Координаталар жүйесін арнайы таңдау және Денавит-Хартенберг әдісімен координаталар жүйесін біртекті түрлендіру.

Көптеген белгілі манипуляторларда ілгерілемелі кинематикалық жұптардың айналмалы және бағыттаушы осьтері, ереже бойынша, параллельді немесе өзара перпендикуляр. Осьтер мен бағыттауыштардың осындай жағдайларына Д-Х ұсынысы басқа әдістермен салыстырғанда қолданған кезде артықшылықтары бар. Денавит-Хартенберг әдісіне сәйкес, і және і-1 буындарынан тұратын, кинематикалық жұптарға арналған ортогональді координаталар жүйесі келесі түрде таңдалып алынады: Z_i-1 координатасының осі айналмалы кинематикалық жұп үшін айналу осінің бойымен немесе ілгерілемелі жұп үшін бағыттауыш бойымен бағытталады (7-сурет). Буынмен қатты байланысқан O_iX_iY_iZ_i координаталар жүйесінің басы Z_i және Z_i-1 осьтерінде жатқан жазықтыққа перпендикуляр және Z_i осінің қиылысында немесе Z_i және Z_i-1 осьтерінің қиылысу нүктелерінде, ал егер Z_i және Z_i-1 осьтері бір-бірімен беттесетін немесе бір-біріне параллель болса і, і-1 буындарынан тұратын кинематикалық жұптың кез-келген нүктесінде жатады.

Тіреуішпен байланысқан координаталар жүйесінің басы қандай-да бір буынмен тіреуіштен түзілген кинематикалық жұпта бағыттауыш немесе осьтің кез-келген нүктесінде жатады. X_i осі қатынасына сәйкес Z_i және Z_i-1 осьтеріне перпендикуляр немесе егер, олар параллель болса, Z_i және Z_i-1 осьтеріне тұрғызылған жалпы нормальдың бойымен бағытталған. Жалпы жағдайда, X_i осінің бағыты Z_i және Z_i-1 осьтеріне перпендикулярдың бойымен және осы перпендикулярдың Z_i-1 осімен қиылысу нүктесінен таңдалынып алынады. Егер Z_i және Z_i-1 осьтері бір жазықтықта жататын және қиылысатын немесе беттесетін болса, онда X_i осі осы жазықтыққа перпендикуляр бағытталады. X₀ осі жұмысшы органы жаққа бағытталады. Y_i осі оң жақ координаталар жүйесін түзетіндей етіліп бағытталады. Қарпығыш құрылғымен (манпулятордың соңғы буынымен) байланысқан O_nX_nY_nZ_n координаталар жүйесін таңдау жалпы ережеге бағынбайды және ұстағыштың центрі деп аталатын нүктеде басымен немесе осьтердің еркін бағдарлануымен жұмысшы органының сипаттамалық нүктесінде таңдалынады.

· X_i осінің бойымен есептелініп алынған, Z_i және Z_i-1 осьтерінің арасындағы ең қысқа ара қашықтық a_i деп белгіленген және і-ші буынның ұзындығын береді.

· і және і-1 координаталар жүйесінің бастары арасындағы Z_i-1 осінің бағыты бойынша өлшенетін ара қашықтық буындық ара қашықтық s_i деп аталады.

· X_i осінің X_i-1 осіне көлбеулігі q_i деп белгіленеді және мүшеленулердегі бұрыштардың векторының құраушысы болып табылады.

· Z_i және Z_i-1 осьтерінің бір-біріне қатысты бағдары _iбұралу бұрышы векторының компоненті болып табылады.

Д-Х ұсынысы бойынша көрсетілген төрт айнымалылар: a_i,s_i,q_i, _i і-буынының і-1 буынға қатысты орнын толығымен сипаттайды.

Егер әрбір буынмен байланысқан координаталар жүйесі Денавит-Хартенберг ұсынысы бойынша енгізілген болса, онда біртекті түрлендіру матрицасын 4х4 тік төртбұрышты матрица түрінде оңай алуға болады. Геометриялық мағынасында біртекті түрлендіру матрицасы і-1-нші буынмен байланысқан і-1 координаталар жүйесіне қатысты і-нші буынмен байланысқан і-нші координаталар жүйесінің орнын анықтайды. Біртекті түрлендіру матрицасымен сипатталатын толық біртекті түрлендіру қарапайым қозғалыстардың – айналулар мен жылжулардың композициясы түрінде алынуы мүмкін.

