Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћинейные дифференциальные уравнени€ произвольного пор€дка




 

4.1 Ћинейное однородное дифференциальное уравнение

 

І Ћинейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид

,

где коэффициенты а k €вл€ютс€ непрерывными функци€ми от х (в частности они могут быть посто€нными или нул€ми). ѕолага€ коэффициент а 0(х) не равным нулю в некотором интервале , мы можем разделить уравнение на него и получим

. (1)

¬ дальнейшем говор€ о линейном однородном уравнении мы будем подразумевать, что оно приведено к виду (1) с коэффициентом при старшей производной равным единице.

І ƒл€ уравнени€ (1) справедливы следующие теоремы:

“ е о р е м а 1. ≈сли у1 и у2 суть два (частных) решени€ уравнени€ (1), то у1 + у2

есть также решение этого уравнени€.

“ е о р е м а 2. ≈сли у1 есть решение уравнени€ (1), то — у1 есть также решение этого уравнени€ (— Ц люба€ посто€нна€).

 

—ледствие. ≈сли у1, у2,Е,уп суть частные решени€ линейного однородного уравнени€ п Ц гопор€дка, то выражение есть решение.

І ¬опрос о том, каким услови€м должны удовлетвор€ть частные решени€, чтобы это

выражение €вл€лось общим решением однородного уравнени€, разрешаетс€ в св€зи с пон€тием линейной зависимости функций. ‘ункции определенные в интервале (а,b), называютс€ линейно зависимыми в этом интервале, если существуют посто€нные , не все равные нулю, такие, что дл€ всех значений х в рассматриваемом интервале выполн€етс€ тождественно соотношение:

≈сли не существует таких посто€нных , чтобы это равенство имело место дл€ всех рассматриваемых значений х (причем предполагаетс€, что не все равны нулю), то функции называютс€ линейно независимыми (в данном интервале). ¬ последующем мы часто будем иметь дело с интервалом .

І ѕусть мы имеем п функций от х, имеющих непрерывные производные до

(п Ц 1)-го пор€дка:

.

ќпределитель

называетс€ определителем ¬ронского этих функций.

 

“ е о р е м а 3. ≈сли функции у1, у2, Е, уп линейно зависимы, то определитель

¬ронского тождественно равен нулю.

 

“ е о р е м а 4. ≈сли решени€ у1, у2, Е, уп линейно независимы [в интервале

], то не обращаетс€ в нуль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

 

“еоремы 3 и 4 можно объединить в следующей формулировке: определитель

¬ронского, составленный дл€ системы п решений линейного уравнени€ п-го пор€дка (1), или тождественно равен нулю, или не обращаетс€ в нуль ни в одной точке того интервала, где коэффициенты уравнени€ непрерывны.

Ћюба€ система из п линейно независимых частных решений линейного однород-

ного уравнени€ (1) называетс€ фундаментальной системой.

 

“ е о р е м а 5. ƒл€ вс€кого линейного однородного дифференциального уравнени€

существует фундаментальна€ система.

“ е о р е м а 6. ≈сли у1, у2, Е, уп образуют фундаментальную систему решений

уравнени€ , то общее решение даетс€ формулой:

.

 

ѕ р и м е р 13. ”равнение имеет, как легко проверить, два частных решени€: ƒл€ вы€снени€ вопроса об их линейной зависимости или независимости составл€ем определитель ¬ронского:

.

—ледовательно, и составл€ют фундаментальную систему, и общее решение напишетс€ так: .

 

“ е о р е м а 7. ≈сли мы имеем п + 1 частных решений уравнени€ (1)

у1, у2, Е, уп+1,

то между ними необходимо существует линейна€ зависимость.

 

“ е о р е м а 8. ‘ундаментальна€ система вполне определ€ет линейное

однородное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице.

 

–ешим теперь такую задачу:

ƒана фундаментальна€ система (в интервале ): у1, у2, Е, уп ; построить

соответствующее дифференциальное уравнение.

