Постановка крайових задач теорії теплопровідності

ВСТУП

Технологічні процеси в різних галузях промисловості мають в своїй основі теплотехнічну суть, і якість продукції визначається протіканням в них теплових процесів. Природно, що прагнення до підвищення якості зумовлює необхідність управління, регулювання теплового процесу. Теплова обробка грає важливу роль у виробництві практично всіх будматеріалів (на теплову обробку витрачається до 30% вартості виробництва матеріалу). Тривалість теплової обробки складає 80-90% часу всього виробничого циклу. Ще вище ці показники у виробництві металу, прокату. По суті, виробництво чавуну, сталі, прокату – це теплотехнічні процеси.

Велике значення тепловій обробці повинне приділятися як технологічній операції, яка завершує структурні перетворення для більшості матеріалів і забезпечує їх споживчі властивості. Особливо наочно це видно при виготовлені керамічних матеріалів, сушці теплоізоляційних матеріалів, тепловологісній обробці цементних і силікатних матеріалів. Теплова обробка як технологічна операція забезпечує додання матеріалам якісно нових властивостей. Тепломасообмінні процеси, що протікають при цьому, часто є причинами погіршення якості і появи браку.

Враховуючи важливість і складність процесів, що відбуваються при тепловій обробці, існує необхідність їх всебічного вивчення, яке можливе на базі створених моделей.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛОВИХ ЯВИЩ В ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСАХ

 

Як було зазначено вище, існує необхідність всебічного вивчення процесів, що відбуваються при тепловій обробці, яке можливе на базі створених моделей.

Характеристики процесів теплообміну можна визначити експериментально і теоретично.

 

Експериментальне дослідження

 

Часто найбільш надійну інформацію про фізичний процес можна отримати шляхом безпосередніх вимірів. За допомогою експериментального дослідження на повномасштабній установці можна визначити поведінку об'єкту в натурних умовах. В більшості випадків такі повномасштабні досліди надмірно дорогі і часто неможливі. Альтернативою є проведення експериментів на маломасштабних моделях. Проте отриману інформацію необхідно екстраполювати на натурний об'єкт, а загальні правила для цього часто відсутні. Крім того, на маломасштабних моделях не завжди можна відтворити всі властивості повномасштабного об'єкту. Це також знижує цінність отриманих результатів. Нарешті, потрібно пам'ятати, що у багатьох випадках виміри утруднені, і вимірювальне устаткування може давати погрішності.

 

Теоретичне дослідження

 

При теоретичному дослідженні визначаються скоріш результати рішення задачі згідно використовуваної математичної моделі, а не характеристики дійсного фізичного процесу. Для фізичних процесів, що цікавлять нас, математична модель складається, головним чином, з диференціального рівняння (або системи диференціальних рівнянь) теплопровідності.

 

Диференціальне рівняння теплопровідності твердих тіл:

 

(1.1)

 

де С, ρ, λ – в загальному випадку функції x, y, z, T,

тобто ці рівняння нелінійні.

Якщо С, ρ, λ – постійні, то диференціальне рівняння спроститься:

 

(1.2)

 

Постановка крайових задач теорії теплопровідності

 

Диференціальне рівняння теплопровідності, виведене на основі загальних законів фізики, встановлює зв'язок між часовою і просторовою змінами температури в будь-якій точці тіла, в якій відбувається процес теплопровідності. Диференціальне рівняння теплопровідності має в загальному випадку незліченну безліч рішень. Аби з цієї безлічі вибрати рішення, що характеризує конкретний даний процес, і дати повний математичний опис цього процесу, необхідно до основного диференціального рівняння приєднати додаткові умови, що включають геометричні, фізичні і крайові умови [1].

Геометричні умови визначають форму і лінійні розміри тіла.

