Основні поняття, що зустрічаються при виконанні лабораторної роботи

Кутовий коефіцієнт характеризує долю енергії, яка потрапляє з тіла, що має кінцеву площу поверхні , на інше тіло з кінцевою площею поверхні по відношенню до повного потоку власного випромінювання першого тіла.

Коефіцієнт зосередженості питомого потоку К характеризує гостроту кривої нормального розподілу. Питомий тепловий потік на заданій відстані тим менше, чим більше К. Чим більше коефіцієнт К, тим швидше убувають ординати кривої, тим крутіше крива і тим більше її ординати зосереджені біля осі симетрії.

 

Методика і послідовність виконання роботи

Лабораторна робота виконується із застосуванням математичного моделювання і математичного планування експерименту. Математичне моделювання променистого теплообміну в системі двох сірих тіл передбачає використання аналітичних рішень за визначенням кутових коефіцієнтів результуючих теплових потоків і коефіцієнтів зосередженості, а також їх розрахунок на ЕОМ за розробленою раніше програмою.

Планування експерименту включає вибір числа і виду чинників, що впливають на параметр, що вивчається, встановлення основного рівня і інтервалів їх варіювання, вибір матриці планування експериментів.

 

Планування експерименту

Променистий теплообмін (кутові коефіцієнти, коефіцієнти зосередженості питомого теплового потоку, теплові потоки) в системі двох поверхонь «нагрівник випромінювання – внутрішня поверхня полого циліндра» залежить від ряду чинників. Змінні величини, від яких залежать для спрощення структурної схеми можна розділити на дві групи:

1. Змінні, що характеризують геометричні параметри сприймаючої поверхні – внутрішній радіус судини та зазор між нагрівником і поверхнею ; змінні, що характеризують геометричні параметри нагрівника – розмір нагрівника у напрямі осі циліндра і розмір у напрямі кола.

2. Параметри, що характеризують променистий теплообмін між нагрівником і внутрішньою поверхнею: кутові коефіцієнти , теплові потоки і коефіцієнти зосередженості у напрямі осі циліндра; , , у напрямі кола.

При такому структурному підході ці групи параметрів можуть бути розглянуті як вхідні і вихідні параметри керованого процесу, а сам променистий теплообмін – у вигляді блок-схеми (Рис. 2.3).

 

Рисунок 2.3 – Блок-схема вивчення променистого теплообміну

 

Такий підхід дозволяє цілеспрямовано провести вивчення променистого теплообміну, використовуючи планування експерименту, створення математичних моделей і їх перевірку. У роботі необхідно досліджувати коефіцієнти зосередженості .

Важливим етапом при плануванні експерименту є вибір основного рівня і інтервалів варіювання чинників (параметрів).

Інформацію, що показує умови планування чисельного експерименту, можна представити у вигляді Таблиці 2.5.

 

Таблиця 2.5 – Чинники, рівні і інтервали варіювання при вивченні променистого теплообміну

Фактори (параметри)	Умови варіювання	Інтервал варіюва-ння
Натуральний вигляд	Кодований вигляд	-1		+1
Внутрішній радіус судини , м		1,0	2,0	3,0	1,0
Зазор між нагревником і внутрішньою поверхнею циліндра , м		0,15	0,25	0,35	0,1
Довжина нагрівника , м		0,215	0,645	1,075	0,43
Ширина нагрівника , м		0,215	0,43	0,645	0,215

 

У матриці планування кожен рядок відноситься до одного з експериментів. У вертикальних стовпцях вказуються номер досліду, вигляд і рівень кодованих змінних , а також результати спостережень – значення .

Результати чисельних експериментів, виконаних згідно матриці планування, дозволяють отримати залежність між вихідними параметрами і змінними чинниками у вигляді рівнянь регресії

 

(2.27)

 

в якому , називаються коефіцієнтами регресії.

В таблиці (2.6) представлені п’ять варіантів вихідних даних для виконання студентами лабораторної роботи.

Таблиця 2.6 Матриця математичного планування

 