ƒл€ этой цели приравниваем нулю следующий определитель, в котором у обозна-

чает искомую функцию:

. (2)

–азлага€ его по элементам последнего столбца, мы убеждаемс€ в том, что равенство (2) представл€ет собой однородное дифференциальное уравнение п- го пор€дка относительно функции у. ѕри подстановке вместо у функций уi (i = 1, 2, Е, п) мы получаем определитель с двум€ равными столбцами. ќн тождественно равен нулю; следовательно, уравнение (2) допускает частные решени€ у1, у2, Е, уп.

 

ѕ р и м е р 14. ѕостроить уравнение, имеющее в качестве фундаментальной системы функции х, х 2, х 3. —троим уравнение по формуле (2):

.

–аскрыва€ определитель по элементам последнего столбца, получаем:

.

«десь и не обращаетс€ в нуль в интервалах и . ƒл€ этих интервалов имеем дифференциальное уравнение:

.

І ѕонижение пор€дка линейного однородного уравнени€

 

1. ƒл€ линейного однородного уравнени€ (1) справедлива формула ќстроградского Ц

Ћиувилл€:

.

ѕрименим ее к нахождению общего решени€ уравнени€ второго пор€дка:

,

у которого нам известно одно частное решение у 1.

ѕусть у есть любое решение этого уравнени€, отличное от у 1. —оставл€ем

и записываем его значение по формуле ќстроградского Ц Ћиувилл€:

.

–аскрыва€ определитель, имеем линейное уравнение первого пор€дка:

;

делим обе части на , находим:

,

откуда у определ€етс€ квадратурой:

.

ѕолученное решение содержит два произвольных посто€нных и, следовательно, €вл€етс€ общим.

»так, если известно одно частное решение линейного однородного уравнени€

второго пор€дка, общее решение находитс€ квадратурами.

ѕримечание. ѕри решении задач пользоватьс€ готовой квадратурой не рекоменду-

етс€. —ледует повторить ход решени€.

 

ѕ р и м е р 15. ѕроинтегрировать уравнение

Ћегко убедитьс€, что частным решением этого уравнени€ €вл€етс€ у 1 = х. ¬ нашем случае . ѕримен€ем формулу ќстроградского Ц Ћиувилл€:

.

“еперь раскрываем выражение ќткуда . ѕолучилось линейное уравнение первого пор€дка, интегриру€ которое, находим:

.

 

2. ѕонижение пор€дка в уравнении (1) при известном частном решении у 1(х) можно

произвести с помощью подстановки у = у 1 z, где z Ц нова€ неизвестна€ функци€.

¬ результате этой подстановки дл€ z получим оп€ть уравнение пор€дка п,

которое не будет содержать неизвестной функции z, и, как следует из раздела 3.1, подстановка понижает пор€док в уравнении дл€ и на единицу.

 

ѕ р и м е р 16. Ќайти общее решение уравнени€ .

Ћегко находим частное решение у 1 = х. ѕодстановка у = хz приводит к уравнению третьего пор€дка дл€ z: , которое легко интегрируетс€ последовательным понижением пор€дка, в результате чего находим

.

“ак как у = хz, то окончательно .

 

4.2 Ћинейное неоднородное дифференциальное уравнение

 

–ассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение вида:

. (3)

ќднородное линейное уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью,

равной нулю, называетс€ однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3).

 

“ е о р е м а 1. ≈сли известно какое-нибудь частное решение Y неоднородного уравнени€ (3), то общее его решение есть сумма этого частного решени€ и общего решени€ соответствующего однородного уравнени€, т.е. .

«десь фундаментальна€ система решений соответствующего однородного уравнени€.

 

ѕ р и м е р 17. Ќайти общее решение уравнени€ .

Ћегко видеть, что его частным решением будет у = 3 х. —оответствующее однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений: . ¬ силу вышеприведенной теоремы, общим решением исходного уравнени€ будет

 

.

 

“ е о р е м а 2. ≈сли известна фундаментальна€ система решений соответствую-

щего однородного уравнени€, то общее решение неоднородного уравнени€ может быть найдено при помощи квадратур (методом вариации произвольных посто€нных).