Фізичні умови визначають теплофізичні параметри: λ – теплопровідність [Вт/(м*К)], ρ – щільність тіла [кг/м³], С – питому теплоємність тіла [Дж/(кг*К)], q_v – об'ємну щільність теплового потоку [Вт/м³].

Крайовими умовами називають сукупність початкового і граничних умов. Початкові умови задаються лише при вивченні нестаціонарних процесів і полягають в завданні розподілу температури усередині тіла у момент часу, вибраний як початковий. Граничні умови відображують умови теплової взаємодії між довкіллям і поверхнею тіла.

Способи завдання крайових умов. Завдання початкової умови полягає в тому, що для деякого моменту часу τ = τ₀ (зазвичай вважають τ₀ = 0) має бути відома функція просторових координат:

 

T(х, y, z, τ)= f(x, y, z, τ) (1.3)

 

Найпростіша початкова умова має вигляд:

 

f(x, y, z)= T₀ = const (1.4)

 

До такої умови, наприклад, відносяться початкові умови виведення системи із сталого режиму (розігрів з «холодного» стану і т. д.) і ін.

Граничні умови для задач, що вивчається, можуть бути задані декількома способами; у теорії теплопровідності розрізняють граничні умови I, II, III, IV родів і ін.

Граничні умови I роду. Задається розподіл температури на поверхні S тіла як функція координат і часу

 

. (1.5)

До граничних умов I роду можна віднести задачі розігрівання і охолоджування системи при заданій зміні температури на границі або при вельми інтенсивному теплообміні на поверхні, коли температура поверхні близька до температури середовища. Проте круг таких практичних завдань обмежений, і граничні умови I роду використовуються в основному при розробці математичних методів вирішення крайових задач і в оцінних розрахунках.

Відзначимо, що при умова (1.5) однорідна відносно температури. Для процесів стаціонарної теплопровідності функція φ в умові (1.5) не залежить від часу, і цю умову зазвичай називають умовою Дірихле.

Граничні умови II роду. Задається розподіл щільності теплового потоку на поверхні тіла як функція координат і часу

 

. (1.6)

 

Згідно закону Фур'є, умова (1.6) запишеться у вигляді

 

, (1.7)

 

де n – внутрішня нормаль до поверхні S.

У процесах стаціонарної теплопровідності функція φ в умовах (1.6) і (1.7) не залежить від часу τ, і ці умови зазвичай іменують умовою Неймана.

У окремому випадку, коли щільність теплового потоку на поверхні тіла залишається постійною для будь-якого моменту часу в будь-якій точці поверхні, вираження (1.6) має вигляд

 

(1.8)

 

Такі умови теплообміну можуть створюватися при нагріванні тіл високотемпературними джерелами теплоти, коли теплообмін відбувається головним чином випромінюванням за законом Стефана – Больцмана, якщо при цьому власна температура тіла значно менше температури випромінюючої поверхні.

Крім того, можливий випадок завдання однорідної граничної умови II роду

.

тобто умови так званої теплової ізоляції. Така умова часто задається при рівномірному обігріві поверхні тіла, що має геометричну симетрію.

Граничні умови III роду. На поверхні тіла задається залежність щільності теплового потоку унаслідок теплопровідності з боку тіла від температур поверхні тіла Т_S і довкілля T_C.

В разі охолоджування (нагріву) тіла маємо

 

, (1.9)

 

де α – коефіцієнт пропорційності, званий коефіцієнтом тепловіддачі (теплообміну), Вт/(м²·К). Він характеризує інтенсивність теплової взаємодії середовища заданої температури Т_C з поверхнею тіла. У нестаціонарних процесах температура довкілля в загальному випадку змінюється в часі.

Рівняння (1.9) виражає закон Ньютона. Щільність потоку, що підводиться (відводиться) за рахунок теплопровідності до (від) поверхні тіла, визначається за законом Фур'є. Отже, на підставі закону збереження енергій з врахуванням рівняння (1.9) маємо

 

. (1.10)

де n – внутрішня нормаль до поверхні тіла.

