для бакалавров – заочников инженерного факультета

Кафедра бизнес-информатики и прикладной математики

Л. Б. Винникова

 

МАТЕМАТИКА

 

МАТЕМАТИКА

ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

для бакалавров – заочников инженерного факультета

направление подготовки 13.03.02.«Электроэнергетика и электротехника»

профиль: «Электроснабжение»

 

 

Рязань 2015

 

 

Учебно-практическое пособие обсуждено на заседании кафедры бизнес-информатики и прикладной математики Рязанского государственного агротехнологического университета и рекомендовано к опубликованию «_25___» ___11______ 2015 г. Протокол № 4б

Зав. кафедрой бизнес-информатики и прикладной математики, д.э.н., профессор И.Г.Шашкова

 

Учебно – практическое пособие утверждено методической комиссией инженерного факультета Рязанского государственного агротехнологического университета

«_25__» ____11____2015 г. Протокол №_4_

 

Председатель учебно-методической комиссии

инженерного факультета Д.О. Олейник

 

 

Методические указания по выполнению контрольных работ по математике для бакалавров-заочников инженерного факультета./Л. Б. Винникова, Рязань: Издательство ФГБОУ ВО РГАТУ, 2015.- 102 с.

 

Учебно – практическое пособие предназначено для студентов – заочников первого курса инженерного факультета по направлению подготовки 13.03.02.«Электроэнергетика и электротехника». Пособие содержит программу дисциплины «Высшая математика», список рекомендуемой литературы, 10 вариантов заданий контрольных работ. Даны примеры выполнения всех заданий контрольных работ, методические рекомендации по оформлению и выполнению контрольных работ.

 

Рецензенты: Е. И. Троицкий, к. ф.-м. н.,доцент кафедры бизнес- информатики и прикладной математики

А. Н. Бачурин, к.т.н., доцент кафедры ЭМТП

 

 

СОДЕРЖАНИЕ.

 

Общие методические указания.	стр. 4
Рабочая программа курса высшей математики	стр. 5
Задания контрольных работ
Контрольная работа 1	стр. 12
Контрольная работа 2	стр. 19
Решения типовых примеров	стр. 34
Приложения	стр. 95
Список литературы	стр. 101

 

 

Общие методические указания.

 

Пособие рассчитано на студентов заочной формы обучения, но может быть использовано в качестве дополнительного учебно-методического пособия и студентами, обучающимися на очном отделени. При этом считается, что наиболее эффективным способом изучения курса высшей математики является самостоятельная работа студента: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникнут трудности, то он может обратиться за консультацией к преподавателю кафедры высшей математики.

С целью упорядочения изучения курса и для систематической и своевременной проверки (и самопроверки) качества усвоения материала студент обязан выполнить 2 контрольные работы. После рецензирования студент может забрать свои работы для изучения замечаний и подготовки к экзамену.

 

 

Каждый студент выполняет тот вариант контрольных работ, который соответствует его учебному шифру в соответствии с таблицей (информацию о номере своего варианта можно получить у методиста или преподавателя).

Номер варианта	Номера задач для контрольных работ
Работа №1
	1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101
	2,12,22,32,42,52,62,72,82,92,102
	3,13,23,33,43,53,63,73,83,93,103
	4,14,24,34,44,54,64,74,84,94,104
	5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,105
	6,16,26,36,46,56,66,76,86,96,106
	7,17,27,37,47,57,67,77,87,97,107
	8,18,28,38,48,58,68,78,88,98,108
	9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,109
	10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110
	Работа №2
	111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,211,221,231,241,251,261
	112,122,132,142,152,162,172,182,192,202,212,222,232,242,252,262,
	113,123,133,143,153,163,173,183,193,203,213,223,233,243,253,263,
	114,124,134,144,154,164,174,184,194,204,214,224,234,244,254,264,
	115,125,135,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,245,255,265
	116,126,136,146,156,166,176,186,196,206,216,226,236,246,256,266
	117,127,137,147,157,167,177,187,197,207,217,227,237,247,257,267
	118,128,138,148,158,168,178,188,198,208,218,228,238,248,258,268
	119,129,139,149,159,169,179,189,199,209,219,229,239,249,259,269
	120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270

 

 

Рабочая программа курса высшей математики.