–ешение неоднородного уравнени€ (3) ищетс€ в виде:

,

где будут функци€ми независимого переменного х, которые определ€ютс€ из следующей системы уравнений:

. (4)

ѕ р и м е р 18. –ешить уравнение .

–еша€ однородное уравнение , получим: .

—ледовательно, фундаментальна€ система решений имеет вид

и .

—оставл€ем систему (4), учитыва€, что канонический вид уравнени€ есть , т.е. :

ќтсюда

и

и, следовательно, по формуле , окончательно находим:

.

ѕоследнее слагаемое в правой части есть не что иное, как частное решение исходного неоднородного уравнени€.

 

4.3 Ћинейные уравнени€ с посто€нными коэффициентами

 

4.3.1 Ћинейные однородные уравнени€

Ћинейное однородное дифференциальное уравнение с посто€нными

коэффициентами п -го пор€дка имеет вид

(1)

ќбщее решение этого уравнени€ определ€етс€ корн€ми характеристического уравнени€

где (2)

¬озможны следующие случаи:

І ¬се корни характеристического уравнени€ (2) действительны и различны. “огда общее решение линейного однородного дифференциального уравнени€ (1) имеет вид

.

І »меетс€ т равных действительных корней: другие корни действительны и различны. ¬ этом случае общее решение определ€етс€ формулой

І »меетс€ т равных комплексно сопр€женных корней: другие корни действительны и различны. ¬ этом случае общее решение имеет вид

где произвольные посто€нные.

І ¬ общем случае, когда имеютс€ r различных корней с кратност€ми , левую часть характеристического уравнени€ (2) можно представить в виде произведени€:

где ќбщее решение исходного уравнени€ даетс€ формулой

где произвольные посто€нные.

≈сли имеютс€ комплексно сопр€женные корни уравнени€ , то в указанном решении следует выделить действительную часть с учетом формулы:

 

ѕ р и м е р 19. –ешить уравнение .

≈го характеристическое уравнение имеет корни

. —ледовательно, фундаментальна€ система решений имеет вид: . “еперь записываем общее решение

.

ѕ р и м е р 20. –ешить уравнение .

≈го характеристическое уравнение имеет корни . —ледовательно, фундаментальна€ система решений имеет вид: и окончательно общее решение:

.

 

ѕ р и м е р 21. –ешить уравнение .

≈го характеристическое уравнение , которое можно переписать в виде имеет корни .

ќбщее решение:

.

 

4.3.2 Ћинейные неоднородные уравнени€

 

 огда найдено решение соответствующего однородного уравнени€, т.е. известна

его фундаментальна€ система решений, то решение неоднородного уравнени€ согласно теореме 2 (разд. 4.2) находитс€ в квадратурах.

≈сли права€ часть неоднородного уравнени€ принадлежит к одному из указанных в

нижеследующей таблице типов, то решение неоднородного уравнени€ с посто€нными коэффициентами может быть найдено вообще без интегрировани€ методом неопределенных коэффициентов.

¬ предлагаемой таблице перечислены типы правых частей уравнений и соответст-

вующие типы частных решений.

“јЅЋ»÷ј

¬ид частных решений неоднородного уравнени€ с посто€нными коэффициентами дл€ правой части специального вида

¬ид правой части  орни характеристического уравнени€ ¬ид частного решени€
  „исло 0 не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€
„исло 0 €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€ (кратности r)
( - действительное число) „исло не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€
„исло €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€ (кратности r)  
„исло не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€
„исло €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€ (кратности r)  
„исло не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€
„исло €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€ (кратности r)
ќбозначени€: и многочлены степени т и п с заданными коэффициентами; и многочлены степени т и v, коэффициенты которых определ€ютс€ в результате подстановки данного частного решени€ в исходное уравнение; v = max (m, n).

 

ѕ р и м е р 22. Ќайти частное решение неоднородного уравнени€ .

’арактеристическое уравнение имеет корни ѕрава€ часть уравнени€ , где а = 2 не совпадает ни с одним из корней. —ледовательно, . ƒифференциру€ Y два раза и подставл€€ производные в данное уравнение, приравн€в друг другу коэффициенты при первых степен€х х и свободные члены в левой и правой част€х полученного уравнени€, имеем и , откуда ј = 4/5 и ¬ = -28/25.

