Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона.

1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Решение: Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n max,

чтобы: (*) Здесь a=0.7; b=1,3; / f ”(x)/,

где f (x)=1/

Находим: f ’(x)= , f ”(x)= ;

Положим M₂=7, тогда неравенство (*) примет вид

Откуда n²>252, т.е. n>16; возьмем n=20, Вычисление интеграла производим по формуле: где: h=(b-a)/n=0,6/20=0,03, y_i=y(x_i)=1/ ; x_i=0,7+ih (i=0,1,2,…,20) Все расчеты произведены в таблице:

 

Таблица 1.

i	xi	xi2	2xi2+0,3		y0,y20	y1,…,y19
	0,7	0,49	1,28	1,131371	0,883883
	0,73	0,5329	1,3658	1,168674		0,85567
	0,76	0,5776	1,4552	1,206317		0,82897
	0,79	0,6241	1,5482	1,244267		0,803686
	0,82	0,6724	1,6448	1,282498		0,779729
	0,85	0,7225	1,745	1,320984		0,757011
	0,88	0,7744	1,8488	1,359706		0,735453
	0,91	0,8281	1,9562	1,398642		0,714979
	0,94	0,8836	2,0672	1,437776		0,695519
	0,97	0,9409	2,1818	1,477092		0,677006
			2,3	1,516575		0,65938
	1,03	1,0609	2,4218	1,556213		0,642585
	1,06	1,1236	2,5472	1,595995		0,626568
	1,09	1,1881	2,6762	1,63591		0,611281
	1,12	1,2544	2,8088	1,675947		0,596677
	1,15	1,3225	2,945	1,7161		0,582717
	1,18	1,3924	3,0848	1,75636		0,569359
	1,21	1,4641	3,2282	1,796719		0,55657
	1,24	1,5376	3,3752	1,837172		0,544315
	1,27	1,6129	3,5258	1,877711		0,532563
	1,3	1,69	3,68	1,918333	0,521286
					1,40517	12,77004

Таким образом,

I=0,03 ( +12,77004)=0,40418»0,404

2) Пусть n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.

Вычислительная формула:

I= (y₀+4y₁+2y₂+4y₃+2y₄+4y₅+2y₆+4y₇+y₈), где y_i=y(x_i)= , x_i=1,2+ih

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2.

Таблица 2.

/	xi	2xi-2,l	sin (2xi-2,1)	xi2+1	y0,y8	y1, y3, y5, y7	y2, y4, y6
0	1,20	0,30	0,29552	2,44	0,1211
1	1,25	0,40	0,38942	2,5625		0,1520
2	1,30	0,50	0,4794	2,69			0,1782
3	1,35	0,60	0,5646	2,8225		0,2000
4	1,40	0,70	0,6442	2,96			0,2176
5	1,45	0,80	0,7174	3,1024		0,2312
6	1,50	0,90	0,7833	3,25			0,2410
7	1,55	1,00	0,8415	3,4025		0,2473
8	1,60	1,10	0.8912	3,56	0,2503
S					0,3713	0,8305	0,6368

Следовательно, I» (0,3714+4 •0,8305+2 • 0,6368)»0,88278.Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 3).

 

Так как max |D4yi|=0,0001, то остаточный член формулы

R_ост<

Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения

DI = (b -a) •Dу < 0,4 • 0,0001 < 0,00005. Значит, полученные четыре десятичных знака верны.

 

 

Таблица 3.

I	уi	Dyi	D2yi	D3yi	D4yi
0	0,1211	0,0309	-0,0047	0,0003	-0,0001
1	0,1520	0,0262	-0,0044	0,0002	0.0000
2	0,1782	0,0218	-0,0042	0,0002	0.0000
3	0,2000	0,0176	-0,0040	0,0002	0,0001
4	0,2176	0,0136	-0,0038	0,0003	-0,0001
5	0,2312	0.0098	-0,0035	0,0002
6	0,2410	0,0063	-0,0033
7	0,2473	0,0030
8	0,2503

 

Самостоятельно:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

Лабораторная работа.

Вычисление определенных интегралов по формуле левых, правых и средних прямоугольников.

-?

 

Для вычисления по формулам левых, правых и средних прямоугольников при n=10 разобьём отрезок интегрирования [1,5;2,3] на 10 частей с шагом . Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках деления отрезка:

i	xi	0,3xi+1,2				yi
	1,5	1,65	1,284523	1,658312	4,058312	0,316517
	1,58	1,674	1,293832	1,731011	4,259011	0,303787
	1,66	1,698	1,303073	1,804328	4,460328	0,292147
	1,74	1,722	1,31225	1,878191	4,662191	0,281466
	1,82	1,746	1,321363	1,952537	4,864537	0,271632
	1,9	1,77	1,330413	2,027313	5,067313	0,262548
	1,98	1,794	1,339403	2,102475	5,270475	0,254133
	2,06	1,818	1,348332	2,177981	5,473981	0,246317
	2,14	1,842	1,357203	2,253797	5,677797	0,239037
	2,22	1,866	1,366016	2,329893	5,881893	0,232241
	2,3	1,89	1,374773	2,406242	6,086242	0,225882
						2,699825
						2,60919

В таблице найдены суммы:

По формуле левых прямоугольников

По формуле правых прямоугольников

Эти значения отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

2) ?

Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников:

Вычисления производим с шагом h=(b-a)/10=(1,2-0,4)/10=0,08.

i	xi	Xi+h/2	Sin(0,6x+0,3)	1,7+cos(x2+1,2)	Y(xi+h/2)
	0,4	0,44	0,534571	1,909239	0,279992
	0,48	0,52	0,574506	1,839936	0,312242
	0,56	0,6	0,613117	1,757165	0,348924
	0,64	0,68	0,650316	1,661206	0,391472
	0,72	0,76	0,686017	1,552932	0,441756
	0,8	0,84	0,720137	1,434036	0,502175
	0,88	0,92	0,752599	1,307265	0,575705
	0,96		0,783327	1,176628	0,665739
	1,04	1,08	0,812251	1,047557	0,775376
	1,12	1,16	0,839303	0,92697	0,905426
	1,2				5,198807

Приближённое значение интеграла:

I=h =0,1×5,198807=0,43580

 

Самостоятельно:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

Лабораторная работа.

Задание: Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y (x₀)=y₀ на отрезке [a,b]; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Образец выполнения:

y¢=x+sin(y/2,25); y₀(1,4)=2,2, xÎ[1,4;2,4]

Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение y_k+1=y(x_k+1), где y(x) — искомая функция, а x_k+1=x₀+h(k+1), k=0, 1, 2 …, определяется следующим образом:

За начальное приближение берется

y⁽⁰⁾_k+1=y_k+hf(x_k, y_k), где f(x, y)=y¢(x, y)

найденное значение y⁽⁰⁾_k+1 уточняется по формуле

y⁽ⁱ⁾_k+1=y_k+h/2[f(x_k, y_k)+ f(x_k+1, y_k+1)] (i=1, 2…)

Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.

Все описанные вычисления удобно производить, составив следующие таблицы:

q Основную таблицу, в которой записывается ответ примера (таблица I);

q Таблицу, в которой выполняется процесс последовательных приближений (таблица II);

q Вспомогательную таблицу, в которой вычисляются значения функции f (x_k, y_k) (таблица III).

 

	Таблица I
k	xk	yk	fk=f(xk, yk)	hfk
0	1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	2,2 2,4306 2,6761 2,9357 3,2084 3,4929 3,7876 4,0908 4,4006 4,7152 5,0328	2,2292 2,3821 2,5281 2,6648 2,7895 2,8998 2,9936 3,0696 3,1268 3,1654	0,2229 0,2382 0,2528 0,2665 0,2790 0,2900 0,2994 0,3070 0.3127 0.3165

 

Таблица II

k+1	xk+1	yk	i	y k+1	fk	f k+1	fk+f k+1	h/2(fk+f k+1)
	1,5	2,2		2,4229	2,2292	2,3805	4,6097	0,2305
				2,4305		2,3820	4,6112	0,2306
				2,4306		2,3821	4,6113	0,2306
	1,6	2,4306		2,6688 2,6760 2,6761	2,3821	2,5268 2,5280 2,5281	4,9089 4,9101 4,9102	0,2454 0,2455 0,2455
	1,7	2,6761		2,9289 2,9357	2,5281	2,6641 2,6648	5,1922 5,1929	0.2596 0,2596
	1,8	2,9357		3,2022 3,2084	2,6648	2,7892 2,7895	5,4540 5,4543	0,2727 0,2727
	1,9	3,2084		3,4874 3,4929	2,7895	2,8998 2,8998	5,6893 5,6893	0,2845 0,2845
	2,0	3,4929		3,7829 3,7876	2,8998	2,9939 2,9936	5,8937 5,8934	0,2947 0,2947
	2,1	3,7876		4,0870 4,0908	2,9936	3,0700 3,0696	6,0636 6,0632	0,3032 0,3032
	2,2	4,0908		4,3978 4,4006	3,0696	3,1273 3,1268	6,1969 6,1964	0.3098 0.3098
	2,3	4,4006		4,7133 4,7152	3,1268	3,1658 3,1654	6,2926 6,2922	0.3146 0.3146
	2,4	4,7152 0		5,0517 5,0328	3,1654	3,1866 3,1863	6,3520 6,3517	0,3176 0,3176

 

Ответом являются значения yk(x), полученные в табл. I.

 

Варианты заданий:

1. y¢=x+cos , y₀(1,8)=2,6, xÎ[1,8;2,8]

2. y¢=x+cos , y₀(1,6)=4,6, xÎ[1,6;2,6]

3. y¢=x+cos , y₀(0,6)=0,8, xÎ[0,6;1,6]

4. y¢=x+cos , y₀(0,5)=0,6, xÎ[0,5;1,5]