І центрально-стиснутих елементів. Підібрати перерізи елементів стержневої конструкції, зображеної на рис

Приклад 1

Підібрати перерізи елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними:

1) характеристичне значення зосередженої сили = 1500 кН, коефіцієнт надійності за навантаженням = 1,1;

2) геометричні параметри системи: l = 3,5 м, h ₁ = 1 м, h ₂ = 6 м;

3) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 10 мм; ВС - за рис. 3, t = 8 мм;

y₁

4) матеріал елементів: елемент АВ із сталі класу С255, елемент ВС із сталі класу С235.

x₁

t = 10 мм

Рис. 2. Форма перерізу елемента АВ

x₁

t = 8 мм

x₁

y₁

l = 3,5 м

Рис. 1. Схема конструкції

Рис. 3. Форма перерізу елемента ВC

Розв’язок задачі

1) Обчислюємо довжини елементів АВ і ВС:

м;

м.

2) Обчислюємо значення кутів a, b і g:

;

Рис. 4. Розрахункова схема конструкції

3) Визначаємо граничне розрахункове навантаження

кН.

4) Обчислюємо значення зусиль в елементах АВ і ВС.

; ;

; .

Оскільки , то останній вираз можна записати:

кН;

кН.

5) За табл. 2 дод. 1 визначаємо значення R_y для елементів АВ і ВС, попередньо прийнявши товщину прокату для елемента АВ t = 30 мм і для елемента ВС t = 20 мм, оскільки ці значення є найбільшими відповідно для рівнополицевих і нерівнополицевих кутиків:

- для стиснутого елемента АВ із сталі класу С255 R_y = 240 МПа;

- для розтягнутого елемента ВС із сталі класу С235 R_y = 220 МПа.

6) Визначаємо необхідну площу поперечного перерізу розтягнутого елемента ВС із умови міцності (10)

cм²,

де g_с = 1 - згідно з табл. 3 дод. 1.

Оскільки переріз елемента ВС складається з двох кутиків, то необхідна площа перерізу одного кутика

см².

7) За сортаментом рівнополицевих кутиків приймаємо профіль, площа перерізу якого дорівнює або незначно перевищує необхідну, і виписуємо необхідні геометричні характеристики.

Приймаємо кутик 160´12, для якого А = 37,4 см², I_x = 913 cм⁴, i_x = = 4,94 см, z ₀ = 4,39 см.

8) Оскільки переріз складається із двох кутиків, то необхідно обчислити геометричні характеристики складеного перерізу (рис. 5). Площа перерізу А = 37,2·2 = 74,8 см².

см⁴;

де см⁴;

Рис. 5. Переріз елемента ВС см.

Радіуси інерції см;

см.

9) Оскільки відома товщина прокату t = 12 мм (кутик 160´12), уточнюємо значення R_y за табл. 2 дод. 1. Для сталі класу С235 товщиною прокату від 2 до 20 мм R_y = 230 МПа.

10) Виконуємо перевірку міцності центрально-розтягнутого елемента ВС за формулою

МПа < МПа.

11) Перевіряємо гнучкість елемента ВС:

;

де l_х і l_y - гнучкість елемента відповідно в площині х-х, тобто в площині конструкції, та в площині y-y, тобто із площини конструкції;

і - розрахункові довжини елемента ВС відповідно в площинах х-х і у-у,

см; см,

тут m_х і m_у - коефіцієнти зведення розрахункової довжини стержня ВС відповідно в площинах х-х і у-у, m_х = m_у = 1, оскільки закріплення кінців стержня шарнірне;

l_u = 400- гранична гнучкість розтягнутих елементів згідно з табл. 1.

12) Недонапруження складає

Переріз підібраний раціонально.

13) Визначаємо необхідну площу поперечного перерізу стиснутого елемента АВ із умови стійкості (24) за формулою

Дійсне значення коефіцієнта поздовжнього згину j на даному етапі розрахунку визначити неможливо, оскільки його величина залежить не тільки від відомого значення розрахункового опору сталі R_y, а і від невідомого значення гнучкості елемента l, яка в свою чергу, залежить від геометричних характеристик перерізу. Оскільки переріз невідомий, то попередньо приймають гнучкість елемента , а потім визначають попереднє значення .

Приймаємо . Згідно з табл. 4 для R_y = 240 МПа і значення j = 0,754.

см².

Оскільки переріз елемента АВ складається з двох кутиків, то необхідна площа перерізу одного кутика

см².

