Задачи на нахождение четвёртого пропорционального

 

В задачах этого типа даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым.

Для любых трёх величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Рассмотрим на примере задач с величинами цена, количество, стоимость [1].

В таблице дана классификация задач на нахождение четвёртого пропорционального с величинами цена, количество, стоимость.

Как видно из таблицы, первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью между величинами, а две последние - с обратно пропорциональной.

В III классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью (I-IV виды), при этом рассматриваются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; ёмкость одного сосуда, число сосудов, общая ёмкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В IV классе рассматривается решение всех шести видов задач, вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь, весь урожай.

Таблица 1

Вид задачи	Величины	Задача
Цена	Количество	Стоимость
I	Постоян- ная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое искомое	За 3 кг яблок заплатили 150 р. Сколько надо уплатить за 6 кг яблок по такой же цене?
II	Постоян- ная	Дано одно значение, другое является искомым	Даны два значения	За 6 кг яблок уплатили 180р. Сколько килограммов яблок можно купить по такой же цене на 150 р.?
III	Даны два значения	Постоянное	Дано одно значение, а другое является искомым	За кусок льняного полотна ценой по 20 р. за метр уплатили 80 р. Сколько уплатили за кусок шерсти такой же длины, если ее цена 40 р. за метр?
IV	Дано одно значение, другое является искомым	Постоянное	Даны два значения	За кусок шерсти ценой по 40 р. за метр уплатили 160 р., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 80 р. По какой цене покупали льняное полотно?
V	Даны два значения	Дано одно значение, а другое - искомое	Постоянная	За 6 тетрадей в клетку ценой по 10 руб. уплатили столько же, сколько за тетради в линейку ценой по 12 р. Сколько купили тетрадей в линейку?
VI	Дано одно значение, другое - искомое	Даны два значения	Постоянная	За 5 тетрадей в линейку ценой по 12 р. уплатили столько же, сколько за 6 тетрадей в клетку. По какой цене покупали тетради в клетку?

 

Основной способ решения задач на нахождение четвёртого пропорционального - способ нахождения значения постоянной величины (название способа детям не сообщается). Некоторые задачи решаются способом отношений.

Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвёртого пропорционального должна предусмотреть ознакомление с величинами и связями между ними.

Ознакомление с рядом величин (длина отрезка, масса, ёмкость, время, площадь) ведётся в непосредственной связи с изучением арифметического и геометрического материала. Для введения задач на нахождение четвёртого пропорционального необходимо ознакомить детей с такими величинами, как цена, количество, стоимость, скорость и др. Причём ознакомление с ними должно вестись одновременно с раскрытием связей между пропорциональными величинами. Например, при ознакомлении с величинами цена, количество, стоимость можно провести на уроке игру в магазин или организовать экскурсию в магазин (см. [1], с. 226).

На других уроках раскрываются связи: если известны стоимость и количество, то можно найти цену действием деления; если известны стоимость и цена, то можно найти количество действием деления и т.д.

Для закрепления знания связей между величинами надо включать простые задачи для устного решения, при этом полезно выполнять упражнения на составление и решение обратных задач по отношению к данной простой задаче. Кроме того, для письменного решения следует предлагать составные задачи с теми же величинами, например: «Купили 5 тетрадей по 9 р. и ластик за 2 р. Сколько заплатили за всю покупку?».

Аналогично проводится в IV классе работа ещё над двумя группами величин: скорость, время, расстояние и длина прямоугольника, его ширина, площадь. Связи между величинами из других групп, как считают методисты, учащиеся могут установить сами, поскольку они перенесут знания о связях, усвоенных ранее.

М.А. Бантова [1] предлагает одновременно с закреплением знаний о связях между величинами в процессе решения простых, а затем составных задач, наблюдать за изменением одной из трёх величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей. Например, предлагается упражнение в решении ряда односюжетных задач: «Блокнот стоит 5 р. Сколько будут стоить 2 блокнота; 3 блокнота; 4 блокнота; 12 блокнотов; а блокнотов?». Решение целесообразно записать в таблице:

 

Цена блокнота
Число блокнотов					а
Стоимость блокнотов					5 • а

 

Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении или уменьшении числа блокнотов их стоимость увеличивается или уменьшается, если блокноты покупают по одной и той же цене. Можно пронаблюдать, что при увеличении (уменьшении) числа блокнотов в несколько раз при неизменной цене, стоимость блокнотов увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

После проведённой подготовительной работы решение задач на нахождение четвёртого пропорционального способом нахождения значения постоянной величины не вызывает затруднений у учащихся.

Первыми включаются задачи с величинами: цена, количество, стоимость, поскольку дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причём сначала надо рассмотреть задачи первого вида. Первые из рассматриваемых задач, по мнению методистов, полезно иллюстрировать рисунком и выполнить краткую запись в виде таблицы.

Приведём полное рассуждение ученика в процессе решения задачи на нахождение четвёртого пропорционального.

Задача. Ученик купил по одинаковой цене 8 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. За тетради в клетку он уплатил 16р. Сколько он уплатил за тетради в линейку?

Мне известно, что ученик купил по одинаковой цене 8 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. За тетради в клетку он заплати 16 р.

Надо узнать, сколько заплатил ученик за тетради в линейку.

Запишу задачу кратко (в виде таблицы):

 

Объекты	Цена	Количество	Стоимость
Т. в кл. Т. в лин.	Одинаковая	8 т. 5 т.	16 р. ? р.

 

Затем выполняется разбор задачи либо от вопроса к числовым данным, либо от числовых данных к вопросу.

Рассмотрим разбор задачи от числовых данных к вопросу.

Если я знаю, что стоимость тетрадей в клетку - 16 р., их количество - 8 тетр., то могу узнать цену действием деления.

Если я буду знать цену тетради в линейку (она такая же, что и цена тетради в клетку) и их количество - 5 тетрадей, то смогу узнать стоимость тетрадей в линейку действием умножения, и отвечу на вопрос задачи.

Одновременно с устным выполнением разбора ученик может в таблице с краткой записью задачи фиксировать ход размышления (см. таблицу).

Составляю план решения: сначала действием деления узнаю цену тетради, затем действием умножения узнаю стоимость тетрадей в линейку.

Запишу решение задачи по действиям с полным пояснением:

1. 16: 8 = 2 (р.) - цена тетради,

2. 2 • 5 = 10 (р.) - стоимость тетрадей в линейку.

Ответ: 10 рублей.

(Отвечаю на вопрос задачи: стоимость тетрадей в линейку 10 рублей.)

Проверка решения задач может быть выполнена способом составления и решения обратных задач, способом установления границ искомого числа и др.

На основе анализа полного рассуждения ученика мы видим, что на этапе подготовки к решению задач данного типа ребёнок должен усвоить понятия о цене, количестве, стоимости и связях между ними, о чём и велась речь ранее.

Ознакомление с задачей данного типа можно провести по-разному: можно предложить для решения готовую задачу или на основе предложенного рисунка составить самим детям задачу. Работа над задачей ведётся в соответствии с заданиями памятки по решению составной задачи.

Решение первых задач следует записывать с пояснениями, затем по указанию учителя. Форма записи (по действиям, выражением по ступенькам, сразу выражением) также оговаривается учителем.

В целях обобщения способа решения после рассмотрения нескольких задач первого вида с величинами цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов. Проводятся также различные упражнения творческого характера. Особенно полезны упражнения по сравнению задач различных видов, связанных с одной какой-либо группой величин. Например, предлагаются для самостоятельного решения задачи I, III и V видов с величинами цена, количество, стоимость. После решения устанавливают сходство и различие между ними.