Точки плану	Фактори	Вихідні параметри
Плоский	Циліндричний	Еліптичний
				k1	k2	k1	k2	k1
	+1	+1	+1	+1	3,098	1,666	1,762	1,533	2,247
	+1	-1	+1	+1	3,424	1,401	5,382	1,478	2,482
	-1	+1	+1	+1	2,176	1,703	0,835	1,601	2,041
	-1	-1	+1	+1	2,187	1,326	3,680	1,506	2,417
	+1	+1	-1	+1	3,496	9,176	2,545	7,159	5,018
	+1	-1	-1	+1	3,505	26,285	6,767	19,122	6,137
	-1	+1	-1	+1	2,283	10,441	1,263	7,159	9,190
	-1	-1	-1	+1	2,041	28,815	4,593	17,199	1,717
	+1	+1	+1	-1	6,951	1,731	5,582	1,693	5,012
	+1	-1	+1	-1	23,394	1,425	16,49	1,473	14,014
	-1	+1	+1	-1	6,034	1,788	4,644	1,762	6,481
	-1	-1	+1	-1	22,454	1,408	15,356	1,485	15,221
	+1	+1	-1	-1	8,083	9,404	6,608	8,757	7,313
	+1	-1	-1	-1	25,456	27,022	18,531	24,884	16,212
	-1	+1	-1	-1	6,785	10,101	5,263	9,220	4,892
	-1	-1	-1	-1	24,179	27,874	16,858	25,51	17,011

 

2.3.5 Статистична обробка чисельних експериментів і формування математичної моделі за визначенням коефіцієнтів зосередженості питомого теплового потоку та

Статистична обробка результатів експериментів і формування моделі включає знаходження коефіцієнтів в рівнянні регресії, перевірку їх значимості і адекватності моделі.

 

1. Вільний член рівняння регресії:

 

 

де - число дослідів;

- значення вихідного параметру у -м досліді.

2. Коефіцієнти для лінійних членів рівнянь:

 

де - значення -ого чинника в рядку матриці в -м досліді.

3. Коефіцієнти парних взаємодій:

 

і т. д.

де - значення -ого фактора в -м досліді.

4. Середньоарифметичне значення :

 

 

5. Дисперсія відтворюваності :

 

 

6. Середньоквадратичне відхилення для :

 

 

7. Середньоквадратична помилка:

 

 

8. - критерій Ст`юдента:

 

 

Аналогічно проводимо розрахунок для інших коефіцієнтів та заносимо їх до Таблиці 2.7.

 

Таблиця 2.7 Розрахункові значення t-критерія Ст`юдента

tp(b0)=		tp(b12)=		tp(b34)=
tp(b1)=		tp(b13)=
tp(b2)=		tp(b14)=
tp(b3)=		tp(b23)=
tp(b4)=		tp(b24)=

 

9. За допомогою таблиці 2.3 визначаємо табличний критерій Ст`юдента при довірчій ймовірності 0,9 та числу ступенів свободи :

(в навчальних цілях вибираємо , тобто довірча ймовірність менша, ніж 0,9)

10. Порівнюємо розрахункові значення - критерію Ст`юдента з табличним: якщо (1,0) то коефіцієнт значимий, якщо менше то виключаємо з рівняння.

Отже, запишемо рівняння регресії для , яке, наприклад, має такий вигляд:

 

 

11. Визначаємо дисперсію адекватності:

 

.

В приведеному прикладі m = 4.

Розрахункова інформація при визначенні може бути зведена в таблицю 2.8.

Таблиця 2.8 Розрахункові дані для визначення

Точки плану				()2
Σ=

 

12. Розрахункове значення критерію Фішера:

 

При

 

 

Табличне значення критерію Фішера знаходимо по таблиці (2.4) по прийнятій довірчій ймовірності і числу ступенів свободи :

 

 

Порівнюємо табличне значення критерію Фішера з розрахунковим і робимо висновок, чи є рівняння адекватним.

 

Виконання роботи повинно закінчуватися висновками, які виходять з отриманих експериментальних даних і математичних моделей досліджуваного процесу. Базуючись на результатах аналізу рівняння регресії, в висновках необхідно показати вплив кожного параметру на коефіцієнт зосередженості (незалежно від того адекватно рівняння чи ні); вказати шляхи оптимізації (отримання максимального чи мінімального значення) вихідної величини.

 

2.3.6 Контрольні запитання

1. Що таке коефіцієнт зосередженості питомого теплового потоку? Від яких факторів він залежить?

2. Що таке математичне планування експерименту? Які основні етапи планування?

3. Що таке інтервал варіювання, нульовий, верхній та нижній рівень змінної величини?

4. Як визначається кодоване значення змінної величини через натуральне? Як визначається кількість дослідів в повнофакторному експерименті? Як складається матриця планування?

5. Який вигляд має рівняння регресії і як визначаються його коефіцієнти?

6. Як робиться оцінка значущості коефіцієнтів в рівнянні регресії?

7. Як робіться перевірка адекватності моделі?

8. Який з параметрів х₁, х₂, х₃, х₄ має найбільший вплив на вихідну величину в Ваших розрахунках?

9. При яких значеннях параметрів коефіцієнт зосередженості має максимальне (мінімальне) значення? Як при цьому змінюється щільність теплового потоку при віддалені від осі?