“ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ”
для студентів спеціальності
8.092203 – електромеханічні системи автоматизаціїї
та електропривод денної форми навчання
Методичні вказівки до практичних занять за курсом “Теорія автоматичного керування” для студентів спеціальності 8.092203 – електромеханічні системи автоматизаціїї та електропривод денної форми навчання /Укл.: Є.М. Потапенко, С.Г. Деєв, В.І. Левикіна. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2010. – 48 с.
Укладачі: Є.М. Потапенко, професор, д.т.н.
С.Г. Деєв, ст. викладач
В.І. Левикіна, асистент
Рецензент: І.Д. Труфанов, професор, д.т.н.
Відповідальний за випуск: П.Г. Засипко
Затверджено
на засіданні кафедри “ЕПА”
Протокол №16
від 22.05.2007
Мета практичних занять – придбання і закріплення навичок практичного розрахунку та дослідження систем автоматичного керування.
Методичні вказівки складаються з двох частин. В першій частині вивчається класична теорія автоматичного керування. Друга частина присвячена вивченню сучасної теорії автоматичного керування. Теми практичних занять тісно пов'язані з лекційним матеріалом.
ЗМІСТ
Тема 1. Лінеаризація диференціальних рівнянь та передаточні функції 5
Тема 2. Динамічні характеристики типових ланок.......................... 9
Тема 3. Перетворення структурних схем....................................... 14
Тема 4. Дослідження стійкості САК............................................... 17
Тема 5. Побудова областей стійкості та заданого ступеня стійкості...... 23
Тема 6. Точність систем автоматичного керування...................... 27
Тема 7. Дослідження стійкості нелінійних систем методами фазових
траєкторій та В.М. Попова.................................................. 30
Тема 8. Дослідження автоколивань методом гармбалансу........... 35
Перелік посилань............................................................................. 38
ТЕМА 1 ЛІНЕАРИЗАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ
1.1 Контрольні питання
1. Визначення лінійних та нелінійних систем.
2. Фізична сутність лінеаризації.
3. Від чого залежить точність лінеаризації?
4. Перша та друга форми запису лінійного диференціального рівняння.
5. Що таке коефіцієнт передачі, коефіцієнт підсилення та постійна часу? Їх одиниці виміру.
6. Визначення передаточної функції. Її фізичний зміст.
7. Отримання по диференціальному рівнянню передаточної функції.
8. Отримання по передаточній функції диференціального рівняння.
1.2 Домашнє завдання
Скласти узагальнене диференціальне рівняння руху двигуна постійного струму, який керується по ланцюгу якоря та обмоткою збудження (рис. 1.1), а також його структурну схему. За вхідні величини прийняти напругу
ланцюга якоря 
, обмотки збудження 
і момент навантаження на валу двигуна 
, за вихідну – кутову швидкість якоря двигуна, насиченням магнітних ланцюгів і реакцією якоря знехтувати.
Двигун працює у системі стабілізації частоти обертання.
Аудиторна робота
1.3.1 Отримати з узагальненого диференціального рівняння руху двигуна постійного струму задачі домашнього завдання (рівняння (1.23) приклада) основні окремі рівняння для випадків.
1.3.1.1 Керування двигуном по ланцюгу обмотки збудження, коли 
.
1.3.1.2 Теж саме, але 
.
1.3.1.3 Керування двигуном по ланцюгу якоря, 
.
1.3.1.4 Теж саме, але .
1.3.2 Знайти диференціальне рівняння руху та передаточну функцію відносно кута повороту вала 
а при 
двигуна з незалежним збудженням, який керується по ланцюгу якоря.
1.3.3 Знайти передаточні функції двигуна постійного струму незалежного збудження, який керується по ланцюгу якоря, якщо знехтувати магнітними процесами ланцюга якоря; задачу вирішити відносно кутової швидкості 
та кута повороту вала .
