х) = -у(х), ее график будет симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно построить график для ;

3) график функции пересекается с осями координат только в начале координат, так как у(0) = 0;

4) исследуем функцию на наличие асимптот:

а) вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) невертикальная асимптота имеет уравнение у = kх + b.

=

0.

Таким образом, уравнение асимптоты - у = 0;

5) исследуем функцию на экстремум:

;

у' нигде не обращается в нуль; у не существует в точках х = ±1, которые являются критическими.

Исследуем знак производной на интервале [0;∞)

 

 

0 1

 

 

х = 1 есть точка максимума, ;

6) исследуем график функций на выпуклость и вогнутость:

в точке х = 0; у " не существует в точках х = ±1. Эти точки могут быть абциссами точек перегиба.

Исследуем знак второй производной на интервале [0;∞)

 

0 1 x

 

х = 1 не является точкой перегиба.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0;∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0)

 

 

 

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением, может быть, её самой), причём . Тогда если или , то при условии, что предел правой части данного равенства существует.

Примеры

1. Найти пределы

1) 2)

3)

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем правило Лопиталя:

1)

2)

 

(здесь правило Лопиталя применено дважды);

3) =

=