Демек, біртекті түрлендіру матрицасы координаталар жүйесінің беттескенінше қарапайым қозғалыс матрицасының көбейтіндісі ретінде алынуы мүмкін. Қарапайымқозғалыстардыңбіртектіматрицаларыналуүшін Д-Х ұсынысынқолданамыз.

7-суреттекинематикалықжұптүзетін і және і-1 буындарыкөрсетілген. БуындардыңәрқайсысыменДенавит-Хартенбергбойыншакоординаталаржүйесібайланысқан.

Егер әрбір жағдайда, келесі қарапайым қозғалыстар көмегімен і-1 жүйені і-нші жүйемен беттестірсек, онда әр қозғалыс біртекті түрлендіру матрицасы арқылы сипатталады:

 

 

7-сурет. Координаталаржүйелері осьтерінтаңдау

 

1. X_i-1 осі X_i осіне параллель болғанша і-1 жүйесін Z_i-1 осін айнала q_i бұрышына бұру. Бұлқозғалысқарапайымайналудыңбіртектіматрицасыменсипатталуымүмкін

 

(2.1)

 

( Мұнда және әрі қарай С және S арқылы сәйкесінше Cos және Sin тригонометриялық функциялары белгіленген );

2. X_i және X_i-1 осьтері бір түзудің бойында жатпайынша немесе параллель болғанша алынған жүйені Z_i-1 осінің бойымен s_i шамасына орын ауыстыру. Сонда, қарапайымығысудыңбіртектіматрицасы

 

(2.2)

түріндеболады;

3. Екі координаталар жүйелерінің басы қосылғанша жоғарыда алынған жүйені X_i-1 осінің бойымен а_i өлшеміне ығыстыру. Бұлжағдайдақарапайымығысудыңбіртектіматрицасы

 

(2.3)

тең болады;

4. Координаталар жүйелері толығымен қосылғанша координаталар жүйесін X_i-1 осін айнала бұрышына бұру. Бұл қозғалыс біртекті айналу матрицасымен сипатталады

 

 

. (2.4)

Сонымен, жоғарыда көрсетілген төрт қарапайым қозғалыстардың әрқайсысына төрт тік төртбұрышты біртекті түрлендіру матрицасы сәйкес келеді.

Толық біртекті түрлендіру матрицасы A_i келешекте і-нші және і-1-нші буындардан тұратын кинематикалық жұптың матрицасы деп аталынады. Осы матрица алынған матрицалардың (2.1-2.4) көбейтіндісі ретінде анықталады:

 

. (2.5)

Көбейтулер нәтижесінде і-ші кинематикалық жұптың матрицасы алынды

 

. (2.6)

 

Егер r _i=(x_i, y_i, z_i, 1)^T – і-ші буынның координаталар жүйесіндегі бір нүктенің біртекті координатасының кеңейтілген векторы, ал r _i-1=(x_i-1,y_i-1,z_i-1,1)^T – і-1 буынының координаталар жүйесіне қатысты сол нүктенің біртекті координатасының кеңейтілген векторы болса, онда келесі түрдегі матрицалық теңдік дұрыс болады:

 

r _i-1 = A^i-1 _i r _i. (2.7)

 

A _i (2.6) матрицасы элементтерінің ішінде бірқозғалысты кинематикалық жұп үшін тек бір ғана элемент айнымалы болып табылады, ал басқа үшеуі кинематикалық жұптың тұрақты геометриялық көрсеткіштерін сипаттайды. Механизм буындары нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері (2.7) теңдікті дифференциалдау арқылы анықталады. Сондықтан, A _i матрицасын дифференциалдау кезінде қолданылған кейбір өрнектер төменде келтірілген.

Жалпы түрде еркін жалпыланған координата q_i бойынша A _i матрицасынан туынды

(2.8)

тең болады.

Мұндағы W _I Z_i-1 осінің бойымен ілгерілемелі кинематикалық жұп болған жағдайда мына түрде анықталады:

 

(2.9)