14) Визначаємо необхідні радіуси інерції перерізу

см; см,

де і - розрахункові довжини елемента АВ відповідно в площинах х-х і у-у,

см; см,

тут m_х і m_у - коефіцієнти зведення розрахункової довжини стержня АВ відповідно в площинах х-х і у-у, m_х = m_у = 1, оскільки закріплення кінців стержня шарнірне.

15) За значеннями , та із сортамента рівнополицевих кутиків приймаємо 140´10, для якого А = 27,3 см²; I_x = 512 см⁴; i_x = 4,33 см; z ₀ = 3,82 см.

16)

Оскільки переріз складається з двох кутиків, то необхідно обчислити геометричні характеристики складеного перерізу (рис. 6).

Площа перерізу

см².

Рис. 6. Переріз елемента АВ

Моменти інерції см⁴;

см⁴,

де см⁴; см.

Радіуси інерції см;

см.

17) Оскільки відома товщина прокату t = 10 мм (кутик 140´10), уточнюємо значення R_y за табл. 2 дод. 1. Для сталі класу С255 товщиною прокату від 4 до 10 мм включно R_y = 250 МПа.

18) Визначаємо дійсне значення коефіцієнта j.

; .

За l_max = l_х = 84,1 і R_y = 250 МПа з табл. 4 шляхом інтерполяції обчислюємо значення j = 0,644.

19) Перевіряємо гнучкість елемента АВ.

Гранична гнучкість стиснутого елемента АВ стержневої конструкції, яка розглядається, визначається згідно з п. 1 табл. 5 за формулою:

де .

Таким чином, .

20) Виконуємо перевірку стійкості центрально-стиснутого елемента АВ за формулою

МПа < МПа.

21) Недонапруження складає

Переріз підібраний раціонально.

Приклад 2

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними:

1) геометричні параметри системи: l = 4,3 м, a = 60⁰, b = 70⁰, g = 50⁰;

2) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 8 мм; ВС - за рис. 3, t = 10 мм;

3) матеріал елементів: АВ - із сталі марки О9Г2, ВС - із сталі марки ВСт3пс6-2;

4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Рис. 1. Схема конструкції

Розв’язок задачі

1) Обчислюємо геометричні довжини елементів АВ і ВС.

м;

м.

2) Обчислюємо значення кутів b₁ і b₂ (рис. 4).

; .

Рис. 4. Розрахункова схема конструкції

3) Обчислюємо геометричні характеристики перерізів елементів АВ і ВС.

Рис. 5. Поперечний переріз

елемента АВ

Рис. 6. Поперечний переріз

елемента ВС

Із сортамента нерівнополицевих кутиків виписуємо геометричні характеристики кутиків 180´110´10 і 110´70´8.

180´110´10: А = 28,3 см²; у ₀ = 5,88 см; х ₀ = 2,44 см; I_х = 952 см⁴; і_х = 5,8 см; I_y = 276 см⁴; і_у = 3,12 см.

110´70´8: А = 13,9 см²; у ₀ = 3,61 см; х ₀ = 1,64 см; I_х = 172 см⁴; і_х = 3,51 см; I_y = 54,6 см⁴; і_у = 1,98 см.

Для складеного перерізу елемента АВ отримаємо:

а) площа перерізу см²;

б) моменти інерції см⁴;

см⁴,

де см;

в) радіуси інерції см;

см.

Для складеного перерізу елемента ВС отримаємо:

а) площа перерізу см²;

б) моменти інерції см⁴;

де см⁴, оскільки в даному перерізі відбувся поворот осей;

см⁴,

де см,

см⁴, оскільки відбувся поворот осей;

в) радіуси інерції см;

см.

4) Обчислюємо гнучкості елементів АВ і ВС.

Елемент АВ:

;

де см,

тут см;

- оскільки закріплення кінців стержня шарнірне.

Елемент ВС:

;

де см, тут см;

- оскільки закріплення кінців стержня шарнірне.

5) За табл. 2 дод. 1 визначаємо значення R_y для елементів АВ і ВС.

Елемент АВ складається із двох кутиків 180´110´10, тобто товщина прокату t = 10 мм. Задана марка сталі О9Г2 згідно з табл. 1 дод. 1 відповідає класу сталі С345.

Елемент ВС складається із двох кутиків 110´70´8, тобто товщина прокату t = 8 мм. Задана марка сталі ВСт3пс6-2 згідно з табл. 1 дод. 1 відповідає класу сталі С275.