Рівняння (1.10) є аналітичним вираженням граничної умови III роду, яка широко застосовується при аналітичних дослідженнях теплопередачі в твердих тілах, обтічних потоками рідини або газу на кордоні між тілом і рідиною.

На відміну від λ коефіцієнт тепловіддачі α не є фізичним постійним, характерним для того або іншої речовини. У загальному випадку він відображає спільну дію конвекції, теплопровідності і залежить від багатьох чинників.

Граничні умови сполучення (IV роду) відповідають теплообміну поверхні тіла з довкіллям (конвективний теплообмін тіла з рідиною) або теплообміну дотичних твердих тіл, коли температура дотичних поверхонь однакова. Задаються вони як умови рівності температури і щільності теплового потоку на поверхні зіткнення двох середовищ (або тіл):

 

; (1.11)

 

, (1.12)

 

де означає диференціювання уздовж нормалі до поверхні розділу.

Рівність (1.11) виражає умову безперервності температурного поля, а рівність (1.12) – закон збереження енергії на поверхні зіткнення двох середовищ (або тіл).

Умови (1.11), (1.12) називають ще умовами ідеального теплового контакту. У реальних тілах теплоперенос між шарами здійснюється не лише теплопровідністю, але і конвекцією і тепловим випромінюванням, які грають тут істотну роль. Тому точне завдання граничних умов при контактному теплообміні нелегко і для розрахунків використовуються складніші схеми, що ідеалізуються.

Задачі з граничними умовами IV роду часто ставляться при розрахунках багатошарових теплоізоляційних покриттів в металургії, авіаційній і космічній техніці.

Інші види граничних умов. Окрім розглянутих можлива постановка інших граничних умов. Наприклад, за наявності фазових перетворень (промерзання, плавлення) на поверхні зіткнення умова (1.32) замінюється наступною:

, (1.13)

де S – рухомий кордон розділу фаз (1 – тверда, 2 – рідка); q – питома теплота фазових перетворень; n – нормаль до поверхні S.

Якщо невідома залежність , то умова (1.33) відносить вирішувану задачу до класу нелінійних завдань і вимагає особливих методів її рішення.

При досить високих температурах поверхня тіл випромінює теплоту, при цьому щільність теплового потоку визначається згідно із законом Стефана–Больцмана. Згідно цьому закону, в умовах термодинамічної рівноваги для абсолютно чорного тіла поверхнева щільність потоку випромінювання R визначається так:

,

де σ = 5,67*10-8 Вт/(м2•К⁴) – постійна Стефана–Больцмана.

Стосовно неабсолютно чорних тіл цей закон набирає вигляду

.

Тут ε = 0...1 – коефіцієнт випромінювання теплового випромінювача (коефіцієнт чорноти).

Якщо тіло піддається нагріву випромінюванням з боку зовнішнього середовища, то граничні умови на поверхні тіла в цьому випадку задаються у вигляді

 

. (1.14)

 

де n – внутрішня нормаль до поверхні тіла; α = 0... 1 –коефіцієнт поглинання; Е – поверхнева щільність потоку випромінювання, падаючого на поверхню S. У загальному випадку падаючий потік випромінювання визначається не лише зовнішніми джерелами випромінювання, але і теплообміном за рахунок випромінювання між окремими ділянками поверхні тіла.

Граничні умови типа (1.14) формулюються при вивченні процесів теплообміну в космосі, при відливанні масивних тіл, в термоемісійних перетворювачах енергії і так далі

Задачі з нелінійними граничними умовами типа (1.14) прийнято називати задачами із зовнішньою нелінійністю на відміну від завдань з внутрішньою нелінійністю, до яких відносяться завдання з властивостями матеріалів, залежними від температури.

Диференціальне рівняння теплопровідності разом із заданими додатковими умовами повністю визначають крайову задачу теплопровідності, що підлягає рішенню.