“аким образом, искомое частное решение .

 

ѕ р и м е р 23. Ќайти частное решение неоднородного уравнени€ . ’арактеристическое уравнение имеет двукратный корень ѕрава€ часть уравнени€ . «десь а = 1 совпадает с двукратным корнем и, следовательно, т = 2. “аким образом, частное решение нужно искать в виде . ѕовтор€€ процедуру, описанную в предыдущем примере, ј = 1/6, ¬ = 0. —ледовательно, частное решение имеет вид .

 

ѕ р и м е р 24. Ќайти частное решение неоднородного уравнени€ .

’арактеристическое уравнение имеет корни ѕрава€ часть уравнени€ имеет вид, указанный последним в левом столбце таблицы. —ледовательно, частное решение нужно искать в виде . ƒифференциру€ эту функцию два раза, подставл€€ в уравнение и приравнива€ коэффициенты в обеих част€х равенства при cos x, x cos x, sin x, x sin x получим четыре уравнени€: .

ќтсюда находим . ѕоэтому частное решение

.

 

ѕ р и м е р 25. “еперь рассмотрим пример с комбинированной правой частью:

.

ќбозначим и будем искать частное решение в виде , т.е. находим частное решение двух уравнений:

и .

’арактеристическое уравнение имеет корни . –ассматрива€ каждое из последних уравнений изложенными выше методами, получим ; . ќкончательно

.

≈сли права€ часть линейного уравнени€ с посто€нными коэффициентами не имеет вида, приведенного в таблице и не €вл€етс€ их линейной комбинацией, то дл€ нахождени€ частного решени€ следует применить метод вариации произвольных посто€нных.

 

¬ј–»јЌ“џ »Ќƒ»¬»ƒ”јЋ№Ќџ’ «јƒјЌ»…

ƒЋя —јћќ—“ќя“≈Ћ№Ќќ… –јЅќ“џ

 

ѕредлагаетс€ 25 вариантов индивидуальных заданий, включающих в себ€

различные дифференциальные уравнени€ и две задачи на составление дифференциальных уравнений.  аждый вариант состоит из 8 заданий. ≈сли в задании не указаны начальные услови€, то следует найти общее решение заданного уравнени€, а если к уравнению добавлены начальные услови€, то следует решить задачу  оши. ¬ седьмом и восьмом задании следует составить дифференциальное уравнение (исход€ из условий задачи) и решить его.

 

¬ариант 1

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ƒва одинаковых груза подвешены к кольцу пружины. Ќайти закон движени€ одного из грузов, если другой оборветс€. ƒано, что удлинение пружины под вли€нием одного из грузов равно а см.

8. Ќайти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс, если известно, что крива€ обращена выпуклостью к оси ординат.

 

¬ариант 2

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ѕоследовательно включены источники тока, напр€жение каждого мен€етс€ по закону , сопротивление R и самоиндукци€ L. Ќайти силу тока в цепи (установившийс€ режим).

8. Ќайти плоские кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали.

 

¬ариант 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых радиус кривизны равен нормали.

8. ћатериальна€ точка массы т движетс€ пр€молинейно к неподвижному центру, прит€гивающему ее силой, обратно пропорциональной кубу рассто€ни€ от точки до неподвижного центра. ¬ начальный момент точка находитс€ в покое и стоит от центра на рассто€нии х0. ќпределить врем€, по истечении которого точка достигает центра.

 

¬ариант 4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти линию, длина дуги которой, отсчитываема€ от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги.

8. ћатериальна€ точка массы т движетс€ пр€молинейно под действием силы прит€жени€ к неподвижному центру, пропорциональной рассто€нию от точки до центра (k 1 > 0). —ила сопротивлени€ среды пропорциональна скорости (k 2 > 0). ¬ начальный момент времени точка находитс€ на рассто€нии а от центра, скорость равна v 0 и направлена по пр€мой, соедин€ющей точку с центром. Ќайти закон движени€, если (k22 < 4 тk 1).

 

¬ариант 5

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых радиус кривизны есть данна€ функци€ угла , образуемого касательной осью ќх; .