Таким чином, згідно з табл. 2 дод. 1 для елемента АВ із сталі класу С345 товщиною прокату t = 10 мм R_y = 335 МПа, а для елемента ВС із сталі класу С225 товщиною прокату t = 8 мм R_y = 270 МПа.

6) Для стиснутого елемента АВ з табл. 4 шляхом інтерполяції визначаємо коефіцієнт j за і R_y = 335 МПа: j = 0,325.

7) Визначаємо несучу здатність стиснутого елемента АВ із умови стійкості (24)

кН.

8) Визначаємо несучу здатність розтягнутого елемента ВС із умови міцності (10)

кН.

9) Зусилля N_AB = 616,2 кН і N_BC = 750,6 кН є максимально можливими у відповідних елементах з зазначеними перерізами. Граничний стан стержневої конструкції буде досягнутий у випадку виникнення максимально можливого значення зусилля в одному з елементів. При цьому в іншому елементі зусилля буде менше за максимально можливе.

Оскільки система повинна знаходитись в рівновазі, тобто сума проекцій всіх сил на вісь х і вісь у повинна дорівнювати нулю, знайдемо зусилля в стержні ВС із умови, що N_AB = 616,2 кН.

; ;

кН.

Тепер обчислимо зусилля в стержні АВ із умови, що N_BC = 750,6 кН.

; ;

кН.

Отже, якщо N_AB = 616,2 кН, то = 545,1 кН, а, якщо N_BС = 750,6 кН, то = 848,6 кН.

Комбінація зусиль N_AB = 616,2 кН і = 545,1 кН є реально можливою, оскільки значення зусиль в елементах не перевищують максимальні, а комбінація зусиль N_BС = 750,6 кН і = 848,6 кН є неможливою, оскільки = 848,6 кН більше за максимальне значення N_AB = 616,2 кН.

Таким чином, фактичні зусилля в елементах N_AB = 616,2 кН і = = 545,1 кН.

10) Знаходимо розрахункове значення сили F, яка прикладена в т. В.

; ;

кН.

11) Визначаємо характеристичне значення

кН.

Приклад 3

Підібрати переріз суцільної центрально-стиснутої колони середнього ряду К -1 (рис. 1) за такими вихідними даними:

1) характеристичне навантаження на перекриття кН/м², коефіцієнт надійності за навантаженням = 1,1;

2) крок розташування колон: В ₁ = 6 м, В ₂ = 6 м;

3) довжина колони l = 5,2 м;

4) закріплення кінців колони: верхній - шарнірно, нижній - жорстко (рис. 2);

5) матеріал колони - сталь марки 09Г2С, переріз - із прокатних профілів;

6) клас відповідальності будівлі - ІІ;

7) будівля громадського призначення.

Рис. 2. Розрахун-

Рис. 1. Розташування колони на плані кова схема колони

Розв’язок задачі

1) Обчислюємо величину розрахункового зосередженого навантаження F, яке прикладається вздовж осі колони

кН,

де м² - вантажна площа, з якої збирається навантаження на колону середнього ряду К -1.

2) Визначаємо розрахункові довжини колони:

м;

м,

де і - розрахункові довжини колони відповідно в площинах х-х і у-у;

і - коефіцієнти зведення розрахункової довжини колони К -1 відповідно в площинах х-х і у-у, згідно умов закріплення приймаємо = = 0,7 (табл. 3);

- геометрична довжина колони в площині х-х, = 5,2 м;

- геометрична довжина ділянки колони, яка закріплена від переміщення в площині у-у, оскільки додаткових точок закріплення стержня колони немає, то = 5,2 м.

3) Для визначення значення R_y необхідно перейти від марки сталі до класу сталі. Згідно з табл. 1 дод. 1 марці сталі 09Г2С відповідає клас сталі С345. Згідно з табл. 2 дод. 1 розрахунковий опір R_y для фасонного прокату складає:

· для товщини t = 2...10 мм - R_y = 335 МПа;

· для товщини t = 11...20 мм - R_y = 315 МПа;

· для товщини t = 21...40 мм - R_y = 300 МПа.

Оскільки товщина прокату невідома, на першому етапі приймаємо R_y = 315 МПа.

