Манипулятордың кинематикасы.

Жоғарыда айтылғандай, кинематикалық қателіктердің пайда болуының негізгі себептері – нәтижесінде жылдамдықтар мен үдеулердің жалпыланған координаталарының іс жүзіндегі мәндері программалық мәндерден ерекшеленетін, жетек қозғалтқыштарымен өтеу кезінде кинематикалық сипаттамалардың ауытқуы болып табылады.

Төменде жалпыланған координаталар мәндерінің программалық мәндерінен ауытқуларының кинематикалық қателіктерге әсері қарастырылады. Жалпыланған координаталардың программалық мәндері болып кинематиканың кері есебін шешу нәтижесінде алынған жалпыланған координаталардың мәні түсіндіріледі.

 

 

15-сурет. Қателікті анықтаудың есептік сұлбасы

 

Программалық қозғалыстарды орындау кезінде манипулятордың шығыс буыны (ұстағыш) әрбір уақыт моментінде кеңістікте анықталған орынға иеленуі тиіс. Кеңістіктегі еркін дененің орны сияқты ұстағыштың орны қандай-да бір нүктенің координаталарымен (ұстағыш центрі) және ұстағыш осінің бағытымен анықталады. Бірақ, жалпыланған координаталардың программалық мәні q_p олардың нақты мәндерінен q_r (i=1,…,n) шамасына ерекшеленеді, ұстағыштың нақты орны программамен қарастырылған орыннан ерекшеленеді (15-сурет). Осы ауытқу да манипулятордың кинематикалық қателігі ретінде анықталады. Кинематикалық қателік сызықтық және бұрыштық кинематикалық қателіктерді есептеу жолымен анықталады.

Ұстағыштың программалық орны қозғалмайтын координаталар жүйесіне қатысты C_PX_PY_pZ_p координаталар жүйесінің ұстағышына байланысты орнымен анықталынады. C_rX_rY_rZ_r координаталар жүйесінің орнымен анықталатын ұстағыштың нақты орны программалықтан ерекшеленеді. векторы манипулятордың сызықтық қателігін анықтайды. C_PX_PY_pZ_p және C_rX_rY_rZ_r координаталар жүйелерінің осьтері өзара параллель болатындай етіп, ұстағышты бұруға қажетті бұрыш бұрыштық қателік болып табылады. Осылай болуы мүмкін, себебі белгілі Даламбер-Эйлер теоремасының негізінде қозғалмайтын нүктесі бар (қазіргі жағдайда ұстағыштың центрі С) қатты денені бұрышына осы нүктені айнала бір бұрылыспен бір орыннан екінші бір орынға ауыстыруға болады.

Манипулятордың сызықтық қателігін анықтаудың әртүрлі тәсілдерін қарастырайық.

Егер манипулятордың кинематикасының кері есебінің шешуі бар болса, онда көп айнымалы функциялардың дифференциалдарының формулаларын қолдану ыңғайлы болып табылады. Себебі, ұстағыштың орнын анықтайтын векторы q_i жалпыланған координаталардың функциясы болып табылады, аз шамалы сызықтық қателікті есептей отырып және дифференциалдарды ақырлы өсімшелермен ауыстырып, сызықтық қателік векторы үшін төмендегі өрнекті аламыз

. (3.32)

Қолдануға ыңғайлы болуы үшін (2.97) векторлық теңдікті қозғалмайтын координаталар осьтеріне проекциялары бойынша жазамыз:

; ; .

Мұндағы - сәйкесінше X₀, Y₀, Z₀ осьтері бойынша тұрақтандыру қателігі.

Сызықтық қателік модульын төмендегі теңдіктің көмегімен есептеуге болады:

. (3.33)

Кинематикалық зерттеулер кезінде алынған түрлендіру матрицаларын қолдана отырып сызықтық қателікті анықтауға болады. Матрицалық түрде С нүктесінің координаталарын (15-сурет) (2.19) матрицалық теңдіктің көмегімен анықтауға болады. (2.18) ескеріп, 2.19 теңдіктен дифференциал ала отырып, төмендегі түрде жазамыз:

. (3.34)

Мұндағы ұстағышпен байланысқан, координаталар жүйесіне қатысты ұстағыштың координаталар центрлерінен тұратын біртекті вектор-баған. Мұнда, жоғарыда көрсетілген мысалдағыдай, векторлық теңдік (3.34) координаталар осьтеріне проекцияланады. Содан соң, координаталар осьтері бойынша сызықтық қателіктер анықталынады және (3.33) теңдіктің көмегімен сызықтық қателіктің модульы есептелінеді.

Бұру матрицалары.

Өлшемі бұру матрицасын евклидті кеңістікте орынды анықтайтын үш өлшемді векторды түрлендіру матрицасы ретінде анықтауға боолады, ол вектордың координаттарын бұрылған (байланысқан) санақ жүйесінен абсолютті санақ жүйесіне ауыстырады. 1-суретте екі оң ті бұрышты координаттар жүйесі көрсетілген. Бұл жүйелердің бастары беттескен және нүктесінде орналасқан.

