[2], гл.1; [8], гл.2; [10]
При решении задач на эту тему необходимо знать определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, уметь вычислять и применять эти произведения. Скалярным произведением векторов 
и 
называется число
Зная координаты перемножаемых векторов
а = ах 
+ ay 
+ az 
=(ax;ay;az); = 
+ by + bz =(bx;by;bz), можно вычислить скалярное произведение a·b=axbx+ayby+azbz. Условием ортогональности (перпендикулярности) векторов а и b является равенство нулю их скалярного произведения 
Векторным произведением вектора 
на вектор называется вектор 
, который
1) перпендикулярен векторам и ,
2) образует с ними правую тройку , , 
и
3) длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и В, как на сторонах, т.е. 
Если известны координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение 
вычисляется по формуле:
Смешанное произведение векторов 
есть скалярное произведение вектора на векторное произведение 
и 
и вычисляется по формуле:
Абсолютная величина смешанного произведения векторов 
равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Если 
-правая тройка векторов, то 
, если левая, то 
; 
– условие компланарности трех векторов 
Пример 4. На векторах 
и 
построен треугольник ABC. Найти площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную на сторону ВС, если длины векторов 
равны соответственно 1 и 
, а угол, образованный векторами 
, равен 135°.
Решение: 1) Найдем площадь S треугольника ABC. Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения, то есть
Вычислим векторное произведение векторов 
. Для этого применим распределительное свойство векторного произведения:
30 
Векторное произведение вектора самого на себя равно нулевому вектору, следовательно 
; при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, значит 
. Отсюда,
30 
Находим модуль полученного вектора
Следовательно, 
2) Найдем сторону ВС треугольника АВС, то есть длину вектора 
. Согласно правилу треугольника сложения векторов, 
, откуда
Найдем длину полученного вектора по формуле: 
Над корнем стоит скалярное произведение вектора 
самого на себя. Найдем его
С учетом того, что 
, 
, 
, получаем
3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС. По формуле площади треугольника имеем 
откуда 
Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее: S = 26, ВС =13. Следовательно, 
4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии [2],гл.2,3; [8],гл.3,§1
Задачи на прямую и плоскость в пространстве рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также умен, переходить от одной формы уравнения к другой.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве, рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также уметь переходить от одной формы уравнения к
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,-2,3),M2(2,-1,0) и точку пересечения прямой 
с плоскостью xOy.
Решение: Найдём координаты точки М3(х,у,z) - точки пересечения заданной прямой с плоскостью хОу. Для этого от канонических уравнений прямой перейдем к параметрическим и, добавив уравнение плоскости хОу z =0, получим систему для определения координат искомой точки:
Из третьего и четвертого уравнений получим t = 2, тогда х = 7; у = 2; 2 = 0. Таким образом, М3(7,2,0) - точка пересечения, заданной прямой с плоскостью хОу.
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки М1,М2,М3, Если точка М (х,у,z) - текущая точка плоскости, то векторы 
и 
компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю: 
или в координатной форме
Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение искомой плоскости:
9(х-1)-15(у + 2)-2(z-3) = 0 или 9х-15у – 2z - 33 = 0.
Пример 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A(2;-1;1) и прямую 
Решение: Приведем общие уравнения прямой к каноническому виду 
где 
– направляющий вектор прямой, а 
– точка, лежащая на этой прямой. Так как прямая лежит в обеих данных плоскостях, в плоскости х - у + 22z + 1 = 0 и в плоскости 3х - у - 2 + 1 =0, то ее направляющий вектор 
перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей N1 = (1; -1;2) и N2= (3; -1; -1), поэтому можно выбрать
 |
Координаты точки
найдем из системы уравнений, задающих прямую 
. Выбирая одну из координат произвольно, например, положим 
получим, 
откуда 
Значит, 
канонические уравнения прямой имеют вид: 
Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку А.
Выберем произвольную точку искомой плоскости М(х,у,z), тогда три вектора 
компланарны, (см.рис.1), значит 
Т. о. уравнение искомой плоскости 11х + у – 20z -1=0.
