Кинематика вращательного движения

При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения. Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Вращательное движение тела нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Различают следующие виды вращательного движения: вращение вокруг неподвижной оси, вращение вокруг свободных осей, вращение вокруг неподвижной точки – полюса (гироскопы, волчки), плоское движение (качение шара, цилиндра по горизонтальной поверхности).

Будем рассматривать только вращение тела вокруг неподвижной оси. В этом случае ось вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Вращение твердого тела описывается углом поворота φ(t), на который повернулось тело за время t.

Угловая скорость w – векторная величина, характеризующая быстроту вращения тела, которая равна производной от угла поворота тела j по времени t:

,

dj – угол поворота тела за малое время dt.

Угловая скорость является векторной величиной. Вектор угловой скорости может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1).

 

Рис. 1.

Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов n и периодом вращения T.

Частота оборотов n равна числу оборотов, сделанных за единицу времени,

где N – число оборотов за время t. Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2p, то j = 2p N и w = 2p n.

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Т.к.

, то

, .

[ω] = [ рад/с ], [ n ] =[ об/с ], [ T ] = [ c ]

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ₀ + ω t.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀ = 0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/ t

можно выразить и так: ω = 2π/ T, где T – период вращения тела;

φ = 2π – угол поворота за один период.

Неравномерное вращение

Неравномерное вращение (угловая скорость изменяется со временем) характеризуется угловым ускорением e.

Угловое ускорение e - вектор, равный производной от угловой скорости w по времени t,

.

dw - изменение угловой скорости за время dt.

[e] = [ рад/с ²].

Векторы и направлены по оси вращения тела. При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 2).

Рис. 2

Равнопеременное вращение

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным. Равнопеременное вращение характеризуется следующими уравнениями:

и ,

w₀ и j₀ – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент t ₀=0,

w и j – в момент времени t. При ускоренном вращении в этих уравнениях выбирается знак «+», а при замедленном – знак «–».