Неопределенный и определенный интегралы

Информация о дисциплине

Предисловие

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.

Целью математического образования является развитие навыков математического мышления, использование математических методов и основ математического моделирования.

Настоящее пособие предназначено в первую очередь для студентов первого курса; может быть использовано студентами второго и старших курсов, как повторение основ математики.

В первом семестре студенты изучают разделы курса высшей математики, содержащиеся в части I, и выполняют контрольные работы N I и N 2, а во втором семестре - разделы, содержащиеся в части II, и выполняют кош рольные работы N3 и N4.

Прежде чем выполнять контрольные работы, следует изучить теоретический материал по указанной литературе, выработать навыки решения примеров и задач по соответствующей теме, разобрать решения типовых задач, приведенных в данном комплексе. При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил:

Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради в клетку, с полями не менее 3 см для замечаний преподавателя.

На обложке тетради указывается фамилия, имя, отчество студента, шифр (номер студенческого билета), курс, факультет и специальность, по которой студент обучается, номер контрольной работы, год издания методических указаний, из которых взято контрольное задание.

Условия задачи переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится подробное решение со ссылками на использованные при решении определения, теоремы, формулы; в конце решения записывается ответ; чертежи можно выполнять аккуратно от руки.

В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по варианту. Контрольные задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и сдать работу с исправлениями на повторную проверку.

Вид учебной работы	—	Всего часов Форма обучения
Очная	Очно-заочная	Заочная
Общая трудоемкость дисциплины
Работа под руководством преподавателя (включая ДОТ) В т.ч. аудиторные занятия: лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студента
Промежуточный контроль
Контрольная работа
Вид итогового контроля	1 семестр - экзамен.
2 семестр - экзамен

Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются, все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.

 

Рабочие учебные материалы

Рабочая программа

(объем дисциплины 255 часов)

Математика, I семестр

(объем дисциплины 135 часов)

2.1.1. Основы линейной алгебры (25 часов) [1]

Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. В1лчислепие определителя разложением по строке (столбцу).

Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы.

Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Системы n-линейных уравнений с n-неизвестными.

2.1.2. Основы векторной алгебры (8 часов) [1],[2]

Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.

Пространства R² и R³. Векторы. Линейные операции над векторами.

Проекции вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диаграмма сил, моментов сил, электрических токов, напряжений и т.п.). Координаты центра масс системы точек.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: момент силы; сила, действующая на проводник с током в магнитном поле; скорость точки вращающегося тела; направление распространения электромашинных волн; понятие о явлении гироскопии.

Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл определителя третьего порядка.

2.1.3. Аналитическая геометрия (40 часов) [2]

Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Угол между прямыми.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых (использование фокальных свойств, математические модели формообразования биологических, технических и других объектов).

Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их форм методом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных свойств, модели строительных конструкций, физические модели элементов и т.д.).

Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда.

Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.

Пространство К". Линейные операции над векторами. Различные нормы в л”. Скалярное произведение в Л".

Линейные и квадратичные формы в Л". Условие знакоопределенности квадратичной формы.

Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы. Примеры линейных операторов для моделирования различных процессов.

 

Введение в математический анализ

(62 часа) [3]

Элементы математической логики. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения.

Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Понятие кривой. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.

Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Стабилизация десятичных знаков у членов последовательности, имеющей предел. Существование предела монотонной ограниченной

последовательности.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Предел множественной функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций.

Бесконечно малые функции в точке, их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Символы О и о.

Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Метод бисекции.

Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации.

Производная функции, ее смысл в различных задачах. Уравнение касательной к кривой в данной точке. Правила нахождения производной и дифференциала.

Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Математика, II семестр
(объем дисциплины 120 часов)

2.1.5. Дифференциальные исчисление функций одной переменной (36 часов) [3]

Точки экстремума. Теорема Ферма.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

Правило Лопиталя.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора.

Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие, достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

Исследование выпуклое и функции. Точки перегиба.

Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента.

2.1.6. Элементы высшей алгебры (14 часов) [3]

Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел.

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Разложение рациональных дробей на простейшие.

Неопределенный и определенный интегралы

(38 часов) [3]

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства.

Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определённого интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и неограниченных функций, их свойства.

Векторные функции действительного переменного, их дифференцирование.

Комплексные функции действительного переменного, дифференцирование.

2.1.8. Функции нескольких переменных (32 часа) [3]

Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормальная к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Неявные функции. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применения при поиске оптимальных решений.

