Нормированные пространства

Функции и отображения

Отношение F X Y называется отображением X в Y или функцией, определен- ной в X и принимающей значения в Y, если для x:

x, y 1

F x, y 2

F y 1

y 2.

Если x, y F, то элемент y называется значением F в x и обозначается как

y F x.

Используются также обозначения:

F: X Y,

F: x F x.

Принципиально важным свойством отображения является то, что любому значе- нию "аргумента" x ставится в соответствие единственный элемент y. Такое понятие, как "многозначная" функция, здесь не рассматривается. Вполне правомерно, ко- нечно, определить отображение, значениями которого являются подмножества не- которого данного множества, состоящие более чем из одного элемента. Но такое определение практически бесполезно, т. к. не удается разумным образом опреде- лить алгебраические операции над значениями таких функций. Например, операция

извлечения корня из вещественного числа z приводит к двум значениям со зна-

ками "плюс" и "минус". Но тогда как понимать равенство:

z z 2

z? Левая

часть имеет три разных значения, а правая — только два. (Хотя, конечно, сущест- вует и понятие Римановой поверхности.)

Сделаем еще одно замечание. Обычно (в "школьной" математике) различают понятия функции и ее графика. В данном выше определении эти понятия со- впадают.

В современной математике важнейшую роль играет рассмотрение отображения (функции) как единого объекта (такого же, как точка или число) и проведение яс- ного различия между отображением F и любым из его значений F x. Первое есть

элемент множества отображений X в Y, обозначаемого как X Y, второе — элемент множества Y, причем

F x, y X Y / y F x.

Таким образом, отображение F есть некоторое множество упорядоченных пар x, y.

Пусть

F: X Y. Пусть также

A X. Тогда множество

F A y Y / x A y F x

называется образом множества А при отображении F. Здесь — квантор сущест- вования. x читается: существует х. Прообразом множества B Y при отображе- нии F называется множество

F 1 B x X / F x B.

Пусть

F: X Y. Пусть

A X. Тогда множество

F (A Y) A Y

называется сужением отображения F на множестве А.

Линейные пространства

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа. Например, векторы в геометрии в трехмерном пространстве умножаются на числа и складываются. Вещественные функции веще- ственных аргументов умножаются на числа и складываются и т. п. Одни и те же операции производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изу- чить все такие примеры с единой точки зрения, вводится понятие линейного (или векторного) пространства.

Пусть на множестве L элементов

x, y, z,... заданы два отображения:

L L L,

L R L,

где R — множество действительных чисел ("вещественная прямая"). Обозначим эти отображения как:

соответственно.

x, y x y L,

x, x L

Тогда множество L называется действительным линейным пространством, если для введенных отображений выполнены следующие требования:

1. x y y x (коммутативность).

2. x y z x y z (ассоциативность).

3. L: x L x x (существование нуля).

4. Для x L x L x x (существование противоположного элемен- та).

5. 1 x x 1 R.

6. x x.

7. x x x.

8. x y x y.

Часто говорят о линейном векторном пространстве. Сами элементы L также назы- ваются векторами.

Если вместо множества R действительных чисел используется множество C ком- плексных чисел, то получим комплексное линейное пространство.

Непустое подмножество линейного пространства L называется подпространством, если оно само является линейным пространством по отношению к определенным в L операциям.

Пусть x — произвольное непустое семейство элементов линейного пространст- ва L (счетность множества x не предполагается). Определение понятия семейства элементов было дано выше. Рассмотрим все подпространства линейного пространст-

ва L, содержащие заданную систему векторов x. Пересечение этих подпро-

странств, очевидно, тоже будет подпространством. Это так называемое наименьшее

подпространство, содержащее x. Оно называется подпространством, порожден- ным множеством x, или линейной оболочкой семейства элементов x.

Примеры линейных пространств.

1. Множество R действительных чисел с обычными операциями сложения и умно- жения (L совпадает с R).

2. Совокупность систем n действительных (или комплексных) чисел

x x 1, x 2,..., xn

, где сложение и умножение на число определяются формулами

x y x 1

y 1, x 2

y 2,..., xn

yn,

x x 1,

x 2,...,

xn.

