Правило 3. Від’ємність коефіцієнта при лінеаризації джерелового члена.

Часто джерелового член є функцією самої залежної змінної Т. Проте, формально ми можемо враховувати лише лінійну залежність, оскільки вирішення дискретних рівнянь здійснюватиметься за допомогою методів вирішення систем лінійних рівнянь. Середнє значення запишеться у вигляді:

 

. (4.6)

 

Наявність Тр в (4.6) відображає той факт, що при запису середнього значення S ми припускали, що значення Тр поширюється на весь контрольний об'єм, іншими словами, використовувався показаний на рис. 4.2а ступінчастий профіль (відзначимо, що можна використовувати ступінчастий профіль для S і кусочно-лінійний для члена dT/dx).

Дискретний аналог рівняння теплопровідності з лінеаризованим джереловим членом має такий же вигляд, як і (4.4), але з іншими виразами для коефіцієнтів:

 

, (4.7)

 

де

; ;

 

; . (4.8)

 

З визначень коефіцієнтів видно, що коефіцієнт а_Р може стати негативним за рахунок S_Р.

Цього можна повністю уникнути, потребувавши, аби а_Р був позитивним. Правило 3 сформулюємо таким чином:

При лінеаризації джерелового члена у вигляді коефіцієнт S_P завжди має бути негативним або дорівнювати нулю.

 

Правило 4. Сума сусідніх коефіцієнтів.

Для випадків, коли коефіцієнт S_P дорівнює нулю, необхідно, аби

. (4.9)

Нелінійність. Дискретний аналог (4.7) є лінійним алгебраїчним рівнянням, і ми вирішуватимемо систему таких рівнянь. Проте, в теорії теплопровідності часто зустрічаються нелінійні задачі. Коефіцієнт теплопровідності може залежати від Т або джерело S може бути нелінійною функцією Т. Таким чином, самі коефіцієнти дискретного аналога залежатимуть від Т.

У таких випадках використовуватимемо ітерації. Цей процес включає наступні етапи:

1. Вибір початкового наближення або оцінка значень Т у всіх вузлових точках.

2. Розрахунок попередніх значень коефіцієнтів в дискретному аналогу на основі початкового профілю Т.

3. Рішення номінально лінійної системи алгебраїчних рівнянь, що дає нові значення Т.

4. Повернення до другого етапу і повторення процесу до тих пір, поки подальші наближення (ітерації) перестануть давати скільки-небудь істотні зміни в значеннях Т.

 

Лінеаризація джерелового члена. У тому випадку, коли джереловий член S залежить від Т можна цю залежність виразити в лінійній формі за допомогою рівняння (4.6). Це робиться з тієї причини, що, по-перше, номінально лінійна система допускає лише формально лінійну залежність, і, по-друге, введення лінійної залежності краще, ніж припущення про постійність S.

Якщо S є нелінійною функцією Т, то функцію потрібно лінеаризувати, тобто визначити значення S_С і S_P, які самі можуть залежати від Т. В процесі кожного ітераційного циклу Sc і S_P перераховуються з врахуванням нових значень Т.

 

Приклад 1. Розглянемо лінеаризацію источникового члена при променистій тепловіддачі довкіллю:

.

 

 

Можна:

 

;

 

,

 

але такий спосіб часто приводить до ітераційного процесу, що розходиться.

 

Спосіб, що рекомендується:

 

;

 

;

 

.

 

Символ Т_Р* використовується для позначення Т_Р на нульовій ітерації.

Таким чином, джереловий член приведений до вигляду (4.6) з від’ємним коефіцієнтом Sp. Значення Т_Р* уточнюється методом ітерацій за приведеною вище схемою.

 

Граничні умови. Припустимо, що для одновимірного завдання ряд вузлових точок, показаних на рис.3, є вибраним. На кожен з двох кордонів доводиться по одній вузловій точці. Останні вузлові точки назвемо внутрішніми, довкола кожної з них розміщується контрольний об'єм.

 

2 1

 

I W P E

B

 

 

Рис. 4.3 Контрольний об'єм для внутрішніх і граничних точок:

1 – типовий контрольний об'єм;

2 – половинний контрольний об'єм.

Дискретний аналог, подібний до рівняння (6.4), можна записати для кожного такого контрольного об'єму. Якщо (6.4) розглядати як рівняння для визначення Т_Р, то маємо необхідні рівняння для всіх невідомих температур у внутрішніх вузлових точках. Саме через ці температури на межі здійснюється облік заданих граничних умов в схемі чисельного рішення.

Якщо задана температура на межі (тобто значення температури в точці В – Т_B відоме), то не потрібні додаткові рівняння і труднощів не виникає. Коли температура на межі невідома, необхідне додаткове рівняння для визначення Т_B. Це рівняння можна отримати, інтегруючи диференціальне рівняння (1) за половинним контрольним об'ємом, який, як показано на рис. 6.4, примикає до межі. В результаті маємо:

 

. (4.10)

 

(dx) _i

qB

B i I

 

∆x

 

Рис. 4.4 Половинний контрольний об'єм поблизу межі.

 

Подальше перетворення цього рівняння залежить від того, як задано тепловий потік q_B на межі. Якщо задано саме значення q_B (граничні умови II роду), рівняння для Т_B записується таким чином:

 

, (4.11)

 

де ;

 

(4.12)

 

 

Якщо тепловий потік визначено через коефіцієнт тепловіддачі λ і температуру довколишньої рідини Т_ж (граничні умови III роду):

 

. (4.13)

 

то коефіцієнти дискретного аналога (4.11) записуються таким чином:

 

 

;

; (4.14)

.

 

Так само можна отримати необхідне число рівнянь для невідомих температур.

Як вже вказувалось, другим етапом методу є вирішення отриманої системи рівнянь. Розглянемо метод вирішення цих рівнянь.