Рабочая программа составлена с учетом требований федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) третьего поколения по направлению подготовки 110800 «Агроинженерия» (квалификация «бакалавр»).

Рабочая программа разбита на темы, которые, в свою очередь, разбиты на отдельные вопросы. Эти вопросы являются теоретическим вопросами экзаменационных билетов.

Содержание программы.

I курс.

Тема №1. Определители. Матрицы и их применение к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

1. Определение определителя произвольного прядка. Миноры, алгебраические дополнения.

2. Свойства определителей, их применение к практическому вычислению определителей.

3. Определение матрицы, действия с матрицами: сложение, умножение на число, умножение двух матриц, вычисление обратной матрицы.

4. Матричная запись СЛАУ. Матричный метод и метод Крамера решения СЛАУ.

5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.

6. Метод Гаусса решения СЛАУ, различные случаи (на примерах). Теорема Кронекера-Капелли. Исследование однородных систем.

 

 

Тема №2. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

7. Определение вектора, длина вектора, нуль-вектор. Линейные операции над векторами. Коллинеарность двух векторов.

8. Линейная зависимость и независимость векторов. Иллюстрация этих понятий на примере векторов на плоскости и в пространстве.

9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

10. Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение в координатной форме.

11. Смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

12. Различные уравнения плоскости в пространстве: с опорной точкой и вектором нормали, через три точки, общее и его частные случаи, в отрезках на осях.

13. Расстояние от точки до плоскости.

14. Взаимное расположение двух плоскостей: угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

15. Различные уравнения прямой линии в пространстве: с опорной точкой и направляющим вектором, параметрические, канонические, через две точки.

16. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

17. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

18. Различные уравнения прямой линии на плоскости (изложение рекомендуется проводить с использованием результатов выводов уравнений прямой в пространстве и плоскости в пространстве): с опорной точкой и направляющим вектором, через две точки, с угловым коэффициентом, с опорной точкой и вектором нормали, общее уравнение и его частные случаи, в отрезках на осях. Расстояние от точки до прямой.

19. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между двумя прямыми (вычисление различными способами), условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

20. Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса. Эксцентриситет, директрисы.

21. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет, директрисы, асимптоты.

22. Каноническое уравнение параболы.

23. Полярные координаты на плоскости, связь декартовых и полярных координат точки.

24. Цилиндрические и сферические координаты; связь с декартовыми.

 

 

Тема №3. Предел функции.

25. Понятие предела в функции в точке. Бесконечно малая функции, теорема о замене б. малой функции, ей эквивалентной. Свойства пределов.

26. Раскрытие неопределенностей от алгебраических функций.

27. Первый замечательный предел (вывод), следствия из него (цепочка эквивалентностей).

28. Второй замечательный предел и следствия из него. Натуральные логарифмы. Экспонента.

29. Непрерывность функции в точке, различные определения. Односторонние пределы.

30. Классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты.

 

Тема №4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

31. Определение производной функции. Физический, геометрический и экономический смысл производной. Эластичность функций.

32. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

33. Дифференциал функции, геометрический смысл.

34. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций.

 

Тема №5. Приложения дифференциального исчисления.

35. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лягранжа.

36. Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена для функций е ^х, sin x, cos x, (1+ х) ^α.

37. Исследование функций с помощью первой производной – условия постоянства, монотонности.

38. Экстремум функций. Необходимые условия экстремума. Два достаточных условия экстремума.

39. Исследование функции с помощью второй производной – выпуклость, вогнутость, перегиб.

40. Наклонные асимптоты графика функции.

 

Тема №6. Неопределенный интеграл.

41. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Интегрирование заменой переменной.

43. Интегрирование по частям.

44. Классы интегрируемых функций. Интегрирование простейших дробей.

45. Интегрирование простейших иррациональностей.

46. Интегрирование тригонометрических функций. Тригонометрические подстановки.

 

Тема №7. Определенный интеграл.

47. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.

48. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

49. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

50. Несобственные интегралы I рода – определение, вычисление, признаки сходимости.

 

 

Тема №8. Функции нескольких переменных (ФНП).

51. Определение ФНП. Геометрическое изображение функций двух переменных. Линия уровня. Примеры. Частные и полные приращения ФНП. Частные производные, полный дифференциал ФНП.