называется n -мерным арифметическим пространством и обозначается Rn

действительного пространства) или Cn (в комплексном случае).

(для

3. Множество непрерывных на отрезке a, b функций с обычными операциями

сложения и умножения на числа образует векторные пространства C a, b,

C 2 a, b.

Конечное множество векторов xi

называется линейно зависимым, если существует

множество чисел i, из которых не все равны нулю, такое, что

i xi

0. Если

i xi 0 i: i 0,

то конечное множество xi

называется линейно независимым.

Замечание. Важно, что линейная зависимость и линейная независимость — свой- ства множества векторов. Однако соответствующие прилагательные часто условно применяются к самим векторам, которые называются линейно зависимыми или ли- нейно независимыми.

Множество X (не обязательно конечное) называется линейно независимым, если линейно независимо любое его конечное подмножество. В противном случае мно- жество X — линейно зависимо.

Если

xi — конечное множество и для некоторого x L справедливо представле-

ние x

ixi, то говорят, что x является линейной комбинацией векторов

xi.

Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем существует n ли-

нейно независимых векторов, а любые n 1 векторы — линейно зависимы. В этом

случае говорят, что L имеет размерность n. Любой набор из n линейно независи- мых векторов n -мерного пространства L называется базисом этого пространства. Если существует любое количество линейно независимых векторов, то пространст- во L называется бесконечномерным. Понятие базиса бесконечномерного простран- ства здесь не обсуждается.

Примеры.

1. Можно доказать, что пространства

Rn, Cn

имеют размерность n, поэтому и бы-

ли названы ранее n -мерными пространствами.

2. Пространства C a, b, C 2

a, b бесконечномерны.

3. Базисом в пространстве от нуля.

4. Базис в пространстве Rn

R 1 является любое действительное число, отличное

образует, например, система векторов 1, 0,..., 0,

0, 1,..., 0,..., 0, 0,..., 1.

n -мерные пространства изучаются в курсах по линейной алгебре и являются осно- вой для задач нелинейного программирования. Пространства с бесконечным чис- лом измерений изучаются в функциональном анализе и представляют основной интерес для бесконечномерных оптимизационных задач, например, для задач тео- рии оптимального управления.

Нормированные пространства

В теории метрических пространств сформулировано понятие расстояния между элементами произвольного множества. В этом смысле метрические пространства являются частным случаем более общих топологических пространств. Концепция же линейных пространств позволяет наделить множество некоторой алгебраиче- ской структурой с помощью определения операций сложения элементов и умноже- ния их на числа. Нормированные пространства являются одновременно линейными и метрическими пространствами и относятся к важному классу топологических ли- нейных пространств. Развитие теории нормированных пространств связано с име- нем Стефана Банаха и целого ряда других авторов. Структура нормированных про- странств оказывается чрезвычайно удобной для изучения основных конструкций теории оптимизации в достаточно общем виде.

Банаховы пространства

Линейное пространство L называется нормированным, если на L задан функционал

f: L R, удовлетворяющий следующим четырем условиям для x, y L, R:

1. f x

2. f x

0 x 0.

3. f x f x.

4. f x y f x f y (неравенство треугольника).

Такой функционал f называется нормой в L. Значение f x обозначается x и на- зывается нормой элемента x. Нормированным пространством называется линей- ное пространство L с заданной в нем нормой.

Если x x — норма в L, то функционал L L R вида

d x,

y x y есть

расстояние в L. Норма индуцирует соответствующую метрику. Справедливость ак- сиом метрики легко проверяется.

Таким образом, для нормированных пространств имеют смысл все понятия, вве- денные для метрических пространств. Полное нормированное пространство назы- вается банаховым пространством или B -пространством.

Пример 1. В пространстве мулой:

C a, b непрерывных функций определим норму фор-

f max

t a, b

f t.

Порожденная этой нормой метрика совпадает с ранее рассматриваемой метрикой для этого множества. Как мы указывали, это множество функций является полным относительно своей метрики, и, следовательно, пространство C a, b является ба-

наховым пространством.

