Вектор және векторларға қолданылатын сызықтық амалдар.

Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді ( = , , а).

векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді.

Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.

Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады.

және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:

 

және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда

векторы алынатын = - векторын айтады.

 

 

векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады:

 

.

 

A

y2   y1

0 x1x2 x

B

Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын және . Сонда векторын координаталары арқылы былай жазуға болады:

 

=

 

векторының басы координаталар басымен беттесетіндей етіп өз-өзіне параллель көшірсек, онда векторының координатасы вектордың соңының координаталарымен бірдей болатынын аңғару қиын емес.

Жазықтықта вектордың координатасын екі сан анықтаса, айталық , кеңістікте үш сан анытайды, .

a 2 y

a1 x

z   a3

a 1 x

a2

y

 

Вектордың ұзындығы оның координаталарының квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең:

 

.

 

және векторлары координаталарымен берілген болса олардың қосындысы мынадай түрде анықталады:

 

 

Ал векторын санға көбейту мынадай түрде анықталады:

Ал және векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:

Енді векторлық кеңістік ұғымына көшейік. Элементтері x, y, z, … болатын қандай да бір R жиын қарастырайық. Осы жиынның кез келген x және y элементтері үшін қосу x + y амалы мен қандай да бір х элементі және нақты сан үшін көбейту х амалы орындалсын.

Анықтама. R жиынның элементтерін қосу және элементін нақты санға көбейту амалдары төмендегідей шарттарды қанағаттандырса, R жиын векторлық (сызықтық) кеңістік деп, ал элементтерін векторлар деп атайды:

1. x+y=y+x;

2. (x+y)+z=x+(y+z);

3. Кез келген x R үшін 0 R (нол-элемент) табылады да, мынадай қатынас орындалады: x+0=x;

4. Кез келген x Rүшін -х R (қарама-қарсы элемент)табылады да, мынадай қатынас орындалады: x+(-x)= 0;

5. x=x;

6. ( x)=( )x;

7. (x+y)= x+ y

8. ( + )x= x+ x.

x және y векторларының айырмасы деп х векторы мен –1у векторларының қосындысын айтамыз:

 

x-y=x+(-1)y

Векторлық кеңістіктің анықтамасынан кез келген х векторды 0 нақты санына көбейткенде пайда болатын жалғыз 0 - ноль вектордың бар болатындығы; әрбір х вектор үшін осы векторды (-1) санына көбейткенде пайда болатын жалғыз қарама-қарсы (–х) вектордың бар болатындығы шығады.