1.3.4 Знайти передаточну функцію двигуна постійного струму незалежного збудження, який керується по ланцюгу якоря, якщо за вихідну величину прийняти кутову швидкість вала , за вхідну – момент навантаження 
.
1.3.4.1 З урахуванням індуктивності ланцюга якоря 
.
1.3.4.2 Без урахування індуктивності ланцюга якоря .
1.3.5 Побудувати за рівняннями (1.15)–(1.17) структурну схему двигуна.
1.3.6 Дана система рівнянь
, (1.1)
, (1.2)
, (1.3)
де 
– вхідні змінні; 
– вихідні змінні; 
– постійні коефіцієнти.
· Записати систему (1.1)–(1.3) у першій та другій формах, використовуючи постійні часу та коефіцієнти передачі.
· Для одного з рівнянь записати передаточні функції для кожної вхідної змінної.
· Побудувати структурну схему, яка відповідає системі (1.1)–(1.3).
Приклад. Задача домашнього завдання.
Рішення. Скласти рівняння напруги ланцюга збудження
(1.4)
та ланцюга якоря
, (1.5)
де 
– напруга; 
– струм; 
– активний опір; 
– індуктивність; 
– ЕРС якоря, яка обумовлена обертанням обмотки якоря у магнітному полі обмотки збудження.
Має місце рівняння моментів
(1.6)
де 
– момент інерції, який приведено до вала двигуна; 
– кутова швидкість вала двигуна.
Електромагнітний момент двигуна (обертаючий момент) 
та ЕРС якоря визначаються співвідношеннями
, (1.7)
де 
– постійні коефіцієнти.
Рівняння (1.7) – нелінійні. Далі будемо розглядати малі відхилення від стаціонарного режиму, для якого рівняння мають вигляд
, (1.8)
, (1.9)
, (1.10)
. (1.11)
Припускається, що
, 
,
, 
, 
, (1.12)
, 
,
де символ " 
" означає малі відхилення від стаціонарних значень параметрів, позначених верхнім індексом 0.
Розкладання у ряд Тейлора рівностей (1.7) у точці 
, 
, 
, 
, 
та відкидання нелінійних членів, другого порядку малості, дають рівняння
(1.13)
З урахуванням (1.11) рівняння (1.13) перетворюються до вигляду
(1.14)
Підстановка (1.12), (1.13) у (1.4)–(1.6) з урахуванням (1.8)–(1.11) та (1.14) дає
, (1.15)
, (1.16)
. (1.17)
Уведенням символу диференціювання 
рівняння (1.15)–(1.17) зводяться до вигляду
, (1.18)
. (1.19)
Підстановка 
, знайдених з (1.18) у (1.19), дає
(1.20)
У першій формі запису диференціальних рівнянь прийнято вихідну змінну () та її похідні записувати у лівій частині рівняння, при цьому коефіцієнт при повинен дорівнювати одиниці, а вхідні змінні та їх похідні записувати в правій частині. Поділивши рівняння (1.20) на 
тавводячи позначення
,(1.21)
(1.22)
рівнянню (20) можна надати наступний вигляд:
(1.23)
У (1.22), (1.23) 
– постійні часу ланцюгів збудження, якоря та електромеханічна постійна часу.
ТЕМА 2 ДИНАМІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВИХ ЛАНОК
2.1 Контрольні питання
1. Що таке типова ланка?
2. Передаточні функції диференцюючої, форсуючої, інтегруючої, ізодромної, інерційної (аперіодичної) першого порядку, коливальної, консервативної ланок.
3. Визначення часових динамічних характеристик.
4. Перелічити частотні динамічні характеристики.
5. Фізична суть амплітудної та фазової частотних характеристик.
6. Алгебраїчна, тригонометрична та показова форми представлення комплексних функцій.
7. Складання, віднімання, множення та ділення комплексних функцій.
8. Знаходження частотної передаточної функції, АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ.
9. Що таке частота сполуки?
10. Що таке частота зрізу?