52. Экстремум ФНП – определение, необходимые условия, достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутом множестве.

53. Производная по направлению. Градиент. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

 

Тема №9. Кратные интегралы.

54. Задача о вычислении объема тела, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.

55. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла.

56. Замена переменных в двойном интеграле, якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.

57. Задача о вычислении массы тела, приводящая к понятию тройного интеграла. Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.

58. Вычисление тройного интеграла.

59. Замена переменных в тройном интеграле, якобиан. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

60. Приложения кратных интегралов.

 

 

Тема №10. Комплексные числа.

61. Расширенное понятие о числе. Мнимые и действительные числа.

62. Комплексные числа, действия с ними. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

63. Геометрическое изображение комплексных чисел в декартовой системе координат. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

64. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

65. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формулы Муавра.

66. Элементарные функции комплексного переменного.

 

 

Тема №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ).

67. Основные понятия ДУ: частное и общее решения, геометрический смысл решения ДУ I порядка, метод изоклин.

68. ДУ с разделяющимися переменными.

69. Однородные ДУ I порядка.

70. Линейные ДУ (ЛДУ) I порядка – два метода решения. ДУ Бернулли.

71. ДУ в полных дифференциалах.

72. ЛДУ высших порядков, основные свойства. Линейная зависимость и независимость решений ЛОДУ, определитель Вронского, общее решение ЛОДУ.

73. ЛОДУ с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение. Структура общего решения ЛОДУ в различных случаях корней характеристического уравнения.

74. Линейные неоднородные ДУ (ЛНДУ), структура общего решения, теорема о наложении решений. Подбор решений ЛНДУ по виду правой части.

 

 

Тема №12. Числовые и степенные ряды.

75. Числовой ряд – определение, частичные суммы, сумма ряда. Простейшие свойства сходящихся числовых рядов.

76. Необходимый признак сходимости ряда.

77. Признак Даламбера.

78. Интегральный признак сходимости рядов. Эталонный ряд .

79. Предельный признак сравнения рядов.

80. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница, её применение к оценке остатка ряда.

81. Функциональный ряд, область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

82. Единственность разложения функций в степенной ряд. Ряды Тейлора (Маклорена). Разложение в ряд Маклорена функций е ^х, sin x,cos x, .

 

 

Тема №13. Теория вероятностей.

83. Основные понятия теории вероятностей: случайное событие, пространство элементарных событий. Алгебра событий. Диаграммы Эйлера-Венна.

84. Вероятность случайного события. Аксиомы вероятностей, следствия из них, теорема сложения.

85. Примеры вероятных пространств – геометрические вероятности и классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики.

86. Теорема умножения вероятностей.

87. Формула полной вероятности и формула Байеса.

88. Повторные испытания, формула Бернулли. Асимптотические формулы для формулы Бернулли: локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Лапласа, формула Пуассона.

89. Случайные величины (СВ), основные понятия. Ряд распределения и функция распределения дискретных СВ (ДСВ).

90. Функция распределения непрерывных СВ (НСВ). Общие свойства функции распределения.

91. Плотность вероятности и ее свойства.

92. Математическое ожидание СВ и его свойства.

93. Дисперсия СВ и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

94. Примеры законов распределения; биноминальный закон, его свойства; закон Пуассона и его свойства; простейший поток событий.

95. Равномерное распределение и его свойства. Нормальное распределение и его свойства.

96. Предельные теоремы теории вероятностей. Лемма Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Неравенство и теорема Бернулли.

97. Понятие о центральной предельной теореме.

Тема №14. Математическая статистика.

98. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд и его геометрическое изображение – полигон и гистограмма.

99. Точечные оценки параметров распределения. Гипотетическая интерпретация выборочных данных (ГИВД). Требования к точечным оценкам.

100. Выборочная средняя арифметическая и ее свойства.

101. Выборочная дисперсия и ее свойства, исправленная выборочная дисперсия.

102. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал, доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для неизвестного мат ожидания при известной дисперсии.

103. Распределение хи-квадрат Пирсона и его простейшие свойства. Построение доверительного интервала для неизвестной дисперсии.

104. Распределение Стьюдента и его простейшие свойства. Построение доверительного интервала для неизвестного мат ожидания при неизвестной дисперсии.

105. Критерии согласия. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона.

