Признак определенности системы линейных уравнений

С квадратной матрицей коэффициентов и ее решение

По правилу Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений из уравнений с неизвестными:

Матрица коэффициентов при неизвестных содержит строк и столбцов:

Теорема Крамера. Если определитель отличен от нуля, то рассматриваемая система линейных уравнений определенная и ее единственное решение находится по формулам:

где

- определитель, полученный из определителя заменой - ого столбца, т.е. столбца коэффициентов при неизвестной , на столбец свободных членов.

▼

Пример

Решить систему, заданную расширенной матрицей:

Решение.

Ответ:

▲

Обратная матрица и ее вычисление

Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов можно и другим способом, используя обратную матрицу. При этом определитель матрицы коэффициентов должен быть также отличен от нуля.

Рассмотрим квадратную матрицу:

Вырожденной (особенной) называется квадратная матрица, если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) – в противном случае.

Обратной для матрицы называется матрица если выполняется:

где

единичная матрица.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.

Обратную матрицу можно вычислить разными способами.

А) Одно из правил вычисления обратной матрицы:

1) берется невырожденная матрица

2) обратная матрица находится по формуле

где присоединенная (или взаимная) матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов матрицы , где - минор порядка матрицы , получаемый из определителя матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Обратим внимание, что в присоединенной матрице строки транспонированы в столбцы.

 

▼

Пример

Вычислить обратную матрицу для матрицы:

.

Решение.

Вычислим определитель матрицы: .

Определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, для матрицы существует единственная обратная матрица. Вычислим присоединенную матрицу:

, , , ,

.

Проверкой убеждаемся, что .

▲

Б) Обратную матрицу можно вычислить после элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы:

1) умножение (деление) строки матрицы на любое число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.

Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы , необходимо составить матрицу , затем с помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу к виду единичной матрицы , тогда на месте единичной матрицы получим матрицу :

.

 

▼

Пример

Вычислить обратную матрицу для матрицы

.

Решение.

Составим матрицу вида:

.

Элемент и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный с единицей в первой строке. Для этого к второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и –2. В результате данных преобразований получим матрицу:

.

В матрице преобразуем второй столбец в единичный. В качестве направляющего элемента выберем элемент . Так как направляющий элемент , то разделим вторую (направляющую) строку на 3:

.

Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на –3, и получим матрицу:

.

Третий столбец матрицы преобразуем в единичный. В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Делим направляющую (третью) строку на 4:

.

Ко второй строке прибавляем третью, умноженную на –4/3, и получим матрицу:

.

Откуда

.

Проверкой убеждаемся, что .

▲