Основная теорема о лебеговом продолжении меры.

Совокупность M всех измеримых по Лебегу множеств A E является - алгеброй с единицей Е, а внешняя мера *(A) является - аддитивным продолжением

- аддитивная меры m с полукольца S на - алгебру M.

Доказательство.

Покажем, что M содержит S и * совпадает с на S.

Действительно, для всякого множества A S справедливо: * (A A) = *()= 0,

поэтому А измеримо. Далее, для всякого покрытия множества A S конечной или счётной системой множеств A_i S справедливо:

 

,

и равенство достигается, например, при А₁ = А, А₂ = А₃ = … = .

Покажем, что * монотонна на M.

Действительно, если A M, В M, A В, то * (A) * (В), так как всякое покрытие множества В конечным или счётным набором множеств из полукольца S будет одновременно и покрытием множества А.

 

(3) Покажем, что * полуаддитивна на M, то есть

Действительно, так как

, где ,

 

и при этом A’_i A_i, A’_i S и A’_I A’_j = при i j, то

 

 

Покажем, что M - алгебра с единицей Е.

Нам нужно показать, что объединение, пересечение и разность любых двух измеримых множеств А₁ и А₂ измеримо. Действительно, пусть А₁ и А₂ произвольные измеримые множества. Это означает, что

 

А так как

 

(проверьте это самостоятельно!), то

 

Но (В₁ В₂) R(S), поэтому множество А₁ А₂ измеримо.

Измеримость дополнения всякого измеримого множества следует из равенства

Измеримость пересечения двух измеримых множеств следует из равенства

 

 

(5) Проверим, что для любых двух множеств А и В из Е выполняется:

 

Действительно, так как А В (А В) и В А (А В), то, в силу (3), имеем

 

Поэтому

 

(6) Покажем, что * аддитивна на M, то есть

С учётом индукции достаточно проверить справедливость этого утверждения при n = 2. Пусть множества А₁ и А₂ измеримы и А₁ + А₂ = А. Покажем, что

 

 

Так как множества А₁ и А₂ измеримы, то найдутся множества В₁ и В₂ из кольца R(S) такие, что

Так как множества А₁ и А₂ не пересекаются, то

 

 

(проверьте это самостоятельно!), и, следовательно,

 

 

Далее, используя (5), получим

 

 

Так как мера аддитивна на R(S), то

 

 

Добавив к обеим частям этого равенства m (В₁ В₂), получим

 

 

откуда

 

Воспользовавшись выше доказанными неравенствами, получим:

 

 

Заметим теперь, что

 

 

(проверьте это самостоятельно!). Поэтому

 

 

В силу возможности выбрать число > 0 произвольно малым заключаем, что

С другой стороны, так как объединение любых не более чем счётных покрытий множеств А₁ и А₂ является не более чем счётным покрытием множества А = А₁ + А₂, то

 

Поэтому

Итого получаем:

 

(7) Покажем, что * -аддитивна на M, то есть

Действительно, для любом натурального n справедливо:

 

 

Переходя в этом неравенстве к пределу при n , получаем:

Доказательство противоположного неравенства проводится в полной аналогии с окончанием доказательства пункта (6) (проведите его самостоятельно!).