4) Визначаємо необхідну площу поперечного перерізу стержня колони із умови стійкості (24) з урахуванням класу відповідальності споруди за формулою

см²,

де N = F =792 кН; = 0,692- попереднє значення коефіцієнта поздовжнього згину, яке визначене для = 70 і R_y = 315 МПа згідно табл. 4 (оскільки переріз невідомий, то на першому етапі задаються значенням = 60...80 < 120); = 0,95 – згідно з табл. 4 дод. 1 для ІІ-го класу відповідальності будівель і споруд; = 0,95 – з гідно з п.2 табл. 3 дод. 1.

5) Для стержня колони приймаємо прокатний двотавр № 27, для якого А = 40,2 см²; і_х = 11,92 см; і_у = 2,54 см, і визначаємо гнучкості колони в площинах х-х і у-у:

;

де - згідно з п. 4 табл. 5 (приймаємо a = 1, оскільки таке значення коефіцієнта є найневигіднішим для визначення граничної гнучкості l_u і тому, що значення поздовжньої сили N ще невідоме).

Гнучкість , тому необхідно збільшити номер двотавра або змінити форму перерізу.

Збільшення номеру двотавра, тобто збільшення площі поперечного перерізу, пов’язане з додатковими витратами матеріалу. Тому краще змінити форму перерізу і прийняти його складеним із двох швелерів № 18 (рис. 3), які мають такі геометричні характеристики: А _[ = 20,7 см²; І_х = 1090 см⁴; і_х = 7,24 см; І_у = 86 см⁴; і_у = 2,04 см, z₀ = 1,94 см; b_f = 7,0 см; t_f = 0,87 см.

Геометричні характеристики складеного перерізу:

а) і_хс = і_х = 7,24 см;

б)

см⁴;

см.

Рис. 3. Переріз стержня колони в) см².

Визначаємо

; .

6) Приймаємо точне значення R_y, оскільки вже відома товщина прокату: для t_f = 8,7 мм R_y = 335 МПа (див. п. 3 даної задачі).

7) За табл. 4 для і R_y = 335 МПа визначаємо точне значення коефіцієнта поздовжнього згину j. В результаті інтерполяції наведених в табл. 4 значень j = 0,702.

8) Перевіряємо стійкість центрально-стиснутої колони за формулою

МПа МПа.

Недонапруження перерізу складає

Оскільки недонапруження перерізу значне, приймаємо колону із двох швелерів № 16 і виконуємо необхідні розрахунки.

№ 16: А = 18,1 см²; I_х = 747 см⁴; і_х = 6,42 см; I_у = 63,3 см⁴; і_у = 1,87 см; z ₀ = 1,8 см; b_f = 6,4 см; t_f = 0,84 см.

Геометричні характеристики перерізу:

а) см;

б) см⁴;

см, де см².

Визначаємо гнучкості ;

За табл. 4 для і МПа визначаємо .

Перевіряємо стійкість

МПа МПа.

Оскільки умова стійкості для перерізу з двох швелерів № 16 не виконується, то остаточно переріз колони приймаємо із двох швелерів № 18.

Приклад 4

Визначити несучу здатність суцільної центрально-стиснутої колони крайнього ряду К-2 (рис. 1) за такими вихідним даними:

1) геометрична довжина колони l = 5,5 м;

2) переріз колони - прокатний двотавр № 30;

3) закріплення кінців колони: верхній - жорстко, нижній - жорстко (рис. 2);

4) крок розташування колон: В ₁ = 6 м, В ₂ = 3 м;

5) матеріал колони - сталь класу С275;

6) коефіцієнт надійності за навантаженням = 1,15;

7) клас відповідальності будівлі - ІІІ.

B₁ = 6 м B₁ =6м B₁ =6м B₁ =6м B₁ =6м

Рис. 2. Розрахункова

Рис. 1. Розташування колони на плані схема колони

Розв’язок задачі

1) Визначаємо розрахункові довжини колон

м;

м,

де і - розрахункові довжини колони відповідно в площинах х-х і у-у; і - коефіцієнти зведення розрахункової довжини колони К -2 відповідно в площинах х-х і у-у, згідно умов закріплення приймаємо = = 0,5 (табл. 3); - геометрична довжина колони в площині х-х, = 5,5 м; - геометрична довжина ділянки колони, яка закріплена від переміщення в площині у-у, оскільки додаткових точок закріплення стержня колони немає, то = 5,5 м.

2) Виписуємо із сортамента геометричні характеристики двотавра № 30, який складає стержень колони,

А = 46,5 см²; і_х = 12,3 см; і_у = 2,69 см; t_f = 10,2 мм.