1-сурет. Абсолютті және байланысқан координаттар жүйелері

 

Үш өлшемді кеңістікте жүйесі бекітілген және абсолютті деп қабылданған, ал координаттар жүйесі абсолютті жүйесімен салыстырғанда айналады. Физикалық түрде жүйесі байланысқан координаттар жүйесі ретінде қарастырылады. Бұл дегеніміз, ол қатты денемен қатаң бекітілген (мысалы, ұшатын аппараттармен немесе манипулятордың буынымен) және онымен бірге қозғалады. және және жүйелерінің остерінің бағыттарымен сәйкес бағытталған бірлік векторлар болсын. Кеңістіктің қандайда бір нүктесін көрсетілген жүйелердің кез-келгенімен салыстырғанда координаттарымен сипаттауға болады. Талқылау қарапайымдау болу үшін, нүктесі санақ жүйесімен бекітілген және қозғалмайды деп санайық. Сонда нүктесі және жүйелерінде келесі сәйкес координаттарға ие болады

 

және , (1.1)

 

мұндағы және векторлары сол бір нүкте, нүктесінің орнын әр түрлі санақ жүйелерімен салыстырғанда сипаттайды. Вектордың немесе матрицаның белгілеуіне қосымша жоғарыда тұрған индексі, транспонирования операциясын көрсетеді.

Біздің мақсатымыз, жүйесі бұрылғаннан соң координаттарын жүйесіндегі координаттарына түрлендіретін өлшемі матрицасын анықтау, яғный

 

(1.2)

 

Байқайтынымыз, физикалық түрде нүктесі координаттар жүйесімен бірге бұрылады.

Векторладың компоненттерінің анықтамасынан алатынымыз

 

(1.3)

 

Мұндағы және , және остерінің бойына сәйкес векторының құрашыларын көрсетеді, немесе векторының осы остерге проекциялары. Сонымен, скалярлы көбейтудің анықтамасын және (1.3) теңдігін пайдалана отырып, алатынымыз

 

(1.4)

 

Немесе матрицалық түрде

 

(1.5)

 

Осы өрнекті ескере отырып (1.2) теңдігідегі мына түрді қабылдайды

 

. (1.6)

 

Сол сияқты, координаттарын координаттарынан алуға болады:

 

(1.7)

 

(1.8)

 

екенін байқайық. Ары қарай, (1.2) шығатыны

 

(1.9)

 

Сонда (1.7) және (1.9) формулаларынан және қатынасынан шығатыны

 

(1.10)

 

Байқайтынымыз, мұндағы өлшемі бірлік матрицасы. Бұдан шығатыны,

 

(1.11)

 

Одан

 

. (1.12)

 

 

(1.2) және (1.7) формулаларымен анықталатын түрлендірулер отртогональді түрлендіру деп аталады, ал скалярлы көбейтінділерге кіретін векторлар бірлік векторлар болғандықтан, оны ортонормальді түрлендіру деп те атайды.

матрицасы сонымен қатар бағыттаушы косинустар арқылы өрнектелуі мүмкін. Мысалы, мұндағы - және остерінің арасындағы бұрыш. Басқа символдар арқылы белгіленген матрицасы келесі түрде жазылады

 

немесе (1.13)

 

 

(1.14)

 

или (1.13)

 

 

(1.14)

 

-дің (1.13) өрнегіндегі баған-векторлар координаттар жүйесінің бірлік базалық векторларының координаттар жүйесіне проекцияларын көрсетеді. Екінші жағынан, вектор қатарлар координаттар жүйесінің бірлік базалық вектоларының координаттар жүйесіндегі компоненттерін көрсетеді.

жүйесінің жүйесімен салыстырғандағы негізгі остеріне қатысты бұрылу матрицаларын қарастырудың мәні үлкен. Егерде жүйесінің кеңістіктегі орны осы жүйенің осінің бойымен бұрышына бұрылуынан өзгеретін болса, онда жүйесіндегі, жүйесіндегі өзгермейтін координаттары бар нүктесінің координаттары өзгереді. Осыған сәйкес келетін түрлендіру матрицасы осі бойымен бұрышына бұру матрицасы деп аталады. Жоғарыда алынған нәтижелерге сүйеніп, матрицасы үшін төмендегі теңдікті аламыз

 

(1.15)

 

сонымен қатар болғадықтан

 

(1.16)

2-сурет. Айналып тұрған координаттар жүйесі.

 

 

Сол сияқты, осімен және осімен бұрышына бұратын, үш өлшемді (өлшемі ) бұру матрицалары сәйкес келесі түрлерге ие болады (2-сурет):

 

(1.17)

 

 

(1.18)

 

, және матрицалары элементарлы бұру матрицалары деп аталады. Кез-келген басқа күрделі бұру матрицаларын, элементарлы бұру матрицаларын пайдалану арқылы алуға болады.

 

 

Эйлер түрлендіруі (Эйлер бұрыштары)

 

 

 

3-сурет. Эйлер бұрыштары.

 

және координаттар жүйелерін беттестіру үшін бұруларын операцияларын жасайық (3-сурет).

1. координаттар жүйесін осінің бойымен бұрышына (дененің өздік бұрылу бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

2. координаттар жүйесін осі бойымен бұрышына (нутация бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

3. координаттар жүйесін осі бойымен бұрышына (прецессия бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

Сонда қорытынды матрицаның нәтижесін келесі түрде жазамыз

 

 

 

 

(1.19)