1. Найти область определения функций:
а) u = 
;
б) u = arcsin (x + y);
в) u = y + 
.
2. Найти частные производные для функций:
а) u = x2 + 2y2 – 3xy 
;
б) u = 
;
в) z = 
;
г) u = 
+ 
;
д) z = arctg 
.
3. Найти полный дифференциал функции z = arctg 
.
4. Найти 
, если z = 
, x = a cos t, y = a sin t.
5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
z = x2 – 2xy+ y2− x + 2y в точке М (1; 1; 1).
6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала 
.
7. Выбрать правильный ответ.
Градиент функции z =x2 + 3y2 в точке А(1;1) равен:
а) {1;6};
б) 9;
в) {1;8};
г) {−1;8}.
8. Найти экстремум функции z = x2+ xy+ y2 
3x 6y.
9. Выбрать правильный ответ.
Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:
а) zнаим = 5; zнаиб = 11;
б) zнаим = 3; zнаиб = 5;
в) zнаим =5; zнаиб = 13;
г) zнаим = −3; zнаиб = 4.
Ответы
I. Элементы векторной алгебры
1. −42.
2. { 
3. в).
4. б); в); г).
5. а); б).
6.а).
7. 
.
8. 
9. 
.
10. 
.
11. 4.
12. в).
13. в).
14. в).
15. с = − 6а + 4b.
16. а).
II. Элементы линейной алгебры
1. в).
2. б).
3. а), б), в), г).
4. б).
5. г).
6. 12.
7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.
8. а3; б2; в1.
9. Cистема совместна.
10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.
11. 
.
12. 
.
13. 2.
14. 
.
15. 
16. г).
III. Аналитическая геометрия
1. а3; б4; в2; г1.
2. а) перпендикулярны; б) пересекаются; в) пересекаются; г) пер-пендикулярны; д) параллельны.
3. {− 4; 
4. а) общее; б) канонические; в) параметрические; г) с угловым коэффициентом; д) нормальное; е) в отрезках.
5. 49.
6. {4; 2; −11}.
7. 16x – 6y – z = 0.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. а) параболоид эллиптический; б) гиперболоид однополостный;
в) эллипсоид; г) цилиндр эллиптический; д) параболоид гиперболи-ческий; е) цилиндр параболический; ж) гиперболоид двуполостный.
12. а) правая ветвь параболы; б) нижняя ветвь гиперболы;
в) нижняя ветвь параболы; г) левая половина эллипса.
13. y2 = 4x.
14. а) 3; 4; F1(− 5; 0); F2(5; 0); ε = 
; б) 5; 3; F1(− 4; 0); F2(4; 0); ε = 
.
15. а) эллипс; б) парабола; в) гипербола; г) прямая.
IV. Введение в анализ
1. а1; б3; в4; г2.
2. а) [ 2;0) 
(0;2]; б) [0;4]; в)(−∞;0) 
г) (
; 
).
3. а) 2; б) 
; г) 
; в) 0; д) 
; е) 8; ж) 2; з) e8.
4. а); в).
5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрыва II рода;
в) x = 4 – точка разрыва II рода.
6. а); г).
7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.
8. а) 
; б) 3; в) ; г) 
.
V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. а) 24x 
; б) 
sin 2x; в) arcsin (ln x) + 
;
г) 2x e−2x(1 
x); д) 
ln3 2x ln2;
е) 
; ж) xsin x 
; з) 2xlnx−1lnx;
и) 
; к) 1,5 ctg t; л) 
;
м) 
; н) 
;
2. а7; б5; в9; г8; д10; е1; ж3; з6; и2; к4.
3. б).
4. а).
5. а) 
; б) 
dx.
6. а) 4,9; б) 0,02.
7. а) 
y = 4e2x dx2; б) dy2 = − 
dx2.
8. 
; 
.
9. а) 1; б) 9; в) ; г) 2.
10. а) sin 
; б) 
.
VI. Исследование функций и построение графиков
1. а4; б1; в3; г2.
2. y = 
.
3. а); б); д).
4. а).
5. г).
6. а); в).
7. (0; 2).
8. в точке х = 4, ymin = − e4.
9. Наименьшее y = −18, наибольшее y = 2.
10. 
.
VII. Комплексные числа
1. а2; б3; в1.
2. б).
3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.
4. 215.
VIII. Интегральное исчисление функций одной переменной
1. а6; б5; в9; г7; д3; е1; ж10; з2; и12; к8; л4; м11; н13.
2.
а)  arctg  + C;
| и)  C;
|
б)  + C;
| к)  + C;
|
в)   + C;
| л)  x -  sin 4x + C;
|
г) −   + C;
| м) 2 ln  +  + C;
|
д) – 3cos  + C;
| н)  ;
|
| е) – x cos x +sin x + C; | о)  ;
|
ж)  + C;
| п) 0; |
з) − 3  + 13 arcsin (x 3) + C;
| р)  −1.
|
3. Подынтегральная функция – нечетная.
4. а); б); г); д); е).
5. 
.
6. а) сходится, 1; б) сходится, ; в) расходится; г) сходится, .
7. 
.
8. 
(2 
9. 0,3 (куб.ед.)
10. 0 ≤ 
.
IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. а) x2 + y2 ≥ 1 – часть плоскости вне единичного круга:
б) полоса между параллельными прямыми x + y ≤ 1 и x + y≥ − 1;
в) полуплоскость x ≥ 0.
2. а) 
= 2x – 3y − 4; 
= 4y − 3x + 2.
б) 
= 
− 
= 
.
в) 
= 
3x2y + y3; 
= (x3+ 3xy2).
г) 
= 
; = − 
+ 
; 
= − 
.
д) 
= 
; 
= 
.
3. dz = 
.
4. 0.
5. Касательная плоскость x − 2y + z = 0; нормаль 
.
6. 3,02.
7. в).
8. zmin = − 9.
9. а).
Список литературы
1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – CПб.: Профессия, 2006.
2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1977.
3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М.: Мир и образование, 2007.
4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб.: Профессия, 2005.
5. Сборник задач по высшей математике. 1–й курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004.
7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1986.
Задания по математике
в тестовой форме
для организации самостоятельной работы
Учебно-методическое пособие
Часть 1
Составитель Смирнова Наталья Анатольевна
В редакции составителя
Корректор Н. К. Швиндт