2.2 Домашнє завдання
Знайти аналітичні вирази та подати графічно динамічні характеристики диференціюючої, форсуючої, інтегруючої та ізодромної ланок.
Аудиторна робота
Знайти аналітичні вирази та подати графічно динамічні характеристики інерційної, коливальної та консервативної ланок.
Приклад: Отримання динамічних характеристик коливальної та консервативної ланок.
Рішення. Диференціальне рівняння коливальної ланки може бути подано у вигляді
, (2.1)
де 
– стала часу, 
– параметр згасання.
Уведенням символу диференціювання рівнянню (2.1) надамо вигляд
звідки передаточна функція знаходиться таким чином:
. (2.2)
Характеристичне рівняння знаходиться, якщо знаменник у рівнянні (2.2) прирівняти до нуля, тобто
. (2.3)
Воно буде мати два кореня:
. (2.4)
При 
корені будуть уявними, а коливання на виході ланки – незатухаючими. Це консервативна ланка. Частота коливань 
. При 
корені будуть комлексними, а коливання на виході ланки будуть затухаючими. Це коливальна ланка. Частота коливань 
. При 
корені будуть дійсними, а перехідний процес буде аперіодичним другого порядку. У цьому випадку передаточну функцію (2.2) можна представити у вигляді
,
тобто аперіодична ланка другого порядку еквівалентна двом послідовно з'єднаним аперіодичним ланкам першого порядку. Перехідна функція являє собою реакцію ланки на одиничну східчасту дію при нульових початкових умовах і визначається виразом
. (2.5)
На рис. 2.1 показані перехідні характеристики коливальної ланки для різних значень у залежності від безрозмірного часу 
при 
. Якщо (консервативна ланка),
.
Вагова функція може бути отримана шляхом прийняття похідної від 
за часом.
Частотна передаточна функція 
отримується шляхом формальної заміни у передаточній функції (2.2) 
на 
, де 
, 
– частота 
.
. (2.6)
АЧХ знаходять як модуль частотної передаточної функції, який дорівнює відношенню модуля чисельника до модуля знаменника.
. (2.7)
У даному випадку можна записати 
, 
, 
. Частота, що відповідає співвідношенню , зветься частотою сполуки. Частота, яка відповідає максимуму АЧХ, зветься резонансною частотою і визначається залежністю
.
На рис. 2.2 зображена АЧХ.
ФЧХ визначається як аргумент частотної передаточної функції. Чисельник у (2.6) можна записати у вигляді 
. Тоді ФЧХ являтиме собою різницю аргументів чисельника та знаменника
. (2.8)
ЛАЧХ визначається за виразом
. (2.9)
Аналогічно АЧХ можна записати
.
Рівність (2.9) можна переписати у вигляді
. (2.10)
Побудова першого додатку не є складною. Другий додаток може бути побудований у функції відносної частоти для різних значень параметра згасання у вигляді універсальних (нормованих) кривих (рис. 2.3). Для побудови істинної ЛАЧХ необхідно вибрати нормовану ЛАЧХ, яка відповідає даному значенню , підняти її паралельно самій собі на 
та по осі частот від відносної частоти перейти до дійсної діленням на .
У функції тієї ж відносної частоти на рис. 2.3 нанесені нормовані ЛФЧХ, побудовані за виразом (2.8).
Для 
істинну ЛАЧХ приблизно можна замінити асимптотичною ЛАЧХ, яка будується за виразом (2.10) наступним чином.
При 
. (2.11)
Ця залежність вважається справедливою для усіх 
.
При 
. (2.12)
Ця залежність вважається справедливою для усіх 
.
Рівняння (2.11), (2.12) являють собою асимптоти істинної ЛАЧХ. Вони перехрещуються на частоті сполуки 
. На рис. 2.4 зображена асимптотична ЛАЧХ. При зміні 
на одну декаду функція (2.12) змінюється на -40 дБ, тобто її нахил складає -40 дБ/дек.
