1. 
4. 
2. 
5. 
3. 
6. 
7. 
9. 
8. 
10. 
Нарушение ограничений, накладываемых на функцию при вычислении пределов, приводит к неопределённостям вида 
.
Элементарными приёмами раскрытия неопределённостей являются:
1) сокращение на множитель, создающий неопределённость;
2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при 
);
3) применение эквивалентных;
4) использование замечательных пределов.
Примеры. Найти пределы:
1. 
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на 
в старшей степени, т.е. на 
:
.
2. 
.
3. 
.
Таким образом,
если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0;
если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен 
;
если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
4. 
.
5. 
.
Последовательность 
ограниченная, а последовательность 
бесконечно малая, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя. Значит, 
по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную.
6. 
.
7. 
.
Ι способ. Здесь имеем неопределённость 
. Устраним неопределённость тождественным преобразованием – домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения.
.
II способ. Положим 
, тогда 
. Если 
, то 
.
.
8. 
.
9. 
.
Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители
.
10. 
.
Иногда полезно воспользоваться формулами тригонометрии:
11.
12. 
.
Заметим, что аналогично можно доказать:
;
.
13. 
.
Для раскрытия неопределённости используем метод замены бесконечно малых эквивалентными:
.
14. 
.
I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественным преобразованием с последующим использованием замечательных пределов и теоремы о пределе произведения:
.
II способ. Так как при 
,
то
.
15. 
.
I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественными преобразованиями с последующим использованием второго замечательного предела:
.
II способ. Используя тождество 
и непрерывность показательной функции, сведём неопределённость 
к неопределённости 
:
;
.
Таким образом, исходный предел равен 
.
Непрерывность функции
Определение. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она определена в точке 
и в некоторой окрестности точки и если 
.
Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции в точках 
и будет мала, если 
достаточно мало.
Определение. Если функция непрерывна в каждой точке интервала 
, то она непрерывна на этом интервале.
Если функция определена при 
и при этом 
, то говорят, что функция непрерывна в точке 
справа.
Если функция определена при 
и при этом 
, то говорят, что функция непрерывна в точке 
слева.
Если функция непрерывна на интервале , и непрерывна в точках 
соответственно справа и слева, то функция непрерывна на отрезке 
.
Если в точке для функции не выполняется какое-либо условие непрерывности, т.е. функция не определена в точке или не существует 
, или 
, то функция разрывна при 
. Точка называется точкой разрыва.
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.