Методы оптимального оценивания

Рассмотрим ошибку оценки

и ковариационную матрицу ошибки оценки

.

При синтезе оптимального фильтра будем добиваться, чтобы ковариационная матрица оптимального фильтра удовлетворяла неравенству

, (*)

где -ковариационная матрица ошибки оптимальной оценки .

Введем обозначения: , .

В теории оптимального оценивания получен следующий фундаментальный результат: оптимальная оценка в смысле выполнения неравенства (*), как неравенства квадратичных форм, существует и представляет собой условное математическое ожидание вектора состояния, записываемое в виде

, (**)

где -условная (апостериорная) плотность вектора , а - совместная плотность распределения векторов и .

Здесь и далее, интегралы понимаются как многомерные, а дифференциалы от векторов- как произведения дифференциалов их компонент, при этом совместная плотность понимается как совместная плотность вектора состояния динамической системы и измерений в последовательные моменты времени 0,1,2,…… : .

Действительно, пусть оценка, выработанная любым фильтром

Ошибке этой оценки придадим вид

Где

Заметим, что математическое ожидание берется по совокупности случайных величин и найти его можно последовательно

.

Условную ковариационную матрицу ошибки оценки запишем в виде

Рассмотрим второе слагаемое

.

Используя тот факт, что по предположению получим, что

, =0 и

Проводя теперь осреднение по множеству измерений, также получаем связь между средними ковариационными матрицами

Отметим, что из неравенства (*), понимаемого как неравенство квадратичных форм, вытекает ряд свойств ошибок оптимальной оценки, важных для практических, в частности, навигационных приложений

· среднеквадратические ошибки оценок всех компонент вектора состояния минимальны;

· определитель и главные миноры ковариационной матрицы минимальны;

· след ковариационной матрицы, представляющий собой сумму вторых центральных моментов компонент вектора состояния динамической системы минимален;

· оценка любой линейной комбинации компонент вектора состояния имеет минимальную среднеквадратическую ошибку.

Рассмотрим теперь совместную плотность распределения , используемую для выработки оптимальной оценки. Известно, что эта плотность по правилу перемножения плотностей может быть представлена в виде

.

Фрагменты этой плотности и при описании поведения динамической системы и процесса измерений уравнениями

,

,

где -вектор состояния размерности ; -вектор измерений размерности ; , -центрированные гауссовские векторы белошумных возмущений и ошибок измерений с ковариационными матрицами и соответственно, -многомерная, в общем случае, нелинейная функция; -гауссовский вектор начальных условий, ,

в свою очередь, могут быть представлены с использованием плотностей распределения и как

,

.

Совместная плотность распределения при этом примет следующий вид:

.

Таким образом, имея совместную плотность распределения можно получить условную плотность распределения и решить задачу оптимального оценивания вектора с использованием выражения (**).

Показано, что в случае описания поведения динамической системы и процесса измерений линейными уравнениями при гауссовском распределении ошибок измерений и возмущений в рамках байесовского подхода может быть получены рекуррентные процедуры, получившие название линейного фильтра Калмана.

Фактически рассмотренная процедура является решением задачи оценивания в рамках байесовкого подхода когда используется совместная плотность распределения.