Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

 

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач
на нахождение неизвестных по двум разностям [1].

 

 

Таблица 3

 

Вид задачи	Величины	Задача
Цена	Количество	Стоимость
I	Постоянная	Даны два значения.	Дана разность значений, соответст. количеству. Найти каждое значение.	Купили по одинаковой цене 5 м шелка и 3 м полотна. За шелк заплатили на 240 р. больше, чем за полотно. Сколько заплатили за шелк и полотно в отдельности?
II	Постоянная	Дана разность значений, соответст. стоимости. Найти каждое значение.	Даны два значения.	Купили по одинаковой цене шелк и полотно. За шелк заплатили 600 р., за полотно 360 р. Шелка было на 2 м больше, чем полотна. Сколько купили метров шелка и полотна в отдельности?

 

Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя.

После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы:

 

Объекты задачи	Цена	Количество	Стоимость
Полотно Шерсть	Одинаковая	14 м 10 м	? р., на 280 р. б. ? р.

 

- За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? (За 10 м.)

- Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м?
(280 р.)

- Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.)

Далее выполняется формальный разбор от числовых данных.

4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р.

6) Действием вычитания.

4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р.

5а) Могу узнать цену полотна.

6а) Действием деления.

4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество.

5б) Могу узнать стоимость полотна.

6б) Действием умножения.

4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше.

5в) Могу узнать стоимость шерсти.

6в) Действием вычитания.

7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти.

8. Запишу решение по действиям с полным пояснением:

1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.;

2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти);

3) 70•14=980(р.) - стоимость полотна;

4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти.

Ответ: 980 р. и 700 р.

На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств).

В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи:

1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше?

2) Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку.

 

К. 9 т.

 

Л. 5 т.

 

Учитель предлагает прочитать вторую задачу и, обращаясь к тому же чертежу, проводит беседу:

- Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже.

- Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже.

- За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.)

- Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.)

- Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.)

- Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами.

Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.