Тематический план дисциплины (I курс)

Заочная форма обучения

№ п/п	Название раздела, темы	Кол-во часов дневной форме обучение	Лекций	Практика	Самостоятельная работа	Тестовые задания	Задания на контрольные работы
Аудит.	ДОТ	Аудит.	ДОТ
	Основы линейной алгебры
1.1	Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Определители высших порядков. Основные свойства определителей.							№1 №2
1.2	Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера							№3 №4
1.3	Матрицы и их применение к решению сисстем линейных уравнений Обратная матрица.							№5 №6	1-я задача 1-ой к.р.
	Основы векторной алгебры. Вектор. Линейные операции нал векторами Скалярное произведение векторов Смешанное произведение векторов. Векторное произведение векторов.							№7 №8	2-я задача 1-ой к.р.
	Аналитическая геометрия
3.1	Системы координат.							№9 №10
3.2	Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости.
3.3	Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Угол между плоскостями.							№11 №12	3-я задача 1-ой к.р.
3.4	Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.							№13	4-я задача 1-ой к.р.
3.5	Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Конус второго порядка. Эллиптический параболоид Циллиндры второго порядка.							№14 №15	5-я задача 1-ой к.р.
4.	Введение в математический анализ.
4.1	Функции и способы её задания. Элементарные функции.							№16
4.2	Определение предела последовательности. Определение предела функции; простейшие свойства пределов;							№17
4.3	Способы вычисления пределов. Сравнение бесконечно малых.							№18 №19	1-я задача 2-ой к.р.
4.4	Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции.							№20	2-я задача 2-ой к.р.
4.5	Производная функции. Производная суммы, произведения и частного функции.							№21 №22	3-я задача 2-ой к.р.
4.6	Дифференцирование сложной функции. Таблица производных. Дифференцирование функций заданных параметрически.								4,5-я задача 2-ой к.р.
5.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
5.1	Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталля.								1-я задача 3-ой к.р.
5.2	Применение производной для исследования функций. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функций.								2-я задача 3-ой к.р.
6.	Элементы высшей алгебры.
6.1	Комплексные числа действия над ними.							№23 №24
6.2	Многочлены. Основная терема алгебры.
7.	Неопределённый и определённый интегралы.
7.1	Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Использование таблиц интегралов для непосредственного интегрирования.							№25	3-я задача 3-ой к.р.
7.2	Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям.							№26 №27	4-я задача 3-ой к.р.
7.3	Определённый интеграл, его свойства и приложения. Формула Ньютона-Лейбница.							№28 №29	5-я задача 3-ой к.р.
7.4	Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их свойств.								1.2-я задача 4-ой к.р.
8.	Функция нескольких переменных
8.1	Функция нескольких переменных. Область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцирование неявных функций.							№30 №31№32	3.4-я задача 4-ой к.р.
8.2	Экстремумы функций нескольких переменных.								5-я задача 4-ой к.р.

 

Дневная форма обучения

№ п/п	Название раздела, темы	Кол-во часов дневной форме обучение	Лекций	Практика	Самостоятельная работа	Тестовые задания
Аудит.	ДОТ	Аудит.	ДОТ
	Основы линейной алгебры
1.1	Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Определители высших порядков. Основные свойства определителей.							№1 №2
1.2	Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера							№3 №4
1.3	Матрицы и их применение к решению сисстем линейных уравнений Обратная матрица.							№5 №6
	Основы векторной алгебры. Вектор. Линейные операции нал векторами Скалярное произведение векторов Смешанное произведение векторов. Векторное произведение векторов.							№7 №8
	Аналитическая геометрия
3.1	Системы координат.							№9 №10
3.2	Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости.
3.3	Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Угол между плоскостями.							№11 №12
3.4	Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.							№13
3.5	Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Конус второго порядка. Эллиптический параболоид Циллиндры второго порядка.							№14 №15
4.	Введение в математический анализ.
4.1	Функции и способы её задания. Элементарные функции.							№16
4.2	Определение предела последовательности. Определение предела функции; простейшие свойства пределов;							№17
4.3	Способы вычисления пределов. Сравнение бесконечно малых.							№18 №19
4.4	Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции.							№20
4.5	Производная функции. Производная суммы, произведения и частного функции.							№21 №22
4.6	Дифференцирование сложной функции. Таблица производных. Дифференцирование функций заданных параметрически.
5.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
5.1	Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталля.
5.2	Применение производной для исследования функций. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функций.
6.	Элементы высшей алгебры.
6.1	Комплексные числа действия над ними.							№23 №24
6.2	Многочлены. Основная терема алгебры.
7.	Неопределённый и определённый интегралы.
7.1	Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Использование таблиц интегралов для непосредственного интегрирования.							№25
7.2	Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям.							№26 №27
7.3	Определённый интеграл, его свойства и приложения. Формула Ньютона-Лейбница.							№28 №29
7.4	Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их свойств.
8.	Функция нескольких переменных
8.1	Функция нескольких переменных. Область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцирование неявных функций.							№30 №31№32
8.2	Экстремумы функций нескольких переменных.