106. Распределение Фишера-Снедекора и его простейшие свойства. Понятие о дисперсионном анализе. Схема применения однофакторного дисперсионного анализа.

107. Элементы корреляционного анализа. Метод наименьших квадратов для определения параметров прямых регрессии y на x и x на y. Коэффициент корреляции и его свойства, шкала Чеддока.

 

 

Задания контрольных работ.

Каждый студент выполняет тот вариант контрольных работ, который соответствует его учебному шифру в соответствии с таблицей (информацию о номере своего варианта можно получить у методиста или преподавателя).

Контрольные работы выполняются в ученических тетрадях (каждая - в отдельной) и сдаются до начала сессии на проверку преподавателю.

Перед решением каждой задачи контрольной работы следует записать её условие.

Решение задач следует излагать достаточно подробно, делая соответствующие ссылки на теорию с указанием необходимых теорем и формул.

Контрольная работа №1.

Тема №1. Определители. Матрицы и их применение к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В задачах 1-10 вычислить определитель четвертого порядка.

 

1. 2. 3.

 

4. 5. 6. 7.

8. 9. 10.

 

В задачах 11-20 требуется решить СЛАУ (систему линейных алгебраических уравнений) по формулам Крамера и методом Гаусса.

 

11. 12. 13.

 

14. 15. 16.

 

17. 18. 19.

 

20.

 

 

Тема №2. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

 

В задачах 21-30 даны координаты вершин пирамиды АВСД. Найти: 1) косинус угла между ребрами АВ и АД, 2) площадь грани АВС, 3) объем пирамиды АВСД, 4) длину высоты пирамиды, проведенной из точки Д.

 

21. А(-2,1,2), В(4,0,0), С(3,2,7), Д(1,3,2).

22. А(1,-1,6), В(1,-2,1), С(-2,1,0), Д(2,2,5).

23. А(1,-1,6), В(4,5,-2), С(-1,3,0), Д(6,1,5).

24. А(-5,-1,8), В(2,3,1), С(4,1,-2), Д(6,3,7).

25. А(5,1,-4), В(1,2,-1), С(3,3,-4), Д(2,2,2).

26. А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2), Д(3,2,4).

27. А(1,1,2), В(2,3,-1), С(2,-2,4), Д(-1,1,3).

28. А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3), Д(3,2,4).

29. А(2,1,-2), В(3,3,3), С(1,1,2), Д(-1,-2,-3).

30. А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), Д(-5,-4,8).

В задачах 31-40 даны координаты точек M,N,P,Q. Требуется: 1) составить уравнение прямой MN; 2) составить уравнение плоскости MNP; 3) составить уравнение прямой, проходящей через точку Q, перпендикулярно плоскости MNP; 4) найти точки пересечения этой прямой с плоскостью MNP; 5) найти расстояние от точки Q до плоскости MNP (двумя способами).

 

31. М (-3,-2,-4); N (-4,2,-7); Р (5,0,3); Q (-1,3,0).

32. М (2,-2,1); N (-3,0,-5); Р (0,-2,-1); Q (-3,4,7).

33. М (5,4,1); N (-1,-2,-2); Р (3,-2,2); Q (-5,5,4).

34. М (3,6,-2); N (0,2,-3); Р (1,-2,0); Q (-7,6,6).

35. М (1,-4,1); N (4,4,0); Р (-1,2,-4); Q (-9,7,8).

36. М (4,6,-1); N (7,2,4); Р (-2,0,-4); Q (3,1,-4).

37. М (0,6,-5); N (8,2,5); Р (2,6,-3); Q (5,0,-6).

38. М (-2,4,-6); N (0,-6,1); Р (4,2,1); Q (7,-1,-8).

39. М (-4,-2,-5); N (1,8,-5); Р (0,4,-4); Q (9,-2,-1).0

40. М (3,4,-1); N (2,-4,2); Р (5,6,0); Q (11,-3,-12).

 

В задачах 41-50 даны вершины треугольника МNР. Требуется найти: 1) длину стороны МN; 2) уравнение сторон МN и NР и их угловые коэффициенты; 3) угол N; 4) уравнение высоты РQ и её длину; 5) уравнение медианы МS; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне МN. Сделать чертеж.

 

41. М (-5,9); N (7,0); Р (5,14). 42. М (8,0); N (-4,-5); Р (-8,-2).