3) Визначаємо гнучкість колони в площинах х-х і у-у:

;

де - згідно з п. 4 табл. 5 (приймаємо a = = 1, оскільки таке значення коефіцієнта є найневигіднішим для визначення граничної гнучкості l_u і тому, що значення поздовжньої сили N ще невідоме).

4) За табл. 2 дод. 1 для сталі класу міцності С275 товщиною прокату t_f = 10,2 мм визначаємо R_y = 270 МПа.

5) За табл. 4 для l_max = l_y = 102,2 і R_y = 270 МПа шляхом інтерполяції визначаємо коефіцієнт j = 0,491.

6) Визначаємо несучу здатність колони за формулою

кН,

де g_с = 1 - згідно з табл. 3 дод. 1;

g_п = 0,9 – згідно з табл. 4 дод. 1.

7) Колона К-2 розташована в крайньому поздовжньому ряді колон. Величина вантажної площі, з якої збирається навантаження на цю колону, м² (див. рис. 1). Коефіцієнт надійності за навантаженням = 1,15. Тоді характеристичне навантаження на 1 м² вантажної площі складає

кН/м².

3. Задачі для самостійної роботи

Задача № 1

t = 8

t = 10

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили

кН, коефіцієнт надійності за навантаженням

; 2) геометричні параметри системи:

м,

; 3) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 8 мм; ВС - за рис. 3, t = 12 мм; 4) матеріал елементів: АВ - сталь класу С345, ВС - сталь класу С275.

t = 8

t = 10

Задача № 2

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням ; 2) геометричні параметри системи: м, м; 3) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2; 4) матеріал елементів: АВ - сталь класу С275, ВС - сталь класу С255.

Задача № 3

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням; ; 2) геометричні параметри системи: м, м, м; 3) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 10 мм; ВС - за рис. 3, t = 12

мм; 4) матеріал елементів: АВ - сталь марки ВСт3сп5-2, ВС - сталь марки ВСт3пс6-2.

Задача № 4

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням ; 2) геометричні параметри системи: м, м, ; 3) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2; ВС - за рис. 3, t = 9 мм; 4) матеріал елементів: АВ - сталь марки 09Г2, ВС - сталь марки ВСт3пс6-2.

Задача № 5

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням ; 2) геометричні параметри системи: м, м, м; 3) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2; 4) матеріал елементів: АВ - сталь марки 12Г2С, ВС - сталь марки 14Г2.

Задача № 6

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням ; 2) геометричні параметри системи: м, , , ; 3) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 10 мм; ВС - за рис. 3, t = 12 мм; 4) матеріал елементів: АВ - сталь класу С285, ВС - сталь класу С255.

Задача № 7

Підібрати переріз елементів стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) характеристичне значення зосередженої сили кН, коефіцієнт надійності за навантаженням ; 2) геометричні параметри системи: м, , , ; 3) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2; 4) матеріал елементів: АВ - сталь марки 10ХСНД, ВС - сталь марки 09Г2С.

Задача № 8

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 3,2 м, a = b = g = 60⁰; 2) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 8 мм; ВС - за рис. 3, t = 10 мм; 3) матеріал елементів: АВ - сталь марки ВСт3пс6, ВС - сталь марки 18кп; 4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Задача № 9

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 2,7 м, м, a = 90⁰; 2) форма перерізу елементів: АВ - за рис. 2, t = 10 мм; ВС - за рис. 3, t = 8 мм; 3) матеріал елементів: АВ - сталь класу С275, ВС - сталь класу С245; 4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Задача № 10

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 3,7 м, м, м; 2) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2, t = 12 мм; 3) матеріал елементів: АВ - сталь марки 15ХСНД, ВС - сталь марки ВСт3пс6-2; 4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Задача № 11

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 4,0 м, м, ; 2) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2, t = 12 мм; 3) матеріал елементів: АВ - сталь класу С285, ВС - сталь класу С275; 4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Задача № 12

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 2,9 м, a = 60⁰, b = 40⁰, g = 80⁰; 2) форма перерізу елементів: АВ і ВС - за рис. 2; 3) матеріал елементів: АВ - сталь марки ВСт3Гпс5, ВС - сталь марки 18сп; 4) коефіцієнт надійності за навантаженням .

Задача № 13

Визначити несучу здатність стержневої конструкції, зображеної на рис. 1, за такими вихідними даними: 1) геометричні параметри системи: l = 3,1 м, м,