Подпространством нормированного пространства L называется подпространство линейного пространства L (линейное подпространство), которое является замкну- тым множеством относительно расстояния, индуцированного заданной нормой. Иначе говоря, подпространство нормированного пространства есть линейное под- пространство, содержащее все свои предельные точки. Еще раз отметим, что толь- ко замкнутые линейные подпространства нормированного пространства будут на- зываться подпространствами нормированного пространства.

Например, в пространстве C a, b непрерывных функций с указанной нормой

многочлены образуют подпространство соответствующего линейного пространст- ва, но не замкнутое. Следовательно, это подпространство не будет подпространст- вом нормированного пространства C a, b. В конечномерном нормированном про-

странстве ситуация проще. Там любое линейное подпространство обязательно замкнуто.

Совокупность элементов (не обязательно замкнутую), содержащую вместе с x, y их произвольную линейную комбинацию x y (подпространство линейного простран- ства), будем в случае нормированных пространств называть линейным многообразием.

Для нормированных пространств, являющихся частным случаем линейных про- странств, сохраняются все определения и результаты, полученные для линейных пространств. Например, такие понятия, как наименьшее подпространство, порож- денное подпространство, линейная оболочка и т. д.

В теории нормированных пространств замыкание линейной оболочки произволь- ного непустого множества x называется подпространством, порожденным эле-

ментами x. (Можно доказать, что указанное замыкание действительно будет линейным подпространством.)

Система элементов x нормированного пространства L называется полной, если по-

рождаемое ею линейное многообразие имеет замыкание, совпадающее со всем про- странством L. Иначе говоря, если порождаемое ею подпространство совпадает с L.

Пример 2. Система функций 1, t, t 2, t 3,..., tn,... полна в пространстве непрерыв- ных функций C a, b.

Евклидовы пространства

В евклидовых пространствах вводится понятие скалярного произведения, а уже на его основе определяется норма.

Пусть в действительном линейном пространстве L задан функционал L L R. Значение этого функционала называется скалярным произведением и обозначается

x, y,

x L,

y L, если выполняются следующие условия:

1. x L:

2. x, x

x, x 0.

0 x 0.

3. x, y x, y, R.

4. x 1

x 2,

y x 1,

y x 2, y.

5. x, y y, x.

Линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Иногда евклидовы пространства называются предгиль- бертовыми пространствами, а для скалярного произведения используется обозна-

чение y.

Норма в евклидовом пространстве вводится формулой

x x, x.

Можно проверить, что все аксиомы нормы оказываются при этом выполненными. В евклидовом пространстве может быть задан угол между векторами. Для ненуле-

вых векторов x L, y L угол определяется выражением

cos

x, y.

x y

Можно доказать, что, как и должно быть, правая часть равенства не превосходит единицы.

Если для ненулевых векторов

x L,

y L имеем

x, y

0, то /2, а векторы

x и y называются ортогональными.

Система ненулевых векторов x из L называется ортогональной, если они попар- но ортогональны:

x, x 0.

Счетность множества x не предполагается.

Упражнение 1. 6

Доказать, что если векторы xα

ортогональны, то они линейно независимы.

Если система векторов (семейство элементов) x ортогональна и полна в L, то она называется ортогональным базисом пространства L. Если при этом

: x 1, то имеем ортогональный нормированный базис или ортонормальный

базис. Если x — ортогональная система, то x x — ортонормальная.

Примеры евклидовых пространств.

1. Пространство действительных чисел R. Скалярное произведение — обычное произведение действительных чисел.

2. Rn

— n - мерное арифметическое пространство с элементами вида

x x 1, x 2,..., xn

, где

xi — действительные числа. Операции сложения и ум-

ножения на числа — общеизвестны, а скалярное произведение задается соотно-

шением x, y xiyi.

i 1

3. Линейное пространство C 2

a, b непрерывных на

a, b действительных функ-

ций со скалярным произведением

f, g f t g t dt

является евклидовым пространством. Можно установить, что все аксиомы ска- лярного произведения оказываются выполненными.