43. М (0,5); N (12,0); Р (18,8). 44. М (-1,7); N (11,2); Р (17,10).

45. М (5,8); N (-2,9); Р (-4,5). 46. М (6,1); N (-6,-4); Р (-10,-1).

47. М (-1,5); N (11,0); Р (17,8). 48. М (6,5); N (-6,0); Р (-10,3).

49. М (1,5); N (13,0); Р (13,8). 50. М (7,1); N (-5,-4); Р (-9,-1).

 

Тема №3. Предел функиии.

В задачах 51-60 найти указанные пределы функций.

 

51.

 

52.

 

53.

 

54.

 

55.

 

56.

 

57.

 

58.

 

59.

 

60.

 

 

Тема №4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

В задачах 61-70 найти указанной функции.

61. 62. 63.

64. 65. 66.

67. 68. 69.

70. .

 

Тема №5. Приложения дифференциального исчисления.

 

В задачах 71-80 провести полное исследование функции и построить её график.

71. 72. 73. 74.

75. 76. 77.

78. 79. 80.

 

Средствами дифференциального исчисления решить задачи 81-90 (задачи на экстремум).

 

81. Через точку А(3,5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат была наименьшей.

82. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС=а и углом при основании . На стороне ВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм АДЕF, у которого точки Д и F лежат соответственно на стороне АВ и АС имел наибольшую площадь.

83. Нужно построить здание с площадью основания 96м². Известно, что метр стены по фасаду будет стоить в два раза дороже метра других стен. Каковы должны быть размеры здания, чтобы стоимость возведения стен была наименьшей?

84. Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно под углом 120 ⁰ с одинаковой скоростью V км/час. В некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до неё а км. Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему равно это расстояние?

85. Завод Д нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город А. Расстояние ДВ до железной дороги равно а, расстояние АВ по железной дороге равно ℓ. Стоимость перевозок по шоссе в m раз дороже (m>1) стоимости перевозок по железной дороге. Как провести шоссе ДР к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?

86. Для выполнения сельскохозяйственных работ трактору необходимо переехать с поля А на другое В, предварительно пополнив запасы горючего на шоссе. Расстояние АМ от поля до шоссе равно 2 км. Расстояние ВN от поля В до шоссе равно 1,5 км. Шоссе прямолинейное, МN=3,5км. В каком месте шоссе должен ожидать бензовоз, чтобы путь трактора от поля А до поля В был наименьшим?

87. Испытания двигателя привели к n различным значениям х₁, х₂,….,х_n исследуемой величины А. Обычно в качестве значения неизвестной величины А принимают такое значение х, при котором сумма квадратов его отклонений от х₁, х₂,….,х_n имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяющее этому требованию.

88. Известно, что прочность балки с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и квадрату толщины. Найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 16 см.

89. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Исследовать, как изменится стоимость бриллианта, если его разрезать на две части. Сделать обобщающий вывод для n частей.

90. От канала шириной 4м под прямым углом к нему отходит другой канал шириной 2м. Какой может быть длина бревна, чтобы его можно было сплавить по этим каналам из одного в другой (толщину бревна не учитывать).

 

Тема №6. Неопределенный интеграл.

В задачах 91-100 требуется найти неопределенные интегралы. Результат первого интегрирования проверить дифференцированием.

 

91.

 

92.

 

93.

 

94.

 

95.

 

96.

97.

 

98.

 

99.

 

100.

 

Тема №7. Определенный интеграл.

 

 

В задачах 101-110 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

 

101. . 102. .

103. . 104. .

105. . 106. .

107. . 108. .

109. . 110. .

 

 

Контрольная работа №2.

Тема №8. Функции нескольких переменных (ФНП).

В задачах 111-120 число А вычислить приближенно с помощью дифференциала функции двух переменных.

 

111. 112.

113. 114.

115. 116.

 

117. 118.

 

119. 120.

 

 

В задачах 121-130 найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области D, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

121. , D: x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.

122. , D: , y = 4, x 0.

123. , D: y = 0, x = 2, y = x +2.

124. , D: y = 0, .

125. , D: x = 0, y = 0, x + y = 3.

126. , D: x = 0, y = 0, x + y = 4.

127. , D: x = 0, y = 0, x + y = 5.

