Эйлер түрлендіруі (Эйлер бұрыштары).Кез-келген осьтің бойымен бұру матрицасы.

Өлшемі бұру матрицасын евклидті кеңістікте орынды анықтайтын үш өлшемді векторды түрлендіру матрицасы ретінде анықтауға боолады, ол вектордың координаттарын бұрылған (байланысқан) санақ жүйесінен абсолютті санақ жүйесіне ауыстырады. 1-суретте екі оң ті бұрышты координаттар жүйесі көрсетілген. Бұл жүйелердің бастары беттескен және нүктесінде орналасқан.

1-сурет. Абсолютті және байланысқан координаттар жүйелері

Үш өлшемді кеңістікте жүйесі бекітілген және абсолютті деп қабылданған, ал координаттар жүйесі абсолютті жүйесімен салыстырғанда айналады. Физикалық түрде жүйесі байланысқан координаттар жүйесі ретінде қарастырылады. Бұл дегеніміз, ол қатты денемен қатаң бекітілген (мысалы, ұшатын аппараттармен немесе манипулятордың буынымен) және онымен бірге қозғалады. және және жүйелерінің остерінің бағыттарымен сәйкес бағытталған бірлік векторлар болсын. Кеңістіктің қандайда бір нүктесін көрсетілген жүйелердің кез-келгенімен салыстырғанда координаттарымен сипаттауға болады. Талқылау қарапайымдау болу үшін, нүктесі санақ жүйесімен бекітілген және қозғалмайды деп санайық. Сонда нүктесі және жүйелерінде келесі сәйкес координаттарға ие болады

және , (1.1)

мұндағы және векторлары сол бір нүкте, нүктесінің орнын әр түрлі санақ жүйелерімен салыстырғанда сипаттайды. Вектордың немесе матрицаның белгілеуіне қосымша жоғарыда тұрған индексі, транспонирования операциясын көрсетеді.

Біздің мақсатымыз, жүйесі бұрылғаннан соң координаттарын жүйесіндегі координаттарына түрлендіретін өлшемі матрицасын анықтау, яғный

(1.2)

Байқайтынымыз, физикалық түрде нүктесі координаттар жүйесімен бірге бұрылады.

Векторладың компоненттерінің анықтамасынан алатынымыз

(1.3)

 

Мұндағы және , және остерінің бойына сәйкес векторының құрашыларын көрсетеді, немесе векторының осы остерге проекциялары. Сонымен, скалярлы көбейтудің анықтамасын және (1.3) теңдігін пайдалана отырып, алатынымыз

(1.4)

Немесе матрицалық түрде

(1.5)

Осы өрнекті ескере отырып (1.2) теңдігідегі мына түрді қабылдайды

. (1.6)

Сол сияқты, координаттарын координаттарынан алуға болады:

(1.7)

(1.8)

екенін байқайық. Ары қарай, (1.2) шығатыны

(1.9)

Сонда (1.7) және (1.9) формулаларынан және қатынасынан шығатыны

(1.10)

Байқайтынымыз, мұндағы өлшемі бірлік матрицасы. Бұдан шығатыны,

(1.11)

Одан

. (1.12)

(1.2) және (1.7) формулаларымен анықталатын түрлендірулер отртогональді түрлендіру деп аталады, ал скалярлы көбейтінділерге кіретін векторлар бірлік векторлар болғандықтан, оны ортонормальді түрлендіру деп те атайды.

матрицасы сонымен қатар бағыттаушы косинустар арқылы өрнектелуі мүмкін. Мысалы, мұндағы - және остерінің арасындағы бұрыш. Басқа символдар арқылы белгіленген матрицасы келесі түрде жазылады

немесе (1.13)

(1.14)

или (1.13)

 

(1.14)

-дің (1.13) өрнегіндегі баған-векторлар координаттар жүйесінің бірлік базалық векторларының координаттар жүйесіне проекцияларын көрсетеді. Екінші жағынан, вектор қатарлар координаттар жүйесінің бірлік базалық вектоларының координаттар жүйесіндегі компоненттерін көрсетеді.

жүйесінің жүйесімен салыстырғандағы негізгі остеріне қатысты бұрылу матрицаларын қарастырудың мәні үлкен. Егерде жүйесінің кеңістіктегі орны осы жүйенің осінің бойымен бұрышына бұрылуынан өзгеретін болса, онда жүйесіндегі, жүйесіндегі өзгермейтін координаттары бар нүктесінің координаттары өзгереді. Осыған сәйкес келетін түрлендіру матрицасы осі бойымен бұрышына бұру матрицасы деп аталады. Жоғарыда алынған нәтижелерге сүйеніп, матрицасы үшін төмендегі теңдікті аламыз

(1.15)

сонымен қатар болғадықтан

(1.16)

2-сурет. Айналып тұрған координаттар жүйесі.

Сол сияқты, осімен және осімен бұрышына бұратын, үш өлшемді (өлшемі ) бұру матрицалары сәйкес келесі түрлерге ие болады (2-сурет):

(1.17)

(1.18)

, және матрицалары элементарлы бұру матрицалары деп аталады. Кез-келген басқа күрделі бұру матрицаларын, элементарлы бұру матрицаларын пайдалану арқылы алуға болады.

Эйлер түрлендіруі (Эйлер бұрыштары)

 

 

 

3-сурет. Эйлер бұрыштары.

және координаттар жүйелерін беттестіру үшін бұруларын операцияларын жасайық (3-сурет).

1. координаттар жүйесін осінің бойымен бұрышына (дененің өздік бұрылу бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

2. координаттар жүйесін осі бойымен бұрышына (нутация бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

3. координаттар жүйесін осі бойымен бұрышына (прецессия бұрышы) бұрайық, сонда координаттар жүйесін аламыз және

Сонда қорытынды матрицаның нәтижесін келесі түрде жазамыз

(1.19)