8. “ело массы т движетс€ пр€молинейно под действием посто€нной силы F. Ќайти скорость движени€ тела и пройденный им путь, если в начальный момент времени они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

 

 

¬ариант 6

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс, если известно, что крива€ обращена выпуклостью к оси абсцисс.

8. √руз в – кг подвешен на пружине и отт€нул ее на а см. «атем пружина отт€гиваетс€ еще на ј см и отпускаетс€ без начальной скорости. Ќайти закон движени€ пружины, пренебрега€ сопротивлением среды.

 

 

¬ариант 7

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти интегральную кривую уравнени€ , касающуюс€ в начале координат пр€мой х + у =0.

8. Ёлектрическа€ цепь состоит из последовательно включенных источников посто€нного тока, дающего напр€жение U, сопротивлени€ R, самоиндукции L и выключател€, который включаетс€ при t = 0. Ќайти зависимость силы тока от времени (при t > 0).

 

¬ариант 8

1. ;

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые посто€нного радиуса кривизны.

8. Ќайти закон пр€молинейного движени€ материальной точка массы т под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу рассто€ни€ от точки до неподвижного центра. ¬ начальный момент точка находитс€ в покое и отстоит от центра на рассто€нии х 0.

 

 

¬ариант 9

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти линию, дл€ которой проекци€ радиуса кривизны на ось ќу есть величина посто€нна€, равна€ 7.

8. ћоторна€ лодка весом 300 кг движетс€ пр€молинейно с начальной скоростью

66 м/с. —опротивление воды пропорционально скорости и равно 10 кг при скорости 1 м/с. „ерез какое врем€ скорость лодки будет 8 м/с?

 

 

¬ариант 10

1.

2.

3.

4.

5.

6. ;

7. ѕри каких k и уравнение имеет хот€ бы одно периодическое решение?

8. ћатериальна€ точка массы т движетс€ пр€молинейно под действием силы отталкивани€ от неподвижного центра, пропорциональной рассто€нию от точки до центра (k 1 > 0). —ила сопротивлени€ среды пропорциональна скорости (k 2 > 0). ¬ начальный момент точка находитс€ на рассто€нии а от центра, скорость равна v 0 и направлена по пр€мой, соедин€ющей точку с центром. Ќайти закон движени€ точки.

 

¬ариант 11

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. —оставить дифференциальное уравнение семейства плоских кривых .

8. ÷епь длиной 6 м соскальзывает со стола. ¬ момент начала движени€ со стола свисал 1 м цепи. ¬ течении какого времени со стола соскользнет вс€ цепь (трением пренебрегаем).

 

¬ариант 12

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти интегральную кривую уравнени€ , проход€щую через точку (0, 1) и касающуюс€ в этой точке пр€мой х + у = 1 (почему получаетс€ одна интегральна€ крива€?).

8. „астица массы т движетс€ по оси ќх, отталкива€сь от точки х = 0 с силой 3 mr 0 и прит€гива€сь к точке х = 1 с силой 4 mr 1, где r 0 и r 1 Ц рассто€ние до этих точек. ќпределить движени€ частицы с начальными услови€ми х (0) = 2, v (0) = 0.

 

¬ариант 13

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти уравнение кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если крива€ вогнута вниз.

8. “ело массы т движетс€ пр€молинейно под действием посто€нной силы р. Ќайти скорость движени€ и пройденный им путь как функцию времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

¬ариант 14

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых проекции радиуса кривизны на ось посто€нны.

8. “€желое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Ќайти закон движени€, если угол наклона равен , а коэффициент трени€ .

”казание: сила трени€ равна , где N Ц сила реакции плоскости.

¬ариант 15

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ѕри каких а и b изо всех решений уравнени€ имеетс€ хот€ бы одно решение при ?

8. √руз массой 4 кг подвешен на пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Ќайти закон движени€ груза, если верхний конец пружины совершает гармоническое вертикальное колебание (см) и в начальный момент груз находилс€ в покое (сопротивлением среды пренебречь).