128. , D: x = 0, y = 0, x + y = -2.

129. , D: y = x + 2, y = 0, x = 2.

130. , D: y = x + 1, y = 0, x = 3.

 

 

В задачах 131-140 найти производную скалярной функции в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси . Найти величину и направление наибольшего изменения скалярной функции в указанной точке

 

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

 

Тема №9. Кратные интегралы.

В задачах 141-150 требуется построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования и вычислить интегралы в обоих случаях.

141. 142.

143. 144.

145. 146.

147. 148.

149. 150.

 

В задачах 151-160 требуется вычислить двойные интегралы по области D, ограниченной указанными линиями, переходя к полярным координатам.

 

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

 

Тема №10. Комплексные числа.

В задачах 161-170 требуется выполнить действия над комплексными числами. Результаты записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить геометрически.

161.

162.

163.

 

164.

 

165.

166.

167.

 

168.

 

169.

170.

 

Тема №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ).

В задачах 171-180 найти общие решения указанных дифференциальных уравнений (ДУ). Последнее ДУ решить двумя способами – методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов (по виду правой части). Для первого ДУ найти интегральную кривую, проходящую через точку (1;1).

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

 

Тема №12. Числовые и степенные ряды.

В задачах 181-190 найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на границах интервала.

 

 

 

В задачах 191-200 вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена.

 

 

 

Тема №13. Теория вероятностей.

201. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что:1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель.

202. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудия эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один снаряд поразит цель; 2) только два снаряда поразят цель; 3) все три снаряда поразят цель.

203. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что: 1) оба стрелка поразят мишень; 2) оба стрелка промахнутся; 3) только один стрелок поразит мишень; 4) хотя бы один из стрелков поразит мишень.

204. От аэровокзала отправились 2 автобуса – экспресса к трапам самолетов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: 1) оба автобуса придут вовремя; 2) оба автобуса опоздают; 3) только один автобус прибудет вовремя; 4) хотя бы один автобус прибудет вовремя.

205. На участке две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,8; а вероятность выполнения плана второй 0,9. Требуется найти: 1) вероятность выполнения плана участком; 2) вероятность выполнения плана только одной бригадой участка; 3) вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой участка.

206. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент даст правильный ответ на первый вопрос равна 0,9; вероятность правильного ответа на второй вопрос равна 0,8; на третий вопрос равна 0,7. Найти вероятность того, что студент ответит: 1) на все три вопроса правильно; 2) хотя бы на два вопроса.

207. Передающее устройство, канал связи и принимающее устройство могут быть повреждены. Вероятности повреждения соответственно равны 0,5; 0,4; 0,6. Найти вероятность того, что: 1) будет повреждено хотя бы одно; 2) хотя бы одно не будет повреждено; 3) система будет работать.

208. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: 1) совместной работы комбайнов; 2) работы только одного комбайна; 3) простоя обоих комбайнов.

209. Рабочий обслуживает три станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9; для второго станка 0,8 и для третьего станка 0,7. Найти вероятность того, что за этот час: 1) лишь один станок откажет в работе и потребует вмешательства рабочего; 2) два станка потребуют вмешательства рабочего; 3) ни один станок не потребует вмешательства рабочего.

210. На ферме две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой 0,7; второй 0,8. Найти вероятность: 1) выполнения плана фермой; 2) выполнение плана только одной бригадой; 3) выполнения плана хотя бы одной бригадой?

211. В группе 6 отличников, 10 хорошистов и 9 троечников. На экзамене отличники могут получить оценку «4» с вероятностью 0,3; хорошисты с вероятностью 0,8; троечники – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что студент, вызванный первым, получит оценку «4».

212. При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К зернам 1-й группы принадлежит 96%, ко второй 2%, к 3-й 1%, к 4-й 1% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для 1-й группы равна 0,5; 2-й группы 0,2; 3-й группы 0,18; 4-й группы 0,02. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

213. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной продукции по признаку А в 10% случае встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность того, что дефект В не встретится во всей продукции.

214. Изделие проверяется на стандарт одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу равно 0,55; а ко второму 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет принято первым товароведом равно 0,9; а вторым 0,98. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет признано стандартным.

215. На сборку поступают детали с 2-х автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.

216. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

217. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъезжает машина. Найти вероятность того, что машина будет заправляться.

218. В вычислительной лаборатории имеются 6 новых и 4 старых машин. Вероятность того, что за выполнение некоторого расчета новая машина не выдаст ошибку равна 0,95; для старой машины эта вероятность равна 0,8. Студент проводит расчет на удачу выбранной машине. Найти вероятность того, что машина не выдаст ошибку.

219. Исследование больного вызвало предположение о возможности одного из 3-х заболеваний А₁ А₂ А₃ с вероятностями: Р(А₁)=5/12; Р(А₂)=1/3; Р(А₃)=1/4. Для уточнения диагноза был произведен некоторый анализ, который при первом заболевании дает положительный ответ с вероятностью 0,8; при втором – с вероятностью 3/8; при третьем – с вероятностью 1/6. Какова вероятность точного ответа.

220. В партии 600 лампочек: 200 штук изготовлены на 1-м заводе, 250 – на 2-м; 150 – на 3-м. Вероятность того, что лампочка окажется стандартной для 1-го завода, равна 0,97; для второго 0,91; для третьего 0,93. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется стандартной.

221. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд и функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание и дисперсию. Вычислить вероятность того, что откажут не менее двух элементов. Проиллюстрировать геометрически.

222. В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить ряд и функцию распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что число стандартных деталей не меньше двух.

223. Выпущено 1000 билетов лотереи, причем разыгрываются: один выигрыш в 50 руб., 5 выигрышей по 25 руб., 10 выигрышей по 10 руб., 25 выигрышей по 5 руб. Составить ряд и функцию распределения стоимости выигрыша для владельца одного билета. Найти «справедливую» цену одного билета.

224. На поле 5 тракторов. Надежность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого равна 0,8. Составить ряд и функцию распределения числа тракторов, работающих одновременно. Найти среднее число исправных тракторов. Вычислить вероятность того, что исправных тракторов больше 3. Показать графически.

225. В связке имеется 5 различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим больше не используется. Построить ряд и функцию распределения числа использованных ключей. Найти вероятность того, что: а) дверь будет открыта вторым ключом; б) будет использовано не меньше двух ключей. Показать графически.

226. Вероятность того, что из яйца выведется петушок, равна 0,6. В инкубатор заложили 6 яиц. Найти ряд и функцию распределения числа петушков, которые выведутся из этих 6 яиц. Вычислить вероятность того, что число петушков не меньше 5.

227. Имеется 5 семян редкого растения со всхожестью 60%. Семена высеян по очереди (каждое следующее высевается только в том случае, если предыдущее не взошло). Составить ряд и функцию распределения числа использованных семян. Найти вероятность того, что число использованных семян больше 1 и меньше 3. Проиллюстрировать графически. Найти среднее число использованных семян.

228. Производится последовательное испытание 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд и функцию распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержки испытания для каждого из них равна 0,9. Найти вероятность того, что придется испытывать не менее 2 и не более 4 приборов.

229. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает: 18 руб., если на всех костях выпадает по 6 очков; 1 руб. 40 коп., если на двух костях выпадает по 6 очков и по 20 коп., если на одной кости выпадает 6 очков. Какова должна быть ставка за участие в игре, чтобы игра была безобидной. Построить ряд и функцию распределения выигрыша.

230. Выпущено 10000 билетов денежной лотереи. Разыгрывается 2 выигрыша по 5000 рублей, 8 по 1000, 170 по 100 рублей, 350 по 50 рублей и 750 по 10 рублей. Составить ряд и функцию распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Вычислить «справедливую» цену одного билета.

 

В задачах 231-340 заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения - а окажется меньше .

 

231.	а =15	=2	=9	=19	=3
232.	а =14	=4	=10	=20	=4
233.	а =13	=4	=11	=21	=8
234.	а =12	=5	=12	=22	=10
235.	а =11	=4	=13	=23	=6
3236.	а =10	=8	=14	=18	=2
237.	а =9	=3	=9	=18	=6
238.	а =8	=4	=8	=12	=8
239.	а =7	=2	=6	=10	=4
240.	а =6	=2	=4	=12	=4

 

 

Тема №18. Математическая статистика.

В задачах 241-250 предполагается, что проведен некоторый эксперимент, в результате которого получен набор данных.