Многокритериальные задачи принятия решений

Во многих задачах принятия решений имеется несколько целей, которые хочет достичь ЛПР. Такие задачи сводятся к многокритериальным задачам вида:

где Х (х ₁, х ₂,… х_n) – вектор решений.

Наибольшее распространение на практике решения таких задач получил подход, связанный с работами итальянского математика-экономиста Викторио Парето. Он обеспечивает ЛПР возможность гибкого принятия решений. При оптимизации по Парето строится множество «неулучшаемых» решений, изменение каждого из которых ухудшает значение целевых функций f ₁( X ), f ₂( X ),…, f_k ( X ).

Рассмотрим наиболее распространенную на практике двухкритериальную задачу оптимизации вида:

(4.12)

(4.13)

Условия (4.13) определяют множество допустимых решений и образуют на плоскости х ₁ Ох ₂ некоторую область, каждой точке С которой соответствует точка С* в пространстве значений критериев W ₁ OW ₂ (Рис. 4.4). Ее координаты вычисляются по формулам (4.12) при х ₁ = х ₁ ^С; х ₂ = х ₂ ^С:

Рассмотрим в множестве значений критериев четыре точки A*, B*, D* и С*
(см. рис. 4.4). Точка А* является оптимальной для критерия W ₂ = f (x ₁, x ₂), так как в этой точке критерий W ₂ имеет максимальное значение. Аналогично точка В* является оптимальной для критерия W ₁ = f (x ₁, x ₂). Точка С* является «заведомо плохой» точкой, она не является оптимальной ни для одного критерия, так как в области значений критериев можно найти «более лучшую» точку D* такую, что Для точек A*, B*, D* более «лучших» точек в пространстве значений критериев не существует. Такие точки составляют множество решений, оптимальных по Парето в пространстве значений критериев. В нашем случае это точки кривой A*D*B*. Для выделения «лучших» (неулучшаемых) точек используется понятие конуса K_i с вершиной в точке() (Рис. 4.5).

Уравнения этого конуса имеют вид:

Правило выделения «лучших» точек:

Если в конусе K_i лежит хотя бы одна точка (), то она является более предпочтительной, чем точка () (см. рис. 4.5).

Тогда все точки множества значений критериев, для которых соответствующие конусы являются пустыми, являются парето-оптимальными решениями в пространстве значений критериев.

Для нашего примера конусы, построенные во всех точках кривой A*D*B*
(см. рис. 4.4), являются пустыми. Строя обратное отображение этих точек в пространство решений Х, можно получить множество искомых решений (кривая АВ на рис 4.4), оптимальных по Парето. Такое множество называется множеством компромиссов, множеством эффективных точек или множеством Парето. Построив множество компромиссов, ЛПР выбирает в нем из неформальных соображений некоторую точку, которая является наилучшим компромиссом, по мнению ЛПР.