Многофакторный дисперсионный комплекс – это совокупность исходных наблюдений, позволяющих статистически оценить действие и взаимодействие нескольких изучаемых факторов на изменчивость результативного признака. Эффект взаимодействия составляет ту часть общего варьирования, которая вызвана различным действием одного фактора при разных градациях другого. Специфическое действие сочетаний в эксперименте выявляется тогда, когда при одной градации первого фактора второй действует слабо или угнетающе, а при другой градации он проявляется сильно и стимулирует развитие результативного признака.
Дисперсионный анализ данных многофакторного комплекса проводится в два этапа. Первый этап – разложение общей вариации результативного признака на варьирование вариантов и остаточное: 
. На втором этапе сумма квадратов отклонения для вариантов разлагается на компоненты, соответствующие источникам варьирования – главные эффекты изучаемых факторов и их взаимодействия.
В двухфакторном опыте:
.
В трехфакторном:
.
Дисперсионный анализ двухфакторного анализа по изучению градаций фактора А (число вариантов lA) и градаций фактора В (число вариантов lB), проведенного в n повторностях, осуществляется в следующие этапы:
1 Определяются суммы и средние по вариантам, общая сумма и средний урожай по опыту.
2 Вычисляются общая сумма квадратов отклонений, сумма квадратов для вариантов и остатка: 
;
;
;
;
.
Для вычисления сумм квадратов по факторам А, В и взаимодействию АВ составляется вспомогательная таблица, в которую записываются суммы по вариантам. Суммируя цифры, находятся суммы А, суммы В и вычисляются суммы квадратов отклонений для главных эффектов и взаимодействия.
Сумма квадратов для фактора А:
при (lА – 1) степенях свободы.
Сумма квадратов для фактора В:
при (lВ – 1) степенях свободы.
Сумма квадратов для взаимодействия АВ находится по разности:
при (lА – 1)×(lВ – 1) степенях свободы.
При дисперсионном анализе ортогональных комплексов используются аддитивные свойства частных дисперсий (сумм квадратов центральных отклонений).
Если взять отношения частных сумм квадратов к общей:
;
.
Каждое из этих отношений будет показывать долю участия отдельной частной дисперсии в образовании общей дисперсии. А так как каждая частная сумма квадратов соответствует одному из частных влияний, то отношение частной суммы квадратов к общей измеряет долю данного влияния в общем суммарном статистическом влиянии всех факторов, определяющих развитие данного результативного признака.
Поэтому доля (выраженная в относительных единицах или в процентах) каждой частной дисперсии в общей их сумме может быть принята за показатель силы влияния, того влияния, которое характеризуется данной частной дисперсией – или одной из факториальных или случайной.
Таким образом, сила влияния фактора (факторов) в дисперсионном анализе измеряется отношением дисперсий частных к общей:
.
Так как этот показатель отражает основной закон разложения общих дисперсий и основное аддитивное свойство частных дисперсий, а также составлен из основных элементов дисперсионного анализа, то
отношение одной из факториальных дисперсий (СV, СА, СB, САB) или случайной дисперсии (CZ) к общей (СY) можно назвать основным показателем силы влияний факторов – организованных и неорганизованных.
Проведение анализа
На 12 опытных делянках проводились экспериментальные работы с посевом кормовых злаковых трав. Факторы a и b отражают объективную ситуацию в процессе проведения опыта (a – освещенность и b – увлажнение) или фактор среды (неорганизованный фактор). Факторы о и р – факторы влияния: о – фоновые, без внесения удобрений, р – с внесением (организованный фактор). Результативным признаком является урожайность. Исходные данные, представленные в таблице 13.1 использовались для выполнения двухфакторного дисперсионного анализа.
Следует отметить, что в проведении анализа в табличном редакторе MS Excel количество повторений (факторы о и р) должно быть одинаковым. В данном случае 3. Для выполнения подобного анализа в программном продукте Statistica 6 количество повторений может быть разновеликим.
Таблица 13.1 – Исходные данные
| a | b | |
| o | ||
| o | ||
| o | ||
| p | ||
| p | ||
| p |
Шаг 1. Откройте модуль Анализ данных выберите опцию Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями, после чего щелкните мышкой OK.
Шаг 2. В появившемся окне выполнить операции и установки, как показано на рисунке 13.1. Щелкнуть мышкой OK.
Шаг 3. Результат обработки появится в указанном поле (выходной интервал $D$1, таблицы 13.2, 13.3).
Рисунок 13.1 – Стартовая панель
Таблица 13.2 – Статистические параметры
| a | b | Итого | |
| o | |||
| Счет | |||
| Сумма | |||
| Среднее | 60,33 | 50,67 | 55,5 |
| Дисперсия | 510,33 | 14,33 | 237,9 |
| p | |||
| Счет | |||
| Сумма | |||
| Среднее | 69,33 | 77,67 | 73,5 |
| Дисперсия | 21,33 | 40,33 | 45,5 |
| Итого | |||
| Счет | |||
| Сумма | |||
| Среднее | 64,83 | 64,17 | |
| Дисперсия | 236,97 | 240,57 |
Таблица 13.3 – Дисперсионный анализ
| Источник вариации | SS | df | MS | F | P-значение | F крит. | Сила влияния, % |
| Выборка (2 фактор) | 6,63 | 0,035 | 5,32 | 40,7 | |||
| Столбцы (1 фактор) | 1,33 | 1,33 | 0,0091 | 0,93 | 5,32 | 0,1 | |
| Взаимодействие | 1,658 | 0,23 | 5,32 | 10,2 | |||
| Внутри | 1172,67 | 146,58 | 49,0 | ||||
| Итого |
В рассмотренном примере F - критерий показывает, что нулевая гипотеза отвергается и различие между средними статистически значимо за счет влияния второго фактора (значимо на уровне 0,033, что не превышает критического уровня 0,05). Сила влияния этого фактора составляет около 41%. В свою очередь, по первому фактору и взаимодействию обоих факторов нулевая гипотеза о равенстве средних не отвергается, поскольку критерий Фишера меньше табличного значения и уровень значимости р > 0,05. Поэтому, в данном случае прибавка к урожаю обусловлена только организованным фактором.
Задания для выполнения
1 Введите в таблицу MS Excel исходные данные из Приложения Е (таблица Е1).
2 Выполните расчетные процедуры в соответствии с порядком операций, выполненных в настоящем разделе.
Получите результат и сделайте заключение.
Лабораторная работа 14
Многофакторный дисперсионный анализ (многофакторный комплекс в Statistica 6)
Цель работы: научиться выполнять многофакторный дисперсионный анализ в программном продукте Statistica 6.