 

¬ариант 16

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти форму равновеси€ однородной нераст€жимой нити под действием силы т€жести (цепна€ лини€).

8. Ќайти закон движени€ тела, падающего без начальной скорости. ƒопуска€, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при величину 75 м/с.

 

¬ариант 17

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ќпределить формулу равновеси€ нераст€жимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного листа). ¬есом самой нити пренебречь.

8. ћатериальна€ точка медленно погружаетс€ в жидкость. Ќайти закон движени€, счита€, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружени€.

 

¬ариант 18

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти уравнени€ кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если крива€ вогнута вверх.

8. ћ€ч массой 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной скорости. —опротивление воздуха пропорционально скорости м€ча и равно 0,0048Ќ при скорости 1 м/с. ¬ычислить врем€ падени€ и скорость м€ча в конце падени€. ѕрин€ть g = 10 м/с2.

 

¬ариант 19

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше нормали.

8. Ѕалка длины l, встроенна€ правым концом в стену, изгибаетс€ силой р, приложенной к левому концу и равномерно распределенной нагрузкой q. Ќайти уравнение изогнутой балки и ее максимальный прогиб.

 

¬ариант 20

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ѕри каких а и b все решени€ уравнени€ при ?

8. ≈сли тело медленно погружаетс€ в воду, то его скорость v и ускорение w приближенно св€заны уравнением (q и k Ц const). ”становить закон движени€ тела, если при t = 0, S = 0, v = 0.

 

¬ариант 21

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален длине отрезка нормали. –ассмотреть случаи, когда коэффициент пропорциональности k равен + 1, + 2.

8. Ќайти скорость, с которой тело падает на поверхность «емли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение происходит только под вли€нием прит€жени€ «емли. –адиус «емли считать равным 6400 км.

 

¬ариант 22

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.

8. ћатериальна€ точка массы т отталкиваетс€ от центра ќ с силой, пропор-циональной рассто€нию. —опротивление среды пропорционально скорости движени€. Ќайти закон движени€.

 

¬ариант 23

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти уравнение кривой, касающейс€ оси абсцисс в начале координат, если ее кривизна в любой точке равна .

8. Ќайти закон движени€ тела, падающего в воздухе без начальной скорости, счита€ сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.

 

 

¬ариант 24

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали.

8. Ѕалка длины l, лежаща€ концами на двух опорах, находитс€ под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q. Ќайти уравнение прогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине нагруженной балки.

 

¬ариант 25

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Ќайти кривые, у которых радиус кривизны пропорционален модулю радиус-вектора из начала координат до точки кривой.

8. √руз массы т покоитс€ на упругой рессоре. Ќа груз действуют восстанав-ливающа€ сила пропорциональна€ отклонению жесткость рессоры) и сила сопротивлени€, направленна€ в сторону против движени€ и пропорциональна€ скорости движени€ амортизатор). «аписать уравнение движени€.

 

—писок литературы

 

1. ≈горов ј.». ќбыкновенные дифференциальные уравнени€ с приложени€ми. Ц ‘изматлит, 2005.

2. ‘едорюк ћ.¬. ќбыкновенные дифференциальные уравнени€. »здание 3 Ц URSS: 2009.

3. «адачи и упражнени€ по математическому анализу дл€ ¬“”«ов под редакцией Ѕ.ѕ. ƒемидовича. Ц ћ: Ђ»нтеграл Ц прессї, 1997.

4. Ѕабиков ё.Ќ.  урс обыкновенных дифференциальных уравнений. Ц ћ: Ђ¬ысша€ школаї, 1991.

5. ‘илиппов ј.‘. —борник задач по дифференциальным уравнени€м. Ц »жевск: Ђ–’ƒї, 2000.

6. “ихонов ј.Ќ., ¬асильева ј.Ѕ., —вешников ј.√. ƒифференциальные уравнени€. Ц ћ:Ќаука, 1980.

7. јрнольд ¬.». ќбыкновенные дифференциальные уравнени€. Ц Ђ–егул€рна€ и хаотическа€ динамикаї, 2000.

 

”чебное издание

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2017-02-28; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1644 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

1693 - | 1456 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.38 с.