В этом случае норма, очевидно, задается выражением

f 2 f, f

f t 2 dt.

Индуцированная этой нормой метрика имеет вид

d f, g f g

f t g t

2 dt

1/2

что совпадает с ранее введенной метрикой при наделении данного множества

функций структурой метрического пространства и выборе обозначения C 2

a, b.

Одним из ортогональных базисов пространства C 2

рическая система функций:

a, b является тригономет-

1 2, cos n 2 t, sin n 2 t n 1, 2,....

b a b a

4. Ранее рассматривалось также метрическое пространство C 2

a, b с метрикой

d f, g

Норма определялась формулой

max

t a, b

f t g t.

f max

t a, b

f t.

(Было установлено, что это банахово пространство.)

Поставим вопрос, можно ли наделить данное нормированное пространство структурой евклидова пространства. Для этого достаточно задать вышеприве- денную норму с помощью некоторого скалярного произведения:

x x, x.

Можно показать, что ответ будет отрицательным. Норму пространства C a, b нель-

зя задать с помощью скалярного произведения. Таким образом, не все нормирован- ные пространства можно "превратить" в евклидовы пространства. Евклидовы про- странства составляют лишь часть нормированных пространств. Еще раз отметим, что

пространство C a, b дает пример банахова, но не евклидова пространства.

Можно доказать следующее утверждение (характеристическое свойство евклидо- вых пространств).

Теорема 1.8. Для того чтобы нормированное пространство L было евклидовым,

необходимо и достаточно, чтобы для x, y L выполнялось равенство

x y 2

Доказательство опускаем.

x y 2

2 x 2

y 2.

Теорема 1.9 (процесс ортогонализации Шмидта). Пусть

f 1,

f 2,...,

fn,...

есть линейно независимая (счетная) система векторов в евклидовом пространстве

L. (Ясно, что в эту систему не могут входить нулевые векторы, иначе получим ли- нейную зависимость). Тогда в L существует система векторов

Такая, что:

1. i — ортонормальна.

1, 2,...,

n,...,

2. n nifi, причем nn 0.

i 1

(Переход от линейно независимой системы векторов к ортогональной называет- ся процессом ортогонализации.)

Доказательство. Положим

1 f 1, n fn 1, i n n 1 fn 1 2 i fn 1 i fi. i 1 i i 1

(1.3)

В этом случае вектор вительно,

n 1 будет ортогонален всем векторам

i, i

1,..., n. Дейст-

Для n

1 имеем

n 1,

j fn 1, j

n fn 1, i

i 1 i

i, j.

2 f 2

f 2, 1

2 1.

Но 1

f 1, поэтому

2 f 2

f 2, f 1 f 1

f 1,

, f,

f 2, f 1 f,

f, f

f 2, f 1

f 2 0.

1 2 2 1

2 1 1 2 1 2 1

f f

1 1

Установлена ортогональность 1 и 2. Покажем по индукции, что система векто-

ров 1,..., n,..., построенная согласно выражению (1.3), ортогональна.

Пусть 1,..., n уже построены и ортогональны. Покажем, что тогда вектор n 1

будет ортогонален всем

i, i

1,..., n.

Имеем (для любого фиксированного j 1,..., n:

n 1,

j fn 1, j

n fn 1, i

i 1 i

i, j

fn 1, j

j, j 0.

(Очевидно, в данном выражении только одно слагаемое суммы не равно нулю,

а именно слагаемое с индексом i j. Остальные слагаемые равны нулю, т. к. i,

i 1,..., n ортогональны и

i, j

0, i j.)

Последнее соотношение может выполняться и если в результате процедуры (1.3) будут все время получаться нулевые векторы. Покажем, что это невозможно из-за

линейной независимости системы векторов

f 1,

f 2,...,

fn,...

Действительно, пусть

получили

n 1 0, тогда

n fn 1, i n f,

n 1 2

i i i

i 1 i i 1

что противоречит линейной независимости

f 1,

f 2,...,

fn,...

Следовательно

n 1 0. Для окончательного доказательства теоремы достаточно положить

